直线与圆的方程单元测试题含答案

直线与圆的方程单元测试题含答案

《直线与圆的方程》练习题1一、选择题1.方程$x^2+y^2+2ax-by+c=0$表示圆心为C（2，2），半径为2的圆，则$a$、$b$、$c$的值依次为（B）（A）2、4、4；（B）$-2$、4、4；（C）2、$-4$、4；（D）2、$-4$、$-4$2.点$(1,1)$在圆$(x-a)^2+(y+a)^2=4$的内部，则$a$的取值范围是（A）(A)$-1<a<1$(B)$1<a$(C)$a<-1$或$a>1$(D)$a=\pm1$3.自点$A(-1,4)$作圆$(x-2)^2+(y-3)^2=1$的切线，则切线长为（B）(A)5(B)3(C)10(D)54.已知$M(-2,0)$,$N(2,0)$，则以$MN$为斜边的直角三角形直角顶点$P$的轨迹方程是(D)(A)$x^2+y^2=2$(B)$x^2+y^2=4$(C)$x^2+y^2=2(x\neq\pm2)$(D)$x^2+y^2=4(x\neq\pm2)$5.若圆$x+y+(\lambda-1)x+2\lambday+\lambda=0$的圆心在直线$x=\frac{1}{2}$左边区域，则$\lambda$的取值范围是（C）(A)$\left(1+\sqrt{2},+\infty\right)$(B)$\left(1+\frac{1}{2},+\infty\right)$(C)$(0,1)\cup(1,+\infty)$(D)$\mathbb{R}-\left[1,1+\sqrt{2}\right]$6.对于圆$x+(y-1)^2=1$上任意一点$P(x,y)$，不等式$x+y+m\geq$恒成立，则$m$的取值范围是(B)(A)$(-\infty,-1]$(B)$\left[-1,+\infty\right)$(C)$\left[2-\sqrt{2},+\infty\right)$(D)$\left[2+\sqrt{2},+\infty\right)$7.如下图，在同一直角坐标系中表示直线$y=ax$与$y=x+a$，正确的是(C)8.一束光线从点$A(-1,1)$出发，经$x$轴反射到圆$C:(x-2)^2+(y-3)^2=1$上的最短路径是$\sqrt{10}$.9.直线$3x+y-23=0$截圆$x^2+y^2=4$得的劣弧所对的圆心角是(C)(A)$\frac{4}{3}\pi$(B)$\frac{5}{3}\pi$(C)$\frac{4}{5}\pi$(D)$\frac{3}{5}\pi$10.如图，在平面直角坐标系中，$\Omega$是一个与$x$轴的正半轴、$y$轴的正半轴分别相切于点$C$、$D$的定圆所围成的区域（含边界），$A$、$B$、$C$、$D$是该圆的四等分点．若点$P(x,y)$、点$P'(x',y')$满足$x\leqx'$且$y\geqy'$，则称$P$优于$P'$.如果$\Omega$中的点$Q$满足：不存在$\Omega$中的其它点优于$Q$，那么所有这样的点$Q$组成的集合是劣弧(D)(A)$AB$(B)$BC$(C)$CD$(D)$AD$首先，若点M是Ω中位于直线AC右侧的点，则过M作与BD平行的直线交ADC于一点N。因为N优于M，所以点Q必不在直线AC右侧半圆内。其次，设E为直线AC左侧或直线AC上任一点，过E作与AC平行的直线交AD于F。因为F优于E，所以在AC左侧半圆内及AC上（A除外）的所有点都不可能为Q，故Q点只能在DA上。11.在平面直角坐标系xoy中，已知圆$x^2+y^2=4$上有且仅有四个点到直线$12x-5y+c=0$的距离为1，则实数c的取值范围是$(-13,13)$。22.圆$x+y-4x+6y=0$和圆$x+y-6x=0$交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程是$3x-y-9=0$。13.已知点$A(4,1)$，$B(0,4)$，在直线$L:y=3x-1$上找一点P，求使$|PA|-|PB|$最大时P的坐标是$(2,5)$。14.过点A(-2,0)的直线交圆$x^2+y^2=1$交于P、Q两点，则$AP\cdotAQ$的值为3。解析：设PQ的中点为M，$|OM|=d$，则$|PM|=|QM|=1-d^2$，$|AM|=4-d^2$。因此，$|AP|=|-1-d^2|$，$|AQ|=4-d^2+1-d^2=5-2d^2$。因此，$AP\cdotAQ=|-1-d^2|\cdot(5-2d^2)=3+d^2-2d^4$。由于$AP\cdotAQ$的取值不小于3，因此当$d=1$时，$AP\cdotAQ$取得最小值3。因此，$AP\cdotAQ$的最大值为3，当且仅当$d=0$或$d=1$时取得。15.如图所示，已知$A(4,0)$，$B(0,4)$，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是210。解析：设光线与直线AB的交点为C，与直线OB的交点为D。则由对称性可知，$\angleACB=\angleADB$，$\angleBDC=\angleBAC$。