2021年福建省泉州市延平中学高三数学文月考试题含解析

2021年福建省泉州市延平中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（x3+x）3（﹣7+）的展开式x3中的系数为（）A．3 B．﹣4 C．4 D．﹣7参考答案：B【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项式定理的展开式即可得出．【解答】解：（x3+x）3（﹣7+）=（x9+3x7+3x5+x3）（﹣7+）的展开式x3中的系数=﹣7+3=﹣4．故选：B．2.已知点是双曲线：（，）与圆的一个交点，若到轴的距离为，则的离心率等于（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D3.已知实数满足关系：，记满足上述关系的的集合为，则函数的最小值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：考点：1.导数的应用；2.基本不等式的应用.【方法点睛】本题主要考察了导数与基本不等式的综合应用，属于中档题型，第一个要解决的是函数的定义域，所以根据基本不等式，得到函数的定义域，根据导数求函数的最值，涉及了二次求导的问题，一次求导后，不易得到函数的单调性，所以需要二次求导，得到一次导的最小值，再判断函数的单调性,最后求最值.4.已知锐角α的终边上一点P（sin40°，1+cos40°），则α等于（） A．10° B．20° C．70° D．80°参考答案：C【考点】任意角的三角函数的定义． 【分析】由题意求出PO的斜率，利用二倍角公式化简，通过角为锐角求出角的大小即可．【解答】解：由题意可知sin40°＞0，1+cos40°＞0， 点P在第一象限，OP的斜率 tanα===cot20°=tan70°， 由α为锐角，可知α为70°． 故选C． 【点评】本题考查直线的斜率公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．5.如果方程x2﹣4ax+3a2=0的一根小于1，另一根大于1，那么实数a的取值范围是（）A． B．a＞1 C． D．a=1参考答案：A【考点】二次函数的性质．【分析】利用一元二次方程的根的分布与系数的关系，二次函数的性质，求得a的取值范围．【解答】解：∵方程x2﹣4ax+3a2=0的一根小于1，另一根大于1，令f（x）=x2﹣4ax+3a2，函数的开口向上，则f（1）=1﹣4a+3a2＜0，求得＜a＜1，故选：A．6.已知数列{αn}的前n项和sn=3n（λ﹣n）﹣6，若数列{an}单调递减，则λ的取值范围是（）A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，3） C．（﹣∞，4） D．（﹣∞，5）参考答案：A【考点】数列的函数特性．【分析】由已知求出an利用为单调递减数列，可得an＞an+1，化简解出即可得出【解答】解：∵sn=3n（λ﹣n）﹣6，①∴sn﹣1=3n﹣1（λ﹣n+1）﹣6，n＞1，②①﹣②得数列an=3n﹣1（2λ﹣2n﹣1）（n＞1，n∈N*）为单调递减数列，∴an＞an+1，且a1＞a2∴﹣3n﹣1（2λ﹣2n﹣1）＞3n（2λ﹣2n﹣3），且λ＜2化为λ＜n+，（n＞1），且λ＜2，∴λ＜2，∴λ的取值范围是（﹣∞，2）．故选：A．【点评】本题考查了数列的单调性，考查了推理能力与计算能力．7.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且,则下列结论中错误的是（

）A.

B.

C.三棱锥A-BEF的体积为定值D.参考答案：D8.正方体ABCD—A1B1C1D1的各个顶点与各棱的中点共20个点中，任取两点连成直线，在这些直线中任取一条，它与BD1垂直的概率为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：答案:D9.与曲线共焦点，且与曲线共渐近线的双曲线方程为(

)

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A略10.已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（

）A.2枝玫瑰的价格高

B.3枝康乃馨的价格高

C.价格相同

D.不能确定参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.命题“”的否定是＿＿＿＿＿参考答案：略12.若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为_______.参考答案：【分析】通过展开图是半径为3，圆心角为的扇形，可以求出圆锥的母线、圆锥的底面周长及半径，这样可以求出圆锥的高，利用圆锥的体积公式求出圆锥的体积.【详解】因为展开图是半径为3，圆心角为的扇形，所以圆锥的母线，圆锥的底面的周长为，因此底面的半径，根据勾股定理，可知圆锥的高，所以圆锥的体积为.【点睛】本题考查了求圆锥的体积问题，解题的关键是熟知圆锥侧面展开图与圆锥之间的关系.13.设是双曲线的两个焦点，是双曲线与椭圆的一个公共点，则的面积等于_________.参考答案：2414.已知椭圆点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝

