上海春季高考含答案

2008年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷一.填空题（本大题满分48分）1．已知集合A二{x|x1．已知集合A二{x|x<一1或2<x<3},B={x|-2<x<4}，则A\jB=2．计算：limn告g3n+13n+1+2n3.函数f(x)="-2+:+6的定义域是.x-14．、一（兀、一一、小、……口方程2cosx--二1在区间（0,兀）4．V4）5.已知数列｛〃｝是公差不为零的等差数列，a=1.若a、a、a成等比数列，则a=n1125n6．化简：/兀6．化简：/兀、cosVi+与+sinV6+ax2y27.已知x2y27.已知P是双曲线a-5=1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x->=0.设F、F分别为双曲线的左、右焦点.若IPF1=3,则IPF\=121218．已知一个凸多面体共有9个面,所有棱长均为1,其平面展开图如右图所示，则该凸多面体的体积V=9.已知无穷数列3｝前n项和S=1a-1,则数列｛a｝的各项和为nn3nn10．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性,金克木,木克土,土克水，水克火，火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件A出现的概率是（结果用数值表示）.11.已知a,a,,a；b,b,,b（n是正整数），令L=b+b++b,L=b+b12n12n112n223++b,,L=b.某人用右图分析得到恒等式:nnnab+ab++ab=aL+cL++b,,L=b.某人用右图分析得到恒等式:nnnab+ab++ab=aL+cL^cL+cL1i12*2*nn11223kk++cL，则c=(2<kwn).nnk12.已知A(1,2),B(3,4),直线/：x=0,l:y=012和l:x+3y-1=0.设P是l(i=1,2,3)上与A、3iib1b2「b3B两点距离平方和最小的点,则△PP2P3的面积是二．选择题(本大题满分16分)4n-1bn-113.已知向量a=(2,-3),b=(3,九)，若a〃b，则九等于［答］()2(A)一39(B)-2.(C)———.乙2(D)——3.已知椭圆—+-^—=1,长轴在y轴上.若焦距为4，则m等于［答］()10—mm—2(A)4.(B)5.(C)7.(D)8..已知函数f(x)、g(x)定义在R上，h(x)=f(x)•g(x),则“f(x)、g(x)均为奇函数”是“h(x)为偶函数”的函数”是“h(x)为偶函数”的(A)充分不必要条件.(0充要条件.16.已知zeC,且|z—2-2斗i

(A)2.(B)3.(8)必要不充分条件.(D)既不充分也不必要条件.为虚数单位，则|z+2—2i|的最小值是［答］()(C)4.(D)5.17=—三0c(兀一,兀312本题满分17=—三0c(兀一,兀312本题满分12分已知cos02cos0求「——「sin20sin0的值.［解］本题满分12分在平面直角坐标系xOy中，a、B分别为直线x+y=2与x、y轴的交点，C为AB的中点.若抛物线y2=2px(p>0)过点C，求焦点F到直线AB的距离.［解］(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数f(x)=logQ+1).2(1)求证：函数f(x)在(—8,+8)内单调递增；(2)记f-1(x)为函数f(x)的反函数.若关于x的方程f-1(x)=m+f(x)在［1,2］上有解，求m的取值范围.［证明］(1)［解］(2)学习好资料学习好资料欢迎下载学习好资料学习好资料欢迎下载22.22.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第321.21.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）.凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管.考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：①凳子高度为30cm，②三根细钢管相交处的节点O与凳面三角形ABC重心的连线垂直于凳面和地面.（1）若凳面是边长为20cm的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为45，确定节点O分细钢管上下两段的比0值（精确到0.01）；（2）若凳面是顶角为120的等腰三角形，腰长为24cm，0节点O分细钢管上下两段之比为2:3.确定三根细钢管的长度（精确到0.1cm）.［解］（1）（2）

小题满分8分A(n,a),

nn在直角坐标平面8上的一列点々(1,4),A(n,a),

nn，其中j为—►是否为T点简记为｛A｝.若由b=AA•j构成的数列｛b｝满足，其中j为—►是否为T点nnnn+1nn+1n方向与y轴正方向相同的单位向量，则称｛A｝为T点列.n1)判断A(1,1),a[2,1],A[3,1'12V273V3列，并说明理由；(2)若｛A｝为7点列，且点A在点A的右上方.任取其中连续三点A、A、An21kk+1k+2判断△AAA的形状(锐角三角形、直角三角形、钝角三角形)并予以证明；kk+1k+2(3)若｛A｝为T点列，正整数1<m<n<p<q满足m+q=n+p，求证：nAA•>AA.nqmp［解］(1)(2)[证明](3)学习好资料学习好资料欢迎下载小题满分8分.已知z是实系数方程X2+2bx+C=0的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为P（Rez,Imz）.z（1）若（b,c）在直线2x+y=0上，求证：P在圆C：（x-1）2+y2=1上；z1（2）给定圆C：（x一m）2+y2=r2（m、reR，r>0），则存在唯一的线段s满足：①若P在圆C上，则（b,c）在线段s上；②若（b,c）是线段s上一点（非端点），则Pzz在圆C上.写出线段s的表达式，并说明理由；（3）由（2）知线段s与圆C之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表一（表中s是（1）中圆C的对应线段）.11［证明］（1）［解］（2）（3）表一线段§与线段■的关系m、r的取值或表达式s所在直线平行于s1所在直线s所在直线平分线段s1线段s与线段s长度相等12008年上海市普通高等学校春季招生考试

