2021-2022学年湖北省武汉市四美塘中学高三数学理期末试卷含解析

2021-2022学年湖北省武汉市四美塘中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.“”是“直线与圆相切”的(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A2.（5分）已知f（x）在R上是奇函数，且f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（7）=（） A． ﹣2 B． 2 C． ﹣98 D． 98参考答案：A考点： 函数的周期性；奇函数；函数奇偶性的性质．分析： 利用函数周期是4且为奇函数易于解决．解答： 解：因为f（x+4）=f（x），故函数的周期是4所以f（7）=f（3）=f（﹣1），又f（x）在R上是奇函数，所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2×12=﹣2，故选A．点评： 本题考查函数的奇偶性与周期性．3.执行如图2的程序框图，如果输入的的值是6，那么输出的的值是A．15

B．105 C．120

D．720参考答案：B略4.下列命题中不正确的是

（

）

A．若

B．若∥，∥，则∥

C．若，，∥，则∥

D．若一直线上有两点在已知平面外，则直线上所有点在平面外参考答案：5.定义在R上的偶函数满足，且在上是增函数，若是锐角三角形的两个内角，则（

）A. B.C. D.参考答案：D【分析】根据f（x+2）＝f（x），得函数的周期为2，在[﹣3，﹣2]上是减函数，可得f（x）在[﹣1，0]上为减函数，由f（x）为偶函数，得f（x）在[0，1]上为单调增函数．再根据α，β是锐角三角形的两个内角，利用三角函数诱导公式化简可得答案．【详解】由题意：可知f（x+2）＝f（x），∴f（x）是周期为2的函数，∵f（x）在[﹣3，﹣2]上为减函数，∴f（x）在[﹣1，0]上为减函数，又∵f（x）为偶函数，根据偶函数对称区间的单调性相反，∴f（x）在[0，1]上为单调增函数．∵在锐角三角形中，π﹣α﹣β∴π﹣α﹣β，即，∴αβ＞0，∴sinα＞sin（）＝cosβ；∵f（x）在[0，1]上为单调增函数．所以f（sinα）＞f（cosβ），故选：D．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和周期性的应用，以及三角函数的图象和性质，综合性较强，涉及的知识点较多．属于中档题．6.若＝（）是偶函数，则的值是（）（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）参考答案：C略7.设，则

A.

B.

C.

D.

参考答案：A略8.定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1，f′（x）为f（x）的导函数，已知y=f′（x）的图象如图所示，若两个正数a，b满足则的取值范围是(

)A． B． C． D．参考答案：C考点：简单线性规划的应用；函数的单调性与导数的关系．专题：压轴题；图表型．分析：先根据导函数的图象判断原函数的单调性，从而确定a、b的范围得到答案．解答：解：由图可知，当x＞0时，导函数f'（x）＞0，原函数单调递增∵两正数a，b满足f（2a+b）＜1，∴0＜2a+b＜4，∴b＜4﹣2a，0＜a＜2，画出可行域如图．k=表示点Q（﹣1，﹣1）与点P（x，y）连线的斜率，当P点在A（2，0）时，k最小，最小值为：；当P点在B（0，4）时，k最大，最大值为：5．取值范围是C．故选C．点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减9.已知点是平面区域内的动点，点，O为坐标原点，设的最小值为M，若恒成立,则实数的取值范围是 A． B．

C． D．参考答案：C10.已知P是△ABC所在平面内一点，,现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（

）A

B.

C

D

参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.将石子摆成如图的梯形形状.称数列为“梯形数”.根据图形的构成,数列第项

;第项

.参考答案：;12.已知三棱锥A-BCD的棱长均为6，其内有个小球，球与三棱锥A-BCD的四个面都相切，球与三棱锥A-BCD的三个面和球都相切，如此类推，…，球与三棱锥A-BCD的三个面和球都相切（，），则球的表面积等于_______．参考答案：【分析】根据几何关系，求得的半径，归纳出半径的通项公式，即可容易求得的表面积.【详解】不妨设的半径为，正四面体的棱长为，取中点为，球与平面切于点，球与平面切于点，作截面，为△的外心，如下图所示：容易知，，，因为，故可得，解得；同理由，故可得，解得，以此类推，总结归纳可得是首项为，公比为的等比数列，故可得，则的表面积.故答案为：.【点睛】本题考查棱锥内切球半径的求解，涉及等比数列的通项公式求解，属压轴题.13.有一个内接于球的四棱锥，若，，，BC＝3，CD＝4，PA＝5，则该球的表面积为________．参考答案：由∠BCD＝90°知BD为底面ABCD外接圆的直径，则2r＝＝5.又∠DAB＝90°?PA⊥AB，PA⊥AD，BA⊥AD.从而把PA，AB，AD看作长方体的三条棱，设外接球半径为R，则(2R)2＝52＋(2r)2＝52＋52，∴4R2＝50，∴S球＝4πR2＝50π.14.已知f(x)＝，则＋的值等于