因此，三角形ABC与三角形ABD相似，且$\angleACD=\angleABD$，$\angleBDC=\angleBAC$。因此，三角形ACD与三角形ABD相似，且$\angleADC=\angleABD+\angleBAC=180^\circ$。因此，四边形ABCD为平行四边形，且$AD=BC=2\sqrt{2}$。因此，光线所经过的路程为$2AD+2\sqrt{2}=2(2\sqrt{2}+2\sqrt{2-\sqrt{2}})=210$。16.设圆C满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；③圆心到直线$l:x-2y=0$的距离为$\dfrac{5}{2}$，求圆C的方程。解析：设圆心为$(a,b)$，半径为$r$。由条件①，可知弦长为2的弦与y轴的交点为$(0,\pm1)$。因此，圆心到y轴的距离为1，即$a=\pm1$。由条件③，可知$(a,b)$到直线$l:x-2y=0$的距离为$\dfrac{5}{2}$。因此，$\dfrac{|a-2b|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}=\dfrac{5}{2}$，即$|a-2b|=5$。又因为圆心在x轴上或x轴下，所以$b=\pmr$。由条件②，可知$r$被x轴分成的两段圆弧的弧长之比为3：1，因此$r=\dfrac{2}{\sqrt{10}}$。因此，当$a=1$，$b=r=\dfrac{2}{\sqrt{10}}$时，圆C的方程为$(x-1)^2+(y-\dfrac{2}{\sqrt{10}})^2=(\dfrac{2}{\sqrt{10}})^2$；当$a=-1$，$b=-r=-\dfrac{2}{\sqrt{10}}$时，圆C的方程为$(x+1)^2+(y+\dfrac{2}{\sqrt{10}})^2=(\dfrac{2}{\sqrt{10}})^2$。已知圆O的方程为$x^2+y^2=1$，直线$l_1$过点A(3,0)，且与圆O相切。求直线$l_1$的方程。解：设$l_1$的方程为$y=kx+b$，则$l_1$与圆O相切的条件为：方程$y=kx+b$与$x^2+y^2=1$联立有且仅有一个交点，即$x^2+(kx+b)^2=1$有唯一解。解得$k^2+1=\dfrac{1}{1-b^2}$，$k=\pm\dfrac{\sqrt{1-b^2}}{\sqrt{1-b^2}-1}$，$b\neq1$。又因为直线$l_1$过点A(3,0)，所以$b=0$，$k=\pm\sqrt{\dfrac{4}{5}}$。因此，直线$l_1$的方程为$y=\pm\dfrac{2\sqrt{5}}{5}x$。(2)题意：已知直线$l:y=k(x+22)$与圆$O:x+y=4$相交于$A,B$两点，$O$是坐标原点，三角形$ABO$的面积为$S$。(1)解法：如图，原点$O$到直线$l$的距离为$oc=\frac{22k}{\sqrt{1+k^2}}$，弦长$AB=2OA-OC=2\sqrt{2^2+\left(\frac{22k}{\sqrt{1+k^2}}\right)^2}-\frac{22k}{\sqrt{1+k^2}}=\frac{4(1-k^2)}{\sqrt{1+k^2}}$。(2)解法：三角形$ABO$的面积$S=\frac{1}{2}\cdotAB\cdotOA=\frac{1}{2}\cdot\frac{4(1-k^2)}{\sqrt{1+k^2}}\cdot2=\frac{4(1-k^2)}{\sqrt{1+k^2}}$。显然，$-1<k<1$且$k\neq0$，所以$S(k)$的定义域为$(-1,0)\cup(0,1)$。对$S(k)$求导，得$S'(k)=\frac{-16k}{(1+k^2)^{\frac{3}{2}}}$，令其等于$0$，解得$k=0$。当$k=0$时，$S(k)=4$，当$k\rightarrow\pm1$时，$S(k)\rightarrow0$，所以$S(k)$在$(-1,0)\cup(0,1)$上单峰，且在$k=0$处取得最大值$4$。已知定点A(0,1)，B(0,-1)，C(1,0)。动点P满足：AP·BP=k|PC|^2。(1)求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型；(2)当k=2时，求|2AP+BP|的最大、最小值。解：(1)设动点坐标为P(x,y)，则AP=(x,y-1)，BP=(x,y+1)，PC=(1-x,y)。因为AP·BP=k|PC|^2，所以x^2+y^2-1=k[(x-1)^2+y^2]。化简得(1-k)x^2+(1-k)y^2+2kx-k-1=0。若k=1，则方程为x=1，表示过点(1,0)且平行于y轴的直线。若k≠1，则方程化为(x+k-1)^2+y^2=k(1-k)。表示以(k-1,0)为圆心，以k/(1-k)为半径的圆。因此，动点P的轨迹方程为(x+k-1)^2+y^2=k(1-k)，表示以(k-1,0)为圆心，以k/(1-k)为半径的圆。(2)当k=