机械工程测试技术习题答案

重大或者西华大学《测试技术与信号分析》习题与题解第二章习题解答2-1．什么是信号？信号处理的目的是什么？2-2．信号分类的方法有哪些？2-3．求正弦信号SKIPIF1<0的均方值SKIPIF1<0。解：SKIPIF1<0也可先求概率密度函数：SKIPIF1<0则：SKIPIF1<0。2-4．求正弦信号SKIPIF1<0的概率密度函数p(x)。解：SKIPIF1<0txtxT1-T1T-TSKIPIF1<02-5．求如下图所示周期性方波的复指数形式的幅值谱和相位谱 解在x(t)的一个周期中可表示为SKIPIF1<0该信号基本周期为T，基频0=2/T，对信号进行傅里叶复指数展开。由于x(t)关于t=0对称，我们可以方便地选取-T/2≤t≤T/2作为计算区间。计算各傅里叶序列系数cn当n=0时，常值分量c0：SKIPIF1<0当n0时，SKIPIF1<0最后可得SKIPIF1<0注意上式中的括号中的项即sin(n0T1)的欧拉公式展开，因此，傅里叶序列系数cn可表示为SKIPIF1<0其幅值谱为：SKIPIF1<0，相位谱为：SKIPIF1<0。频谱图如下：2-6．设cn为周期信号x(t)的傅里叶级数序列系数，证明傅里叶级数的时移特性。即：若有 SKIPIF1<0 则SKIPIF1<0证明：若x(t)发生时移t0（周期T保持不变），即信号x(t-t0)，则其对应的傅立叶系数为SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，代入上式可得SKIPIF1<0因此有SKIPIF1<0同理可证 SKIPIF1<0证毕！2-7．求周期性方波的（题图2-5）的幅值谱密度解：周期矩形脉冲信号的傅里叶系数SKIPIF1<0则根据式，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换，有SKIPIF1<0此式表明，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换是一个离散脉冲序列，集中于基频SKIPIF1<0以及所有谐频处，其脉冲强度为SKIPIF1<0被SKIPIF1<0的函数所加权。与傅里叶级数展开得到的幅值谱之区别在于，各谐频点不是有限值，而是无穷大的脉冲，这正表明了傅里叶变换所得到的是幅值谱密度。2-8．求符号函数的频谱。解：符号函数为SKIPIF1<0可将符号函数看为下列指数函数当a0时的极限情况解SKIPIF1<0SKIPIF1<02-9．求单位阶跃函数的频谱：解：单位阶跃函数可分解为常数1与符号函数的叠加，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以：2-10．求指数衰减振荡信号SKIPIF1<0的频谱。解：SKIPIF1<0SKIPIF1<02-11．设X(f)为周期信号x(t)的频谱，证明傅里叶变换的频移特性即：若 SKIPIF1<0则 SKIPIF1<0证明：因为 SKIPIF1<0又因为 SKIPIF1<0 SKIPIF1<0证毕！2-12．设X(f)为周期信号x(t)的频谱，证明傅里叶变换的共轭和共轭对称特性即：若 SKIPIF1<0则 SKIPIF1<0 式中x*(t)为x(t)的共轭。证明：SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0上式两端用-f替代f得SKIPIF1<0上式右端即为x*(t)的傅里叶变换，证毕！特别地，当x(t)为实信号时，代入x*(t)=x(t)，可得X(f)共轭对称，即SKIPIF1<02-13．设X(f)为周期信号x(t)的频谱，证明傅里叶变换的互易性即：若SKIPIF1<0则SKIPIF1<0证明：由于SKIPIF1<0 以-t替换t得SKIPIF1<0上式t与f互换即可得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0证毕。特殊情况,当SKIPIF1<0为偶函数时，SKIPIF1<02-14．用傅里叶变换的互易特性求信号g(t)的傅里叶变换G(f)，g(t)定义如下：SKIPIF1<0且已知SKIPIF1<0解：当a=2，不难看出g(t)与X(f)非常相似。代入a=2，根据傅里叶变逆换有SKIPIF1<0等式两端同时乘以2，并用-t替代变量t得SKIPIF1<0交换变量t和f得SKIPIF1<0上式正是g(t)的傅立叶变换式，所以SKIPIF1<02-15．