高职单招数学试题及答案

高职单招数学试题及答案

高职单招数学试题及答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。二、数学单项选择（共10小题，计30分）1.设集合$M=\{0,1,2\}$，$N=\{0,1\}$，则$M\capN=$（）。A.$\{2\}$B.$\{0,1\}$C.$\{0,2\}$D.$\{0,1,2\}$2.不等式$x-1<2$的解集是（）。A.$x<3$B.$x>-1$C.$x<-1$或$x>3$D.$-1<x<3$3.已知函数$f(x)=2x+2$，则$f(1)$的值为（）。A.2B.3C.4D.64.函数$y=-2x+1$在定义域$R$内是（）。A.减函数B.增函数C.非增非减函数D.既增又减函数5.设$a=4$，$b=80.90.48x\frac{1}{2}$，$c=\frac{1}{2}-1.5$，则$a$，$b$，$c$的大小顺序为（）。A.$a>b>c$B.$a>c>b$C.$b>a>c$D.$c>a>b$6.已知$a=(1,2)$，$b=(x,1)$，当$a+2b$与$2a-b$共线时，$x$值为（）。A.1B.2C.$\frac{1}{1}$D.$\frac{3}{2}$7.已知$\{a_n\}$为等差数列，$a_2+a_8=12$，则$a_5$等于（）。A.4B.5C.6D.78.已知向量$a=(2,1)$，$b=(3,\lambda)$，且$a\perpb$，则$\lambda=$（）。A.$-6$B.6C.$\frac{5}{2}$D.$-\frac{3}{2}$9.点$(3,5)$到直线$y=2x$的距离为（）。A.$\frac{5}{2}$B.5C.$\frac{3}{2}$D.$\frac{5}{\sqrt{2}}$10.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）种。A.12种B.10种C.9种D.8种二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。11.（5分）复数$1+\sqrt{3}i=$（）。12.（5分）设$f(x)$是定义在$R$上的周期为2的函数，当$x\in[-1,1)$时，$f(x)=x^2$，则$f(2)=$（）。13.（5分）如图，从气球$A$上测得正前方的河流的两岸$B$，$C$的俯角分别为$67^\circ$，$30^\circ$，此时气球的高是46m，则河流的宽度$BC$约等于（）m。（用四舍五入法将结果精确到个位。参考数据：$\sin67^\circ\approx0.92$，$\cos67^\circ\approx0.39$，$\sin37^\circ\approx0.60$，$\cos37^\circ\approx0.80$，$\sqrt{3}\approx1.73$）14.设$m\in\mathbb{R}$，过定点$A$的动直线$x+my=0$和过定点$B$的动直线$mx-y-m+3=0$交于点$P(x,y)$。则$|PA|\cdot|PB|$的最大值是多少？15.设$A$表示值域为$\mathbb{R}$的函数组成的集合，$B$表示具有如下性质的函数$\varphi(x)$组成的集合：对于函数$\varphi(x)$，存在一个正数$M$，使得函数$\varphi(x)$的值域包含于区间$[-M,3M]$。例如，当$\varphi_1(x)=x$，$\varphi_2(x)=\sinx$时，$\varphi_1(x)\inA$，$\varphi_2(x)\inB$。现有如下命题：①设函数$f(x)$的定义域为$D$，则“$f(x)\inA$”的充要条件是“$\forallb\in\mathbb{R}$，$\existsa\inD$，$f(a)=b$”；②函数$f(x)\inB$的充要条件是$f(x)$有最大值和最小值；③若函数$f(x)$，$g(x)$的定义域相同，且$f(x)\inA$，$g(x)\inB$，则$f(x)+g(x)\notinB$；④若函数$f(x)=a\ln(x+2)$（$x>-2$，$a\in\mathbb{R}$）有最大值，则$f(x)\inB$。其中的真命题有：①、②、④。16.设数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n=2a_n-a_1$，且$a_1$，$a_2+1$，$a_3$成等差数列。（1）求数列$\{a_n\}$的通项公式；（2）记数列$\{T_n\}$的前$n$项和$T_n$，求得使$|T_n-1|<\varepsilon$成立的$n$的最小值。