2021-2022学年四川省成都市南河中学高三数学理测试题含解析

2021-2022学年四川省成都市南河中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.过点作圆的两条切线，切点分别为、，为坐标原点，则的外接圆方程是（

）（A）

（B）（C）

（D）参考答案：2.已知等比数列的公比为正数，且，，则A.

B.

C.

D.参考答案：A3.已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为

(A)7

(B)9

(C)11

(D)13参考答案：D本题主要考查了球的性质和二面角的概念。是难度较大的题目。

球心与截面圆的圆心连线垂直于截面，如图

由题意球半径,圆M半径为2，所以

又因为圆面M与圆面N成的二面角为60°，所以

则，所以圆N的半径为，圆N的面积为.4.若将函数的图象向左平移个单位，所得的图象关于轴对称，则的最小值是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B函数的图象向左平移个单位，得到图象关于轴对称，即，解得，又，当时，的最小值为，故选B.

5.函数的图像为，如下结论中错误的是（

）A．图像关于直线对称 B．图像关于点对称 C．函数在区间内是增函数

D.由得图像向右平移个单位长度得到图像参考答案：C略6.设a=2﹣0.5，b=log3π，c=log42，则（） A．b＞a＞c B． b＞c＞a C． a＞b＞c D． a＞c＞b参考答案：A略7.在中,内角的对边分别为是外接圆的圆心,若,且,则的值是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C因为，由余弦定理得，整理得，所以，即，因为是的外心，则对于平面内任意点，均有：，令与重合，及得，∵，∴．故选C．三角形的四心与向量关系：（1）是重心，是平面内任一点，是重心．（2）是垂心，若是垂心，则．（3）是外心，若是外心，则．若是外心，则对于平面内任意点，均有：．（4）是内心是内心，是内心．8.某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是 A．

B．

C.

D.参考答案：A由三视图可知，这个几何体是水平放置的直三棱柱，且底面是直角三角形。则。9.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的高为6，点D，E分别在线段A1C1，B1C上，A1C1=3DC1，B1C=4B1E.点A，D，E所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等的两部分，若底面△ABC的面积为6，则较大部分的体积为A.22 B.23 C.26 D.27参考答案：B【分析】延长AD与CC1的交点为P，连接PE与C1B1的交点为N，延长PE交B1B为M，与面ABC交于点Q，得到截面为DNMA，由题意得A1D＝2DC1，由此能求出较大部分的体积．【详解】如图，延长AD与的交点为P，连接PE与的交点为N，延长PE交为M，与面ABC交于点Q，得到截面为DNMA，，，，N分别为，的中点，下部分体积．故选B．【点睛】本题考查几何体中两部分体积之比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间不规则几何体体积的求解方法的培养．10.如图是某学校研究性课题《什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类》向题的统计图（每个受访者都只能在问卷的5个活动中选择一个），以下结论错误的是（）A.回答该问卷的总人数不可能是100个B.回答该问卷的受访者中，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多C.回答该问卷的受访者中，选择“学校团委会宣传”的人数最少D.回答该问卷的受访者中，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8个参考答案：D【分析】先对图表数据分析处理，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．【详解】对于选项A，若回答该问卷的总人数不可能是100个，则选择③④⑤的同学人数不为整数，故A正确，对于选项B，由统计图可知，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多，故B正确，对于选项C，由统计图可知，选择“学校团委会宣传”的人数最少，故C正确，对于选项D，由统计图可知，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8%，故D错误，故选：D．【点睛】本题考查了对图表数据的分析处理能力及简单的合情推理，属中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在（a+b）n的二项展开式中，若二项式系数的和为256，则二项式系数的最大值为（结果用数字作答）．参考答案：70【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题；方程思想；综合法；二项式定理．【分析】利用二项展开式的二项式系数的性质：二项式系数和为2n，展开式中中间项的二项式系数最大．【解答】解：据二项展开式的二项式系数和的性质：展开式的二项式系数和为2n，∴2n=256，解得n=8，展开式共n+1=8+1=9项，据中间项的二项式系数最大，故展开式中系数最大的项是第5项，最大值为=70．故答案为：70．【点评】本题考查二项展开式的二项式系数的性质：二项式系数和是2n；展开式中中间项的二项式系数最大．12.已知函数f（x）=，若｜f（x）｜≥ax，则a的取值范围是

参考答案：[-2,0][-2,0]【考点】其他不等式的解法．【专题】压轴题；不等式的解法及应用．【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=｜f（x）｜的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．【解答】解：由题意可作出函数y=｜f（x）｜的图象，和函数y=ax的图象，由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=｜f（x）｜在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x，求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[-2,0].【点评】本题考查其它不等式的解法，数形结合是解决问题的关键，属中档题．13.已知样本的平均数与方差分别是1和4，(a>0,i=1,2..2019)且样本的平均数与方差也分别是1和16，则;参考答案：514.若正数满足，则的最小值为____________.参考答案：3略15.设向量、的夹角为θ（其中0＜θ≤π），||=1，||=2，若（2﹣）⊥（k+），则实数k的值为．参考答案：2【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】（2﹣）⊥（k+），（2﹣）?（k+）=0，即可得出．【解答】解：∵（2﹣）⊥（k+），向量、的夹角为θ（其中0＜θ≤π），||=1，||=2，∴（2﹣）?（k+）=2k﹣+（2﹣k）=2k﹣4+2（2﹣k）cosθ=0，∴（k﹣2）（1﹣cosθ）=0对于θ∈（0，π]都成立．∴k=2．故答案为：2．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.已知函数，则f(x)的最小值为_______．参考答案：－4【分析】先由题意得到函数的单调性，进而可求函数的最小值.【详解】因为函数是单调递减函数，所以时，函数.故答案为【点睛】本题主要考查函数的最值问题，熟记基本初等函数的单调性即可，属于基础题型.17.若是纯虚数，则的值为

