2021年湖南省郴州市军山中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2021年湖南省郴州市军山中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.当时，则下列大小关系正确的是

（

）A.

B.C.

D.参考答案：C略2.已知a，b，c∈R，且满足2a＜2b＜2c＜1，则（）A．log（ab）＜log（bc）＜log（ac）B．log（ab）＜log（ac）＜log（bc）C．log（bc）＜log（ac）＜log（ab）D．log（ac）＜log（ab）＜log（bc）参考答案：B【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】2a＜2b＜2c＜1，可得a＜b＜c＜0．ab＞ac＞bc＞0，再利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵2a＜2b＜2c＜1，∴a＜b＜c＜0．∴ab＞ac＞bc＞0，∴log（ab）＜log（ac）＜log（bc），故选：B．3.若数列的前n项和为，则下列命题：

（1）若数列是递增数列，则数列也是递增数列；

（2）数列是递增数列的充要条件是数列的各项均为正数；

（3）若是等差数列（公差），则的充要条件是

（4）若是等比数列，则的充要条件是

其中，正确命题的个数是（

）

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个参考答案：B4.在菱形中，若,则=(

）A.

B.

C.

D.与菱形的边长有关参考答案：B5.双曲线的渐近线方程为

A.

B.

C.

D.参考答案：A略6.等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则的前n项和=

（A）

（B）

（C）

(D)参考答案：A7.设=（2，3），在方向上的投影为3，在x轴上的投影为1，则=（）A．（1，）B．（﹣1，）C．（1，）D．（﹣1，﹣）参考答案：A考点：平面向量数量积的运算；向量的线性运算性质及几何意义．专题：平面向量及应用．分析：由在x轴上的投影为1设出的坐标为（1，y），再由另外一个条件列出方程，求出y的值即可．解答：解：由在x轴上的投影为1，则设=（1，y），∵在方向上的投影为3，∴，解得y=，则=（1，），故选A．点评：本题主要考查向量投影的定义及其应用，考查灵活，巧妙既有知识的运用，也有少量的运算，是一道好题．8.已知向量，满足|+|=||=||，则向量与+夹角的余弦值为（）A． B．﹣ C．0 D．1参考答案：A【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意可得，即，再由已知||=||，可得向量与+夹角为，夹角的余弦值为．【解答】解：由|+|=||=||，得：，即，解得：，∵||=||，且，∴向量与+夹角为，夹角的余弦值为．故选：A．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，关键是对数量积公式的记忆与运用，是基础题．9.5名志原者分到3所学校支教，要求每所学校至少有1名志愿者，则不同的分法共有

（A）150种 （B）180种

（C）200种 （D）280参考答案：A10.已知角α的终边与以坐标原点为圆心，以1为半径的圆交于点P（sin，cos），则角α的最小正值为(

) A． B． C． D．参考答案：D考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：直接利用三角函数的定义，求解即可．解答： 解：角α的终边与以坐标原点为圆心，以1为半径的圆交于点P（sin，cos），即（，），对应点为（cos，sin）．角α的最小正值为：．故选：D．点评：本题考查任意角的三角函数的定义的应用，考查计算能力．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设变量满足约束条件则目标函数的最大值是___________。

参考答案：略12.设圆锥的轴截面是一个边长为4cm的正三角形，则该圆锥的体积为

cm3．参考答案：πcm313.若，则的最小值是

.参考答案：14.幂函数y=（m2﹣3m+3）xm过点（2，4），则m=

．参考答案：2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意得，由此能求出m=2．解：∵幂函数y=（m2﹣3m+3）xm过点（2，4），∴，解得m=2．故答案为：2．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数的性质的合理运用．15.已知函数f(x)=，则函数y＝f(f(x))－t

(0<t<1)的零点个数是__________.参考答案：3略16.已知向量，且向量与垂直，则实数的值是

.参考答案：17.已知函数，是偶函数，则a+b= ．参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知中心在坐标系原点，焦点在y轴上的椭圆离心率为，直线y=2与椭圆的两个交点间的距离为6．（1）求椭圆的标准方程；（2）过下焦点的直线l交椭圆于A，B两点，点P为椭圆的上顶点，求△PAB面积的最大值．参考答案：【考点】K4：椭圆的简单性质；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）根据题意，分析可得2c=a①，进而可得椭圆过点（3，2），代入椭圆方程得②，结合椭圆的几何性质分析可得a2、b2的值，将a2、b2的值代入椭圆的方程即可得答案；（2）设直线l的方程为y=kx﹣2．联立直线与椭圆的方程可得（4+3k2）x2﹣12kx﹣36=0，由根与系数的关系分析可得|AB|的长，由点到直线的距离公式可得P（0，4）到直线AB的距离d，则可以用k表示△PAB面积S，利用基本不等式的性质分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，因为，所以2c=a①又直线y=2与椭圆的两个交点间的距离为6．所以椭圆过点（3，2），代入椭圆方程得②又a2=b2+c2③由①②③得a2=16，b2=12所以椭圆方程为；（2）设直线l的方程为y=kx﹣2由得（4+3k2）x2﹣12kx﹣36=0显然△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）则，所以=又点P（0，4）到直线AB的距离为所以，令，则t≥1，k2=t2﹣1所以因为t≥1，在[1，+∞）上单调递增所以当t=1时，即k=0时，取最小值4所以Smax=18．19.（本题12分）各项均为正数的数列中，前项和.（1）求数列的通项公式；（2）若恒成立，求的取值范围；参考答案：20.（本小题满分12分)平行四边形中，，，且，以BD为折线，把△ABD折起，，连接AC.（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角B-AC-D的大小.参考答案：（Ⅰ）在中，,易得．面面面…………4分（Ⅱ）法一：在四面体ABCD中，以D为原点，DB为轴，DC为轴，过D垂直于平面BDC的直线为轴，建立如图空间直角坐标系.则D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A（1，0，1）.……………6分设平面ABC的法向量为，而，由得：，取……………8分再设平面DAC的法向量为，而，由得：，取.

...................................10分所以，所以二面角B-AC-D的大小是60°.…………12分法二：取BC的中点E,连DE,过D作DFAC于F,连EF,则是二面角B-AC-D的平面角........................................................8分,∴............................................................................12分法三：补成正方体．21.(本小题满分12分)在如图所示的几何体中，平面平面，四边形为平行四边形，，，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的大小．参考答案：解：（Ⅰ）∵平面平面,且平面平面平面

2分,

……3分又,

……………4分且,∴平面.

…………6分（Ⅱ）（解法一）建立如图空间直角坐标系不妨设，则则由题意得，,,

…8分设平面的法向量为，由得,9分设平面的法向量为，由，得，10分所以∴二面角的大小为.

…………12分

（解法二）取的中点，连接，因为，