参考答案：315.已知α∈（，π），且sinα=，则tanα的值为

．参考答案：﹣考点：同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：由α的范围以及sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，即可确定出tanα的值．解答： 解：∵α∈（，π），且sinα=，∴cosα=﹣=﹣，则tanα==﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．16.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为

。参考答案：

17.已知不等式（ax+3）（x2﹣b）≤0对任意x∈（﹣∞，0）恒成立，其中a，b是整数，则a+b的取值的集合为

．参考答案：{4，10}【考点】一元二次不等式的解法．【分析】对b分类讨论，当b≤0时，由（ax+3）（x2﹣b）≤0得到ax+3≤0，由一次函数的图象知不存在；当b＞0时，由（ax+3）（x2﹣b）≤0，利用数学结合的思想得出a，b的整数解．【解答】解：当b≤0时，由（ax+3）（x2﹣b）≤0得到ax+3≤0在x∈（﹣∞，0）上恒成立，则a不存在；当b＞0时，由（ax+3）（x2﹣b）≤0，可设f（x）=ax+3，g（x）=x2﹣b，又g（x）的大致图象如下，那么由题意可知：再由a，b是整数得到或因此a+b=10或4．故答案为{4，10}．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用局胜制（即先胜局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.（Ⅰ）求甲以比获胜的概率；（Ⅱ）求乙获胜且比赛局数多于局的概率；（Ⅲ）求比赛局数的分布列.参考答案：（Ⅰ）解：由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是．………………1分记“甲以比获胜”为事件，则．

………………4分（Ⅱ）解：记“乙获胜且比赛局数多于局”为事件.

因为，乙以比获胜的概率为，

………………6分

乙以比获胜的概率为， ………………7分所以．

………………8分（Ⅲ）解：设比赛的局数为，则的可能取值为．

，

………………9分

，

………………10分

，

………………11分

．

………………12分比赛局数的分布列为：

………………13分略19.已知椭圆的两个焦点是，，点在椭圆上，且．（I）求椭圆的方程．（II）设点关于轴的对称点为，是椭圆上一点，直线和与轴分别相交于点，，为原点．证明：为定值．参考答案：（I） （II）见解析（I）在椭圆中，，∴，代入于中，解出，∴椭圆的方程为．（II）证明：∵、关于轴对称，∴，设，则，，，直线，令，则，∴，直线，令，，∴，∴，，∴为定值．20.（10分）已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰为的中点，又知。（I）求证：平面；（II）求到平面的距离；（III）求二面角余弦值的大小。

参考答案：解析：（I）如图，取的中点，则，因为，

所以，又平面，

以为轴建立空间坐标系，

则，，，，，，，，由，知，

又，从而平面；

（II）由，得。

设平面的法向量为，，，所以，设，则

所以点到平面的距离。

（III）再设平面的法向量为，，，

所以，设，则，

故，根据法向量的方向，

可知二面角的余弦值大小为

21.已知函数f（x）=aex﹣x（a∈R），其中e为自然对数的底数，e=2.71828…（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性，并说明理由（Ⅱ）若x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，然后对a分类，当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）=aex﹣x为R上的减函数；当a＞0时，由导函数为0求得导函数的零点，再由导函数的零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性；（Ⅱ）x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，等价于aex﹣x≥e﹣x恒成立，分离参数a，可得恒成立．令g（x）=，则问题等价于a不小于函数g（x）在[1，2]上的最大值，然后利用导数求得函数g（x）在[1，2]上的最大值得答案．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=aex﹣x，得f′（x）=aex﹣1，当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）=aex﹣x为R上的减函数；当a＞0时，令aex﹣1=0，得x=lna，若x∈（﹣∞，﹣lna），则f′（x）＜0，此时f（x）为的单调减函数；若x∈（﹣lna，+∞），则f′（x）＞0，此时f（x）为的单调增函数．综上所述，当a≤0时，f（x）=aex﹣x为R上的减函数；当a＞0时，若x∈（﹣∞，﹣lna），f（x）为的单调减函数；若x∈（﹣lna，+∞），f（x）为的单调增函数．（Ⅱ）由题意，x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，等价于aex﹣x≥e﹣x恒成立，即x∈[1，2]，恒成立．令g（x）=，则问题等价于a不小于函数g（x）在[1，2]上的最大值．由g（x）==，函数y=在[1，2]上单调递减，令h（x）=，x∈[1，2]，h′（x）=．∴h（x）=在x∈[1，2]上也是减函数，∴g（x）在x∈[1，2]上也是减函数，∴g（x）在[1，2]上的最大值为g（1）=．故x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立的实数a的取值范围是[，+∞）．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数最值的求法，训练了利用分离变量法求函数的最值，是中档题．22.（本小题满分14分）在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表1：男生

表2：女生等级优秀合格尚待改进

等级优秀合格尚待改进频数155

频数153（1）从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；（2）由表中统计数据填写下边列联表，并判断是否有的把握认为“测评结果优秀与性别有关