．参考答案：试题分析：∵是纯虚数，∴，，∴，，∴，∴，故答案为：.考点：复数的基本概念.【思路点晴】本题考查复数的基本概念，考查同角三角函数之间的关系，是一个基础题，解题的过程中注意纯虚数的等价条件，根据复数是一个纯虚数，得到这个复数的实部为，虚部不为，解出关于的正弦的值和余弦不等于的值，根据三角恒等式从而得到这个角的余弦值，根据同角的三角函数关系，得到正切值．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.直三棱柱是的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：．参考答案：（Ⅰ）

（Ⅱ）略19.（本小题满分14分）设，（1）若的图像关于对称，且，求的解析式；（2）对于（1）中的，讨论与的图像的交点个数.参考答案：

20.已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）?ex定义域为（t＞﹣2），设f（﹣2）=m，f（t）=n．（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在上为单调函数；（Ⅱ）求证：n＞m；（Ⅲ）求证：对于任意的t＞﹣2，总存x0∈（﹣2，t），满足，并确定这样的x0的个数．参考答案：考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：压轴题．分析：（Ⅰ）首先求出函数的导数，然后根据导数与函数单调区间的关系确定t的取值范围，（Ⅱ）运用函数的极小值进行证明，（Ⅲ）首先对关系式进行化简，然后利用根与系数的关系进行判定．解答： （Ⅰ）解：因为f′（x）=（2x﹣3）ex+（x2﹣3x+3）ex，由f′（x）＞0?x＞1或x＜0，由f′（x）＜0?0＜x＜1，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，∵函数f（x）在上为单调函数，∴﹣2＜t≤0，（Ⅱ）证：因为函数f（x）在（﹣∞，0）∪（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，所以f（x）在x=1处取得极小值e，又f（﹣2）=13e﹣2＜e，所以f（x）在即m＜n，（Ⅲ）证：因为，∴，即为x02﹣x0=，令g（x）=x2﹣x﹣，从而问题转化为证明方程g（x）==0在（﹣2，t）上有解并讨论解的个数，因为g（﹣2）=6﹣（t﹣1）2=﹣，g（t）=t（t﹣1）﹣=，所以当t＞4或﹣2＜t＜1时，g（﹣2）?g（t）＜0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且只有一解，当1＜t＜4时，g（﹣2）＞0且g（t）＞0，但由于g（0）=﹣＜0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且有两解，当t=1时，g（x）=x2﹣x=0，解得x=0或1，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有且只有一解，当t=4时，g（x）=x2﹣x﹣6=0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上也有且只有一解，综上所述，对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足，且当t≥4或﹣2＜t≤1时，有唯一的x0适合题意，当1＜t＜4时，有两个x0适合题意．点评：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的方法及推理和运算能力．21.已知函数f（x）=x2ekx．（Ⅰ）当k=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）设g（x）=+2（a＞0），且对于任意的x1，x2∈[0，2]，均有g（x1）≥f（x2）恒成立，求实数k的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）求出k=1时f（x）的导数，求得切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（2）“对任意的x1，x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2）恒成立”等价于“当a＞0时，对任意的x1，x2∈[0，2]，gmin（x）≥fmax（x）成立”，求得g（x）在[0，2]上的最小值，再求f（x）的导数，对k讨论，结合单调性，求得最大值，解不等式即可得到．【解答】解：（1）当k=1时，f（x）=x2ex．的导数为f′（x）=（x2+2x）ex，f（1）=e，切线的斜率为f′（1）=3e，即有切线方程为y﹣e=3e（x﹣1），即3ex﹣y﹣2e=0；（2）“任意的x1，x2∈[0，2]，均有g（x1）≥f（x2）恒成立”等价于“当a＞0时，对任意的x1，x2∈[0，2]，gmin（x）≥fmax（x）成立”，当a＞0时，函数g（x）在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，而g（0）=2，g（2）=+2，所以g（x）的最小值为g（0）=2，f（x）的导数f′（x）=2xekx+x2ekx?k=（kx2+2x）ekx，当k=0时，f（x）=x2，x∈[0，2]时，fmax（x）=f（2）=4，显然不满足fmax（x）≤1，当k≠0时，令f′（x）=0得，x1=0，x2=﹣，①当﹣≥2，即﹣1≤k≤0时，在[0，2]上f′（x）≥0，所以f（x）在[0，2]单调递增，所以fmax（x）=f（2）=4e2k，只需4e2k≤1，得k≤﹣ln2，所以﹣1≤k≤﹣ln2；②当0＜﹣＜2，即k＜﹣1时，在[0，﹣]，f（x）单调递增，在[﹣，2]，f（x）单调递减，所以fmax（x）=f（﹣）=，只需≤1，得k≤﹣，所以k＜﹣1；③当﹣＜0，即k＞0时，显然在[0，2]上f′（x）≥0，