．参考答案：【知识点】椭圆的定义;椭圆的基本性质的应用.H5【答案解析】8解析：如图：MN的中点为Q，易得|QF2|＝|NB|，|QF1|＝|AN|，

∵Q在椭圆C上，∴|QF1|+|QF2|=2a=4，∴|AN|+|BN|=8．故答案为8．【思路点拨】画出图形，利用中点坐标以及椭圆的定义，即可求出|AN|+|BN|的值．15.（5分）（2015?淄博一模）对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f（x）=cosx；②f（x）=x2﹣1；③f（x）=|x2﹣1|；④f（x）=log2（x﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（请写出所有正确的序号）参考答案：①②③【考点】：函数的值域．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据同域函数及同域区间的定义，再根据函数值域的求解即可找到①②③三个函数的一个同域区间，而通过判断f（x）和函数y=x交点的情况，容易判断函数④不存在同域区间．解：①f（x）=，x∈[0，1]时，f（x）∈[0，1]，所以①存在同域区间；②f（x）=x2﹣1，x∈[﹣1，0]时，f（x）∈[﹣1，0]，所以②存在同域区间；③f（x）=|x2﹣1|，x∈[0，1]时，f（x）∈[0，1]，所以③存在同域区间；④f（x）=log2（x﹣1），判断该函数是否有同域区间，即判断该函数和函数y=x是否有两个交点；而根据这两个函数图象可以看出不存在交点，所以该函数不存在同域区间．故答案为：①②③．【点评】：考查对同域函数及同域区间的理解，二次函数、余弦函数的值域的求解，知道通过判断函数f（x）和函数y=x图象交点的情况来判断函数是否存在同域区间的方法．16.若，满足约束条件，则的最大值是___________.参考答案：0略17.已知数列的前项和为

…

…

×××

×××

，现把数列的各项排成如图所示的三角形形状．记为第行从左起第个数．有下列命题：①为等比数列且其公比；②当时不存在；③；④假设为大于的常数，且，，其中为的最大值，从所有，中任取一个数，若取得的数恰好为奇数的概率为，则必然为偶数．其中你认为正确的所有命题的序号是___________.参考答案：②③④．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.中内角的对边分别为，已知，.（1）求的值；（2）若为中点，且的面积为，求的长度.参考答案：解：（1）由，得，由正弦定理得，（2），。由的面积为，，得，，.略19.设函数f（x）=x2+aln（x+1）（a为常数）（Ⅰ）若函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是单凋递增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数y=f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】转化思想．【分析】（Ⅰ）已知原函数的值为正，得到导函数的值非负，从而求出参量的范围；（Ⅱ）利用韦达定理，对所求对象进行消元，得到一个新的函数，对该函数求导后，再对导函数求导，通过对导函数的导导函数的研究，得到导函数的最值，从而得到原函数的最值，即得到本题结论．【解答】解：（Ⅰ）根据题意知：f′（x）=在[1，+∞）上恒成立．即a≥﹣2x2﹣2x在区间[1，+∞）上恒成立．∵﹣2x2﹣2x在区间[1，+∞）上的最大值为﹣4，∴a≥﹣4；经检验：当a=﹣4时，，x∈[1，+∞）．∴a的取值范围是[﹣4，+∞）．（Ⅱ）在区间（﹣1，+∞）上有两个不相等的实数根，即方程2x2+2x+a=0在区间（﹣1，+∞）上有两个不相等的实数根．记g（x）=2x2+2x+a，则有，解得．∴，．∴令．，记．∴，．在使得p′（x0）=0．当，p′（x）＜0；当x∈（x0，0）时，p′（x）＞0．而k′（x）在单调递减，在（x0，0）单调递增，∵，∴当，∴k（x）在单调递减，即．【点评】本题考查的是导数知识，重点是利用导数法研究函数的单调性、究极值和最值，难点是多次连续求导，即二次求导，本题还用到消元的方法，难度较大．20.已知为半圆的直径，，为半圆上一点，过点作半圆的切线，过点作于，交圆于点，．（Ⅰ）求证：平分；（Ⅱ）求的长．参考答案：21.如图，直三棱柱ABC一A1B1C1中，AB＝，AC＝3，BC＝，D是ACl的中点，E.是侧棱BB1上的一个动点

(I）当E是BB1的中点时，证明:DE／／平面A1B1C1

（2）在棱BB1上是否存在点E使平面AC1E⊥平面AC1C？若存在，求出的值，若不存在，说明理由参考答案：（l）见解析；（2）见解析

【知识点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．G10G11解析：（1）证明：取A1C1中点F，连接DF，DE，B1F∵D是AC1的中点，E是BB1的中点．∴DF∥AA1，B1E∥AA1，DF=AA1，B1E=AA1，∴DF∥B1E，DF=B1E，所以DE∥B1F，DE=B1F…（2分）又B1F?平面A1B1C1，所以DE∥平面A1B1C1…（4分）（2）解：分别在两底面内作BO⊥AC于O，B1O1⊥A1C1于O1，连接OO1，则OO1∥AA1，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OO1为z轴建立直角坐标系，设AA1=t，BE=h，则λ=，A（0，﹣1，0），C1（0，，t），E（（1，0，h）．平面A1ACC1的法向量为=（1，0，0）…（7分）设平面AC1E的法向量为=（x，y，z）∵=（1，1，h），=（0，，h）∴由可得…（9分）取z=1得y=，x=∴…（11分）由题知，∴=0∴，∴λ==所以在BB1上存在点E，当时，二面角E﹣AC1﹣C是直二面角．…（12分）【思路点拨】（1）取A1C1中点F，连接DF，DE，B1F，利用三角形中