2022年江苏省泰州市学院附属实验中学高三数学理期末试卷含解析

2022年江苏省泰州市学院附属实验中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图是某几何体的三视图，当最大时，该几何体的体积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A考点：三视图及简单几何体的体积．【易错点晴】本题考查的是三视图与原几何体的形状的转化问题.解答时先依据题设中提供的三视图,将其换元为立体几何中的简单几何体,再依据几何体的形状求其体积.在这道题中,从三视图中可以推测这是一个由四棱锥和四分之一圆锥为几何体的组合体,最后分别求出其体积再加起来.解答本题的难点是先依据题设中提供的数据建立关于的方程.进而运用基本不等式求出取最大值时的全值.2.下列四个命题中：①；②；③设x，y都是正数，若＝1，则x＋y的最小值是12；④若｜x－2｜＜，｜y－2｜＜，则｜x－y｜＜2，则其中所有真命题的个数有A、1个B、2个C、3个D、4个参考答案：B3.设函数的导函数为，且，则曲线在点(4，f(4))处切线的倾斜角为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B4.如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为(

)

A、

B、

C、

D、参考答案：C略5.已知曲线与在处切线的斜率的乘积为3，则的值为（

）

A．-2

B．2

C．

D．1参考答案：D6.已知是锐角的三个内角，向量，，则与的夹角是A．锐角

B．钝角

C．直角

D．不确定参考答案：A解析：锐角中，，故有，同时易知与方向不相同，故与的夹角是锐角．7.已知P＝{x｜－1＜x＜1}，Q＝{x｜－2＜x＜0}，则P∪Q＝A．（－2，1）

B．（－1，0）

C．（0，1）

D．（－2，－1）参考答案：A∵P＝{x｜－1＜x＜1}，Q＝{x｜－2＜x＜0}∴P∪Q＝（－2，1）故选：A

8.在平面直角坐标系中,双曲线的右焦点为F,一条过原点O且倾斜角为锐角的直线l与双曲线C交于A,B两点，若△FAB的面积为8，则直线l的斜率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B9.已知为的导函数，则的图像是（

）参考答案：A10.若x>0,y>0且，则的最小值为(

)A．3

B．

C．2

D．3+参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知a＞0，b＞0，当（a+4b）2+取到最小值时，b=．参考答案：【考点】7F：基本不等式．【分析】根据基本不等式，，a=4b时取等号，进而得出，进一步可求出a=1，时，取到最小值，即求出了此时的b的值．【解答】解：∵a＞0，b＞0；∴，当a=4b时取“=”；∴（a+4b）2≥16ab；∴=8，当，即，a=1时取“=”；此时，b=．故答案为：．【点评】考查基本不等式，注意基本不等式等号成立的条件，不等式的性质．12.设数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得an=．再利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：∵数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，an=（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴an=．∴=2．∴数列{}的前n项的和Sn===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．13.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，则_______.参考答案：【分析】利用正弦定理即得求解.【详解】因为，，所以,所以.故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14.已知函数及，若对于任意的，存在使得恒成立且，则称为“兄弟函数”已知函数,

是定义在区间上的“兄弟函数”，那么函数在区间上的最大值为

参考答案：215.已知复数z=（i是虚数单位），则z的虚部是．参考答案：﹣2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的除法运算化简，则复数z的虚部可求．【解答】解：∵z==，∴z的虚部是﹣2．故答案为：﹣2．16.随机变量的分布列如右：其中成等差数列，若，则的值是______________．参考答案：略17.已知集合A={(x，y)|y=sinx，(0，2π)}，B={(x，y)|y=，R}，则集合A∩B的子集个数量多有

个.参考答案：4三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数．（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）设函数．若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．参考答案：21解：函数的定义域为，

（1分）．

（2分）（Ⅰ）当时，函数，，．所以曲线在点处的切线方程为，即．

（4分）（Ⅱ）函数的定义域为．

（i）当时，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递减．

（5分）（2）当时，，（ⅰ）若，由，即，得或；

（6分）由，即，得．

（7分）所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．

（8分）（ⅱ）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递增．

（9分）（Ⅲ））因为存在一个使得，则，等价于.

（10分）令，等价于“当时，”.

对求导，得.

（11分）因为当时，，所以在上单调递增.

（13分）所以，因此.

（14分）另解：设，定义域为，.依题意，至少存在一个，使得成立，等价于当时，.

（9分）（1）当时，在恒成立，所以在单调递减，只要，则不满足题意.

（10分）（2）当时，令得.（ⅰ）当，即时，在上，所以在上单调递增，所以，由得，，所以.

（11分）（ⅱ）当，即时，在上，所以在单调递减，所以，由得.

（12分）（ⅲ）当，即时，

在上，在上，所以在单调递减，在单调递增，，等价于或，解得，所以，.综上所述，实数的取值范围为.

（14分）

略19.（本小题满分12分）如图，已知圆G：经过椭圆的右焦点F及上顶点B，过圆外一点（m，0）（m＞a）倾斜角为的直线l交椭圆于C，D两点，（1）求椭圆的方程；（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的外部，求m的取值范围．参考答案：解析：（Ⅰ）∵圆G：经过点F、B．，．故椭圆的方程为．（4分）（Ⅱ）设直线l的方程为．由消去y得．（6分）设，则，．．∵点F在圆E的外部，，（10分）即，解得m＜0或m＞3．由，解得．又．（12分）20.等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，，．(Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）令，设数列的前项和，求．参考答案：（Ⅰ）设数列的公差为，数列的公式为，由．得，解得．∴．………6分（Ⅱ）由得，则为奇数，，为偶数，．∴………12分21.已知椭圆的离心率为，直线与椭圆有且只有一个交点T.(1)求椭圆C的方程和点T的坐标；(2)设O为坐标原点，与OT平行的直线与椭圆C交于不同的两点A，B，直线与直线交于点P，试判断是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由.参考答案：（1）+=1，T（1，）；（2）见解析.【分析】（1）由椭圆的离心率为得到b2=a2，根据直线l：x+2y=4与椭圆有且只有一个交点T得到△=0，解得a2=4，b2=3，即得椭圆的方程.（2）先计算出|PT|2=t2，|PA|==|﹣x1|，|PB|=|﹣x2|，再计算=为定值．【详解】（1）由椭圆的离心率e===，则b2=a2，则，消去x，整理得：y2﹣16y+16﹣a2=0，①由△=0，解得：a2=4，b2=3，所以椭圆的标准方程为：+=1；所以=，则T（1，），（2）设直线l′的方程为y=x+t，由，解得P的坐标为（1﹣，+），所以|PT|2=t2，设设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y整理得x2+tx+﹣1=0，则x1+x2=﹣t，x1x2=，△=t2﹣4（﹣1）＞0，t2＜12，y1=x1+t，y2=x2+t，|PA|==|﹣x1|，同理|PB|=|﹣x2|，|PA|?|PB|=|（﹣x1）（﹣x2）|=|﹣（x1+x2）+x1x2|，|﹣（﹣t）+|=t2，所以==，所以=为定值．【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，两点之间的距离公式，考查转化思想，属于中档题．22.(13分)如图直三棱柱中，，是上一点，且平面.（I）求证