其中$\varepsilon$是一个给定的正数。17.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐。每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得$10$分，出现两次音乐获得$20$分，出现三次音乐获得$100$分，没有出现音乐则扣除$200$分（即获得$-200$分）。设每次击鼓出现音乐的概率为$p$，且各次击鼓出现音乐相互独立。（1）设每盘游戏获得的分数为$X$，求$X$的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了。请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因。18.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示。在正方体中，设$BC$的中点为$M$，$GH$的中点为$N$。（I）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）。（II）证明：直线$MN\parallel$平面$BDH$。椭圆E的离心率为2，故长轴为2a，短轴为2b，有2a=2b√3，即a=b√3。又因为过点P(0,1)的动直线与椭圆E相交于A,B两点，且直线平行于x轴时截得线段长为22，故A,B的纵坐标相差2，即B的纵坐标为-1。设动直线方程为y=kx+1，代入椭圆方程得x²/3(k²+1)+kx+1=1，化简得x²+3kx+3=0，解得x1,x2=-3k±√(9k²-12)/2。由于A,B在椭圆上，因此9x1²/4+a²=1，9x2²/4+a²=1，联立解得a=2/√3，b=2/3。所以椭圆E的方程为x²/3+y²/4=1。若存在点Q满足题意，则由椭圆的性质可知，QA和QB分别是椭圆E的两条焦半径，且PA和PB分别是QA和QB的平分线。又因为P在y轴上，且PA和PB的斜率相反，故QA和QB的斜率也相反，即交点O在x轴上。设焦点坐标为（c,0）和（-c,0），则由QA和QB的斜率相反可得c=√3/2。设Q的坐标为(x,y)，则有QA²=x²+(y-2/√3)²，QB²=x²+(y+2/√3)²，联立得y=1/√3。所以点Q的坐标为(0,1/√3)。对于函数f(x)=e^(-ax-bx-1)，有g(x)=-ae^(-ax-bx-1)-be^(-ax-bx-1)，g'(x)=0时，-a(e^(-ax-bx-1)+x*e^(-ax-bx-1))-b(e^(-ax-bx-1)+x*e^(-ax-bx-1))=0，化简得x=1/(a+b)，代入g(x)得g(1/(a+b))=-2e^(-2/(a+b))。所以函数g(x)在区间[0,1]上的最小值为-2。由f(1)=0可得e^(-a-b-1)=0，即a+b<-1。又因为f(x)在区间(0,1)内有零点，即存在x0∈(0,1)使得f(x0)=0，即e^(-ax0-bx0-1)=0，即ax0+bx0+1=0，所以a+b>-1。综上可得-1<a+b<-1/e。动直线mx-y-m+3=0可以写成m(x-1)-y+3=0的形式，经过点B(1,3)。注意到动直线x+my=0和动直线mx-y-m+3=0垂直，P是两条直线的交点。因此，根据勾股定理，有PA⊥PB，且|PA|+|PB|=|AB|=10。因此，有|PA|•|PB|≤25，所以答案为5。15.解：（1）对于命题①，“f(x)∈A”表示函数f(x)的值域为实数集R，“∀b∈R，∃a∈D，f(a)=b”表示函数可以在R中取任意值。因此，设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f(a)=b”，即命题①是真命题。（2）对于命题②，“函数f(x)∈B”表示函数f(x)的值域在区间[-M,M]内。如果函数f(x)满足-2<f(x)<5，则有-5≤f(x)≤5。此时，f(x)没有最大值和最小值。因此，命题②“函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值”是假命题。（3）对于命题③，如果函数f(x)和g(x)的定义域相同，且f(x)的值域为R，g(x)的值域在区间[-M,M]内，则f(x)+g(x)的值域为R-M~R+M。因此，f(x)+g(x)不在区间[-M,M]内，即f(x)+g(x)∉B。因此，命题③是真命题。（4）对于命题④，当a>0时，当x→-2时，ln(x+2)→-∞，因此f(x)→-∞，与题意不符。当a<0时，当x→+∞时，ln(x+2)→+∞，因此f(x)→+∞，也与题意不符。