所示信号的频谱SKIPIF1<0式中x1(t),x2(t)是如图2-31b），图2-31解：根据前面例2-15求得x1(t),x2(t)的频谱分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0根据傅里叶变换的线性性质和时移性质可得：SKIPIF1<0图2-312-16．求信号x(t)的傅里叶变换SKIPIF1<0解：由例2-16已知SKIPIF1<0注意到x(t)为实偶函数，t>0时SKIPIF1<0，t<0时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，根据线性叠加特性SKIPIF1<0又根据时间比例特性有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0最后得SKIPIF1<0在实际应用中，一般SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的实数 则 SKIPIF1<02-17．已知信号x(t)试求信号x(0.5t)，x(2t)的傅里叶变换SKIPIF1<0解：由例可知x(t)的傅里叶变换为SKIPIF1<0根据傅里叶变换的比例特性可得如图2-32所示,由图可看出，时间尺度展宽(a<1.0)将导致其频谱频带变窄,且向低频端移动,这种情况为我们提高设备的频率分析范围创造了条件,但是以延长分析时间为代价的;反之,时间尺度压缩(a>1.0)会导致其频谱频带变宽,且向高频端扩展,这种情况为我们提高信号分析速度提供了可能。11SKIPIF1<011 题图2-17时间尺度展缩特性示意图2-18．求同周期的方波和正弦波的互相关函数解：因方波和正弦波同周期，故可用一个周期内的计算值表示整个时间历程的计算值，又根据互相关函数定义，将方波前移τ秒后计算：SKIPIF1<02-19．求信号SKIPIF1<0的自相关函数。解：由定义SKIPIF1<0其中积分的被积函数的非零区间为SKIPIF1<0的交集，即SKIPIF1<0。因此，当SKIPIF1<0时，上式为SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，则有SKIPIF1<0综合有SKIPIF1<02-20．下面的信号是周期的吗？若是，请指明其周期。（1）SKIPIF1<0（30）（2）SKIPIF1<0（12SKIPIF1<0）（3）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）（4）SKIPIF1<0（8）2-21．如图所示，有SKIPIF1<0个脉宽为SKIPIF1<0的单位矩形脉冲等间隔（间隔为SKIPIF1<0）地分布在原点两侧，设这个信号为SKIPIF1<0，求其FT。解：由题意，SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0，其FT为SKIPIF1<0。根据FT的时移特性，可以求得SKIPIF1<0下面分析一下所求的结果。当SKIPIF1<0时，由罗彼塔法则可以求得SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，是单个矩形脉冲频谱SKIPIF1<0的N倍，这是N个矩形脉冲的谱相互叠加的结果；而当SKIPIF1<0（m不是N的倍数）时，SKIPIF1<0，这是N个谱相互抵消的结果。见图（b）。可以看出，如果N不断增大，这些等间隔分布的矩形脉冲的频谱能量逐渐向离散点SKIPIF1<0处集中，而且幅度也越来越大。特别地，当SKIPIF1<0时，时域信号变成了周期矩形脉冲信号，而频域则变成了只在离散点SKIPIF1<0处有值的离散谱，在这些点处的频谱幅度变成了冲激信号（因为能量趋于无穷大）。这也应验了：借助于冲激信号，周期信号也存在FT。2-22．“时域相关性定理”可描述如下SKIPIF1<0试证明。下面给出两种证明方法。证明1：SKIPIF1<0这里利用式：SKIPIF1<0，是FT的“反褶共轭”性质。证明2：根据相关运算与卷积运算之间的关系SKIPIF1<0利用FT的“反褶共轭”性质，可以直接得到结论。在式中，令SKIPIF1<0，则可得自相关的傅里叶变换SKIPIF1<0式中说明，“函数相关的FT是其幅度谱的平方”，换句话说，“函数的自相关函数与其幅度谱的平方是一对傅里叶变换对”。利用FT的奇偶虚实性，若SKIPIF1<0是实偶函数，那么SKIPIF1<0也是实偶函数。这样我们就得到了一个特例结论，SKIPIF1<0即当SKIPIF1<0是实偶函数时，相关性定理与卷积定理是一致的。2-24．