数学试卷参考答案及评分标准说明本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅.当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.第17题至第22题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数.给分或扣分均以1分为单位.答案及评分标准一．（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.1.{x|x<4}2.13.[—2,1)U(1，.4.X=7^-.8.1+28.1+2.9.-1.6a=2n-16,cosa7.5n2义51310.=（金、水、木、火、土；金、土、火、木、水）.11.a-a.12.-.P512kk-125二．（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.题号13141516代号CDAB三．（第17至22题）17.［解］cos0原式=——-2sin0cos0sin01-cos20sin0sin0cos0cos0.0e1-2二豆

93,sin0=18.［解］2co0ssin02s0in4.2由已知可得A(2,0),B(0,2),C(1,1)，解得抛物线方程为y2=x(1-于是焦点Ft，0.V4•••点F到直线AB的距离为7<2

"I-…,2分…5分…9分…12分…3分…6分…9分…12分19.［证明］⑴任取x1<x2，则f(x)—f(x)=log(2xi+1)—log(2x2+1)=log2x1+122x2+1，x<x,

120<2x1+1<2x2+1，12［解］(2)f-1(x)=log2即函数f(x)在(—8,+8)内单调递增.(2x>0)，［解法一］•,m=f-1(x)-f(x=log(2x-1)-log(2x+1)I2%-1二log22%+1=10g211分当1<%<2时，2,-<52<2

2%+1-3,…14分・•.m的取值范围是log(1,log2…14分［解法二］解方程log(2%-1)=m+log(2%+1),得22%=log(2m+1)%=log(2m+1)…11分1<%<2,1<log2(2］

11-2mJ<2解得10g21L3J<m一（1J一

的取值范围是log-,log

3J一（1J一

的取值范围是log-,log

3J2l20.［解］（1）设4ABC的重心为H，连结OH.由题意可得，BH=笠3设细钢管上下两段之比为九.一一.30九已知凳子高度为30.则OH=管.3分…14分v节点O与凳面三角形ABC重心的连线与地面垂直，且凳面与地面平行./OBH就是OB与平面ABC所成的角，亦即BH=OHBH=OH3d_20—3i+x—，解得，九=--~=x0.63.…・6分9-2*3即节点O分细钢管上下两段的比值约为0.63.(2)设/B=120,AB=BC=24，AC=24^3.0TOC\o"1-5"\h\z设^ABC的重心为H，则BH=&AH=87~，……10分由节点O分细钢管上下两段之比为2:3，可知OH=12.设过点A、B、C的细钢管分别为AA'、BB'、CC，贝uAAA=CC=5OA=5OHH2+AH2=10<37x60.8，22BBb=5OB=5《OH2+BH2=10<13x36.1,22对应于A、B、C三点的三根细钢管长度分别为60.8cm,36.1cm和60.8cm.……14分5/、1711-121.［解］(1)a=,Jb=--=，显然有b>b,nnnn+1nn(n+1)n+1nJ{A}是T点列.……3n分kk+1k+1k+2k+2k+1)(a-)a.……5k+1k+1>(2)在4AAA中，AAkk+1k+1k+2k+2k+1)(a-)a.……5k+1k+1>AA・AA=-+ak+1kk+1k+2J+2b=b=a-a>0,

121丁点A在点A的右上方，J21{A}为7点列，Jb>b>0,TOC\o"1-5"\h\znn1J(a-a)(a-a)=-bb0,则AA.AA<0k+2k+1kk+1k+1kk+1kk+1k+2J/AAA为钝角，J△AAA为钝角三角形……8kk+1k+2kk+1k+2分(3)［证明］1<m<n<p<q,m+q=n+p,Jq-p=n-m0.①a+a-1q-1q=b+b++b>(q-p)b.同理a-a=b+b...++b<(n-m)b.nmn-1n-2由于｛A｝为T点列，于是b..>bn-1，n-1由①、②、③、④可推得a-a>a-aqpn，「.a一a>a一a，qnpm即AA•j>AA•j.nqmp22.［证明］(1)由题意可得2b+c=0，解方程x2+2bx-2b=0，z=-b±J-2b-b2i，点P(-b,<-2b-b2)或P(-b,-v-2b-b2)，将点P代入圆C的方程，等号成立，P在圆C：(x-1)2+y2=1上.（2）［解法一］当A<0，即b2<c时，解得z=-b±c-—b2i，点PCb,c--b2%PCb,-c--b2)由题意可得(一b-m)2+c-b2=r2，整理后得c=-2mb+r2-m2A=4(b2—c)<0，(b+m)2+c一b2=r2，工bg(-m-r,-m+力•二线段s为：c=-2mb+r2—m2，be［一m一r,一m+r］.若（b,c）是线段s上一点（非端点），则实系数方程为x2+2bx-2mb+r2-m2=0,be(一m一r,一m+r).此时A<0，且点Pb,Jr2-(b+m)2)P,b,-.