因此，a=0。即函数f(x)=ln(x+2)，当x>-2时，有最大值，当x=0时，函数值为0，当x<-2时，有最小值。因此，命题④是真命题。因此，答案为①③④。16.解：（1）当n≥2时，有an=Sn-Sn-1=2an-an-1-(2an-1-an-1)，化简得an=2an-1。因此，{an}是以a1为首项，2为公比的等比数列。又根据题意，有2a2+2=a1+a3，代入a1=2，解得a3=6。因此，an=2n（n∈N*）。11[1-(1/2)n]=1-(1/2)^n=Tn(n∈N*)根据等比数列求和公式得Tn=2(1-(1/2)^n)根据题意得出1/a(n)=2^(2n-1)-2当n=10时，Tn-1=2^10=1024，Tn-1<1000成立时，n的最小值为n=10。点评：这道题考察了前n项和Sn与通项an的关系以及等比数列的求和公式，难度较易，考察基础知识的直接运用。因此在复习时要重点掌握基础知识。17.解：（1）X可能取值有-200，10，20，100。则P（X=-200）=1/100，P（X=10）=2/10，P（X=20）=3/10，P（X=100）=4/10。故分布列为：X-2001020100P1/1002/103/104/10由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p=1/2。则至少有一盘出现音乐的概率p=1-(1/2)^5。由（1）知，每盘游戏获得的分数为X的数学期望是E（X）=（-200）×1/100+10×2/10+20×3/10+100×4/10=-28。这说明每盘游戏平均得分是负分，根据概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，分数没有增加反而会减少。18.解：（I）将平面图形折叠并注意顶点的对应方式即可，如图所示：（II）连接BD，取BD的中点Q，连接MQ。因为M、Q为线段BC、BD中点，所以MQ//CD//GH且MQ=1/2CD=GH/2。又因N为GH中点，所以NH=GH/2=MQ。所以四边形QMNH为平行四边形，得到QH//MN。又因为QH垂直于平面BDH，且GH//BD，所以MN//平面BDH（得证）。（III）连接AC，EG，过点M作MK⊥AC，垂足在AC上，过点K作平面ABCD垂线，交EG于点L，连接ML，则二面角A-EG-M=∠MLK。因为MK⊥平面ABCD，且AE垂直于平面ABCD，所以MK⊥AE。又AE，AC在平面AEG上，因此MK垂直平面AEG，且KL平行于AEG，所以MK垂直KL，因此三角形MKL是直角三角形。设正方体棱长为a，则AB=BC=KL=a，因此MC=a√2/2。因为∠MCK=45°，所以三角形MCK也是直角三角形，因此MK=MCcos45°=a√2，tan∠MLK=3/4，cos∠MLK=7/25，因此cos∠AEGM=cos∠MLK=7/25。解：（1）因为点（a/8，4b/7）在函数f(x)=2的图像上，所以f(a/8)=2，即a/4+2b/7=2，又等差数列{a_n}的公差为d，因此a_2=a_1+2d，b_2=b_1+3d，代入f(a_2/8,4b_2/7)=2得到a_2/4+2b_2/7=2，化简得到d=2，因此a_n=n+3。（2）由f(x)=2得到f'(x)=2ln2，因此在点（a_2,b_2）处的切线方程为y-2=ln2(x-2)，令y=0得到x=2-ln2，因此d=a_2-a_1=1，a_n=n+1，b_n=2，因此T_n=1/2n(n+1)。解：（1）由题知椭圆过点（2,1），得到c^2/a^2=21/4，又2^2/a^2+1^2/b^2=1，解得a=2，b=2，c=2，因此椭圆方程为4x^2+y^2=16。（2）假设存在满足题意的定点Q。当直线l平行于x轴时，由QAPA=1，得到Q在y轴上。当直线l为y轴时，由QB/QA=2PA-1，得到a=2/(2PB+1)。下证对一般的直线l:y=kx+1，Q(0,2)也满足题意。由QAPA得到y轴为∠AQB的角平分线，因此k=−k，即k=0或k=-1。不妨设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1=kx1+1，y2=kx2+1，又椭圆方程与直线方程联立得到2kx1x2=x1+x2，代入y1和y2的表达式中得到2k^2x1x2=2k(x1+x2)+2，化简得到k(x1+x2)=k^2x1x2+1，因此k^2x1x2-k(x1+x2)+1=0，解得x1+x2=2/k或x1=x2=-1/k。因此Q(0,2)在所有直线y=kx+1上都满足题意。22.给定方程1+2kx+4kx-2=（x+2y）2，x+2y=