帕斯瓦尔定理SKIPIF1<0证明：SKIPIF1<0第三章习题及题解试说明二阶装置的阻尼比ζ多采用ζ＝（0.6~0.7）的原因SKIPIF1<0二阶系统的幅频特性曲线和相频特性曲线答：二阶系统的阻尼比ζ多采用ζ＝（0.6~0.7）的原因，可以从两个主要方面来分析，首先，根据系统不失真传递信号的条件，系统应具有平直的幅频特性和具有负斜率的线性的相频特性，右图所示为二阶系统的幅频特性和相频特性曲线，严格说来，二阶系统不满足上述条件，但在一定的范围内，近似有以上关系。在特性曲线中可以看出，当ω﹤0.3ωn时，ζ对幅频特性影响较小，φ(ω)－ω曲线接近直线。A(ω)在该范围内的变化不超过10％，可作为不失真的波形输出。在ω﹥(2.5～3.0)ωn范围内φ(ω)接近180˚，且差值甚小，如在实际测量或数据处理中用减去固定相位差的方法，则可以接近不失真地恢复被测输入信号波形。若输入信号的频率范围在上述两者之间，由于系统的频率特性受ζ的影响较大，因而需作具体分析。分析表明，当ζ＝0.6～0.7时，在ω＝(0～0.58)ωn的频率范围中，幅频特性A(ω)的变化不超过5％，此时的相频特性曲线也接近于直线，所产生的相位失真很小。SKIPIF1<0二阶系统的幅频特性曲线和相频特性曲线其次其他工作性能综合考虑，单位阶跃信号输入二阶系统时，其稳态输出的理论误差为零。阻尼比将影响超调量和振荡周期。ζ≥1，其阶跃输出将不会产生振荡，但需要经过较长时间才能达到稳态输出。ζ越大，输出接近稳态输出的时间越长。ζ﹤1时，系统的输出将产生振荡。ζ越小，超调量会越大，也会因振荡而使输出达到稳态输出的时间加长。显然，ζ存在一个比较合理的取值，ζ一般取值为0.6～0.7。另外，在斜坡输入的情况下，ζ俞小，对斜坡输入响应的稳态误差2ζ/ωn也俞小，但随着ζ的减小，超调量增大，回调时间加长，当ζ＝0.6～0.7时,有较好的响应特性。综上所述，从系统不失真传递信号的条件和其他工作性能综合考虑，只有ζ＝0.6～0.7时，才可以获得最佳的综合特性。2试述信号的幅值谱与系统的幅频特性之间的区别（1）对象不同，前者对象是信号；后者的对象是系统；（2）前者反映信号的组成，后者反映系统对输入信号不同频率成分的幅值的缩放能力（3）定义不同：处理方法各异：前者是对信号付氏变换的模，后者是输出的付氏变换与输入的付氏变换之比的模3已知信号x(t)=5sin10t+5cos(100t-π/4)+4sin(200t+π/6)，通过传递函数为SKIPIF1<0的测试系统，试确定输出信号的频率成分并绘出输出信号的幅值谱。解：将输入信号的各次谐波统一写成Xisin(ωit+φxi)的形式x(t)=5sin10t+5sin(100t+π/4)+4sin(200t+π/6)信号x(t)由三个简谐信号叠加而成，其频率、幅值、相位分别为频率幅值Xi相位φxiω1=10A1=5φx1=0ω2=100A2=5φx2=π/4ω3=200A3=4φx3=π/6设输出信号为y(t)，根据频率保持特性，y(t)的频率成分应与x(t)的频率成分相同，各频率成分的幅值和相位可由输入信号的幅值和相位与测试系统频率响应特性H(ω)确定，根据题设条件，可得系统的频率响应函数SKIPIF1<0系统的幅频特性SKIPIF1<0SKIPIF1<0输出信号y(t)的频率、幅值、初相位分别为频率幅值Yi=A(ωi)Xi相位φyi=φ(ωi)+φxiω1=10Y1=4.99φy1=－0.05ω2=100Y2=4.47φy2=0.32ω3=200Y3=2.83φy3=－0.26SKIPIF1<0SKIPIF1<0绘出y(t)的幅值谱如右图。ω在对某压力传感器进行校准时，得到一组输入输出的数据如下：0.10.20.30.40.50.60.70.80.9正行程平均值220.2480.6762.4992.31264.51532.81782.52012.42211.6反行程平均值221.3482.5764.2993.91266.11534.11784.12013.62212.1试计算该压力传感器的最小二乘线性度和灵敏度。解由校准数据得知，该压力传感器近似线性特性，迟滞误差较小，可用平均校准曲线来计算根据3－14式数据序号123456789∑SKIPIF1<00.10.20.30.40.50.60.70.80.94.5SKIPIF1<0220.75481.55763.3993.101265.301533.451783.32013.02211.8511265.6SKIPIF1<00.010.040.090.160.250.360.490.640.812.85SKIPIF1<022.0896.31228.99397.24632.65920.071248.311610.41990.667146.71SKIPIF1<0＝0.5SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0最小二乘拟合直线方程式为y=2523.2x－9.87-再将各个输入值xi代入上式，依次找出输出－输入校正值与拟合直线相应点数值之间的最大偏差（见表？？？？），根据式(3-10)，线性度＝SKIPIF1<0压力传感器的平均灵敏度用输出量和输入量的测量范围之比表示，SKIPIF1<00.10.20.30.40.50.60.70.80.9SKIPIF1<0220.75481.55763.3993.101265.301533.451783.32013.02211.85SKIPIF1<0242.45494.77747.09999.411251.731504.051756.372008.692261.01SKIPIF1<0-21.7-13.2216.21-6.3113.5729.426.934.31-49.16SKIPIF1<0也可以由拟合直线方程的斜率得到S=k=2523.2mv/kPa试证明由若干个子系统串联而成的测试系统的频率响应函数为SKIPIF1<0由若干个子系统并联而成的测试系统的频率响应函数为SKIPIF1<0证明：图示为两个频率响应函数各为SKIPIF1<0串联而成的测试系统，假设两个子系统之间没有能量交换，系统在稳态时的输入和输出分别为x(t)、y(t)，显然，根据频率响应函数的定义，有SKIPIF1<0即SKIPIF1<0对于n个子系统串联而成的测试系统，可以将前(n-1)个子系统视为一个子系统，而把第n个子系统视为另一个子系统，应用两个子系统串联时频率响应函数的结论并递推可得SKIPIF1<0对于n个子系统并联而成的测试系统，如图所示，系统的稳态输出SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0证毕。某一阶温度传感器，其时间常数τ=3.5(s)，试求：(1)将其快速放入某液体中测得温度误差在2％范围内所需的近似时间。2)如果液体的温度每分钟升高5˚C，测温时传感器的稳态误差是多少？解：(1)将温度传感器快速放入某液体中测量温度，属于其实质是阶跃输入根据阶跃输入状态下，一阶系统的响应特征，当t约为4τ时，其输出值为输入值的98.2%，(2)如果液体的温度每分钟升高5˚C，传感器的输入信号为斜坡输入x(t)=5t/60其拉氏变换为X(s)=5/60s2一阶系统的传递函数SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0测温时传感器的稳态误差e=5τ/60=0.29试述线性系统最主要的特性及其应用线性系统最主要的特性是线性特性频率保持特性。根据式3-2，线性特性表明，对于线性系统，如果输入放大，则输出将成比例放大；同时作用于线性系统的两个输入所引起的输出，等于两个输入分别作用于该系统所引起的输出的和，当多个输入作用于线性系统时，也有类似的关系。据此，在分析线性系统多输入同时作用下的总输出时，人们常常将多输入分解成许多单独的输入分量，先分析各分量单独作用于系统所引起的输出，然后将各分量单独作用的输出叠加起来便可得到系统总输出。频率保持特性指线性系统的稳态输出y(t)，将只有和输入频率相同的频率成份，既若SKIPIF1<0则SKIPIF1<0也就是说，输出y(t)与输入x(t)保持相同的频率成分，由线性系统的叠加特性可知，多个简谐信号叠加的输入，其输出必然有也只能有有与输入频率相同的频率成分。在测试工作中，人们常利用该性质，判断输出信号的信源，分析系统的传递特性，改善系统的信噪比，例如，一个系统如果处于线性工作范围内，当其输入是正弦信号时，它的稳态输出一定是与输入信号同频率的正弦信号，只是幅值和相位有所变化。若系统的输出信号中含有其他频率成份时，可以认为是外界干扰的影响或系统内部的噪声等原因所至，应采用滤波等方法进行处理，予以排除。8试求由两个传递函数分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的两个子系统串联而成的测试系统的总灵敏度（不考虑负载效应）解：在不考虑负载效应的条件下，由题给传递函数的两个子系统串联而成的测试系统的频率响应函数为SKIPIF1<0系统的总灵敏度为SKIPIF1<0对某静态增益为3.0的二阶系统输入一单位阶跃信号后，测得其响应的第一个峰值的超调量为1.35，同时测得其振荡周期为6.28s，试求该测试系统的传递函数和系统在无阻尼固有频率处的频率响应。解：据题意，被测二阶系统是一个欠阻尼二阶系统，其最大超调量M1和阻尼比ζ的关系式SKIPIF1<0将M1＝1.35/3.0＝0.45代入上式，可得ζ＝0.24其有阻尼固有频率为SKIPIF1<0式中Td为振荡周期，由题设条件Td＝6.28，解出ωn＝1.316该系统的传递函数为SKIPIF1<0系统的频率响应函数SKIPIF1<0试述脉冲响应函数与频率响应函数、传递函数之间的联系。当输入信号的作用时间小于0.1τ（τ为一阶系统的时间常数或二阶系统的振荡周期）时，则可以近似地认为输入信号是单位脉冲信号δ(t)，其响应则称为单位脉冲响应函数，又称为权函数，根据δ(t)函数的筛选性质：SKIPIF1<0立即有SKIPIF1<0对上式两边求付氏逆变换：SKIPIF1<0以上推导可以看出在单位脉冲信号输入的时候，系统输出的频域函数Y(s)，就是系统的频率响应函数H(ω)，而其时域响应函数y(t)，就是脉冲响应函数h(t)，它表示测试系统在时域内的动态传递特性。第四章习题与题解1、余弦信号被矩形脉冲调幅，其数学表达式为SKIPIF1<0试求其频谱解：设SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02、已知余弦信号SKIPIF1<0，载波SKIPIF1<0，求调幅信号SKIPIF1<0的频谱。解：SKIPIF1<03、求余弦偏置调制信号SKIPIF1<0的频谱。解：SKIPIF1<04、已知理想低通滤波器SKIPIF1<0试求当SKIPIF1<0函数通过此滤波器以后的时域波形。解：根据线性系统的传输特性，将SKIPIF1<0函数通理想滤波器时，其脉冲响应函数SKIPIF1<0应是频率响应函数SKIPIF1<0的逆傅里叶变换，由此有：SKIPIF1<0第五章习题解5-1.画出信号数字分析流程框图，简述各部分的功能。解：下图为信号数字分析流程框图，整个系统由三部分组成：模拟信号予处理，模数转换和数字运算分析。抗频混滤波器抗频混滤波器幅值适调采样保持幅值量化运算分析显示输出模拟信号予处理模拟数字转换数字分析SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0 图5-2信号数字分析框图1)模拟信号予处理主要有抗频混滤波和幅值适调，也可能包括抗频混滤波前的去直流分量。输入模拟电压信号SKIPIF1<0经抗频混滤波，变为有限带宽为fc的信号，为离散采样作准备；幅值调节经过放大或衰减，将信号的幅值调整一定值（一般是SKIPIF1<0）的SKIPIF1<0，与量化器的输入电平相适应。这一予处理虽然仍采用模拟手段实现，但由于是信号数字分析系统中特有的和不可缺少的部分，通常也把它归于信号数字分析系统。2)模拟数字转换完成模拟电压离散采样和幅值量化，将模拟电压信号转换为数字码。首先，采样保持器根据电压信号SKIPIF1<0的带宽，按照采样定理选定适当的采样频率fs>2fc（要考虑抗频混滤波器的截止特性）将SKIPIF1<0采样为离散序列SKIPIF1<0，这样的时间轴上离散而幅值模拟的信号通常称为采样信号。而后，量化装置将每一个采样信号的电压幅值转换为数字码，最终把电压信号SKIPIF1<0变为数字序列xn。3)运算分析单元接收数字序列xn，将其分为点数固定的一系列数据块，实现信号的时域截断和加窗，进而完成各种分析运算，显示、输出分析结果。5-2.模数转换器的输入电压为0～10V。为了能识别2mV的微小信号，量化器的位数应当是多少？若要能识别1mV的信号，量化器的位数又应当是多少？解:设量化装置的位数为m。若要识别2mV的信号，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0若要识别1mV的信号，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<05-3.模数转换时，采样间隔SKIPIF1<0分别取1ms，0.5ms，0.25ms和0.125ms。按照采样定理，要求抗频混滤波器的上截止频率分别设定为多少Hz（设滤波器为理想低通）？解:采样间隔SKIPIF1<0取1ms，0.5ms，0.25ms和0.125ms，分别对应的采样频率为1000Hz，2000Hz，4000Hz和8000Hz。根据采样定理，信号的带宽应小于等于相应采样频率的一半。所以，抗频混滤波器（理想低通滤波器）的上截止频率应分别设为为500Hz，1000Hz，2000Hz，4000Hz。1100200300fHzSKIPIF1<0题图5-405-4.连续信号SKIPIF1<0的频谱如下图所示。取采样间隔SKIPIF1<0=2.5ms，求离散信号SKIPIF1<0在的频谱SKIPIF1<0。1100200300fHzSKIPIF