非常考案2017通用版物理一轮课件4 4万有引力与航天

*点一*点二新题尝鲜*点三*点四第

4

课时

万有引力与航天[考纲定位]

1.万有引力定律及其应用、环绕速度(Ⅱ)2．第二宇宙速度和第三宇宙速度(Ⅰ)

3.经典时空观和相对论时空观(Ⅰ)分层限时跟踪练考点

1|

天体质量与密度的估算1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即GMmr2n＝ma

＝＝．(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即GMmR2

＝表示天体表面的重力加速度)．mg

(gmv2rmω2r

＝4π2rT22．天体质量和密度的计算R2Mm(1)利用天体表面的重力加速度

g

和天体半径

R.由于

G

＝mg，故天体质3πR34πGRM

M

＝

3g

.gR2量

M＝

G

，天体密度

ρ＝

V＝4(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T

和轨道半径r.Mm4π2M

M

②若已知天体半径R，则天体的平均密度ρ＝V

＝43πR33πr3＝GT2R3；③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r

等于天3π体半径R，则天体密度ρ＝GT2.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．4π2r3①由万有引力等于向心力，即G

r2

＝m

T2

r，得出中心天体质量M＝GT2

；[题组突破]1．[环绕法]“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为

200

km

的圆形轨道上运行，运行周期为

127

分钟．已知引力常量

G＝6.67×10－11

N·m2/kg2，月球半径约为1.74×103

km.利用以上数据估算月球的质量约为(

)A．8.1×1010

kgC．5.4×1019

kgB．7.4×1013

kgD．7.4×1022

kg【解析】设探月卫星质量为m，月球质量为M，根据万有引力提供向心力GmM（R＋h）2

T

2π＝m

2(R＋h)，已知h＝2×105

m，T＝127×60

s，R＝1.74×106m，代入上式解得M＝7.4×1022

kg，D

正确．【答案】

DFR2A.MGFRB.MGC.MGFRD．MGFR2M月M【解析】

在月球表面附近：Mg＝G

R2

，嫦娥三号悬停时，F＝Mg，由FR2以上两式解得：M

月＝MG，选项A

对．【答案】A轨道半径越大，周期越长轨道半径越大，速度越大

C．若测得周期和张角，可得到星球的平均密度

D．若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度GMmv24π2【解析】

由

r2

＝m

r

＝mr

T2

，可知轨道半径越大，速度越小，周期越4长，A

项正确，B

项错误；由几何关系可知

R＝rsin

θ，根据

M＝

πR3ρ可得星2

3球密度与周期和张角的关系为ρ＝

3π

GT2sin3

θ2，由此可知C

项正确，D

项错误．【答案】AC考点

2|

卫星的运行规律分析1．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律Mmv2GM

1r

→v∝

r.(2)G(1)G

r2

＝m

r

→v＝Mmr22＝mω

r→ω＝GM

1

Mm4π2(3)G

r2

＝m

T2

r→T＝r3

→ω∝

r3.4π2r3GM

→T∝

r3.(4)

Mm

GM

1G

r2

＝ma→a＝

r2

→a∝r2.(5)mg＝GMmR2地(近地时)2地→GM＝gR

.2．极地卫星和近地卫星极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9

km/s.[题组突破]4．[不同轨道卫星物理量比较]A、B

两颗地球卫星绕地球运转的周期之比为2

2∶1，则

(

)线速度大小之比为1∶2轨道半径之比为8∶1

C．向心加速度大小之比为1∶2

D．质量之比为1∶1【解析】由开普勒定律可知，A、B

两颗地球卫星绕地球运转的轨道半径v1之比为2∶1，由v＝2πr，可得线速度大小之比为＝T

v

r

T2

2

1r1T2＝1∶2，选项A

正v2确、B

错误；由向心加速度公式a＝

r

可得向心加速度大小之比为1∶4，选项C错误；不能判断A、B

两颗地球卫星的质量关系，选项D

错误．【答案】A5．[地球同步卫星]研究表明，地球自转在逐渐变慢，3

亿年前地球自转的周期约为22

小时．假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比(

)A．距地面的高度变大

C．线速度变大B．向心加速度变大D．角速度变大【解析】地球的自转周期变大，则地球同步卫星的公转周期变大．由

GMm

4π2（R＋h）2＝m

T2

(R＋h)，得h＝3

GMT2

GMm4π2

－R，T

变大，h

变大，A

正确；由r2mv2GM

GMm

GM＝ma，得

a＝

r2

，r

增大，a

减小，B

错误；由

r2

＝

r

，得

v＝

r

，r2π增大，v

减小，C

错误；由ω＝

T

可知，角速度减小，D

错误．【答案】A6．[赤道物体、近地卫星、同步卫星各物理量间的关系]“神舟十号”飞船已于2013

年成功发射，再次与“天宫一号”进行交会对接．三位航天员再次入住“天宫”完成一系列实验．“神舟十号”与“天宫一号”对接后做匀速圆周运动，运行周期为90

分钟．对接后“天宫一号”的()A．运行速度大于第一宇宙速度

B．加速度大于赤道上静止物体随地球自转的加速度

C．角速度为地球同步卫星角速度的16

倍

D．航天员可以用天平测出物体的质量【解析】第一宇宙速度为物体沿近地轨道做匀速圆周运动的运行速度，天v2GMm

GM宫一号轨道半径大于地球半径，由

r2

＝m

r

得

v＝

r

，故其速度小于第一总宇宙速度，故选项

A

错误；赤道上物体随地球自转的加速度

a

＝R4π2T2地，天宫一号的加速度a

天＝r

天4π2T2天，根据轨道半径和周期关系R<r

天，T

地>T

天，可知天宫一号加速度大于赤道上静止物体随地球自转的加速度，故选项B

正确；根据ω地

天＝

T

知ω

＝T

＝2π

ω天

T地

24×6090＝16，故选项C

正确；在天宫一号上航天员和其他物体均处于完全失重状态，天平不能使用，故D

错误．【答案】BC赤道物体、近地卫星、同步卫星的比较[规律总结](1)区别①同步卫星与地球赤道上的物体的周期都等于地球自转的周期，而不等于近地卫星的周期．②近地卫星与地球赤道上的物体的运动半径都等于地球半径，而不等于同步卫星运动半径．③三者的线速度各不相同．(2)求解此类题的关键①在求解“同步卫星”与“赤道上的物体”的向心加速度的比例关系时应依据二者角速度相同的特点，运用公式a＝ω2r

而不能运用公式a＝GM.r2②在求解“同步卫星”与“赤道上的物体”的线速度比例关系时，仍要依据二者角速度相同的特点，运用公式v＝ωr

而不能运用公式v＝

GM/r.③在求解“同步卫星”运行速度与近地卫星运行速度的比例关系时，因都是由万有引力提供的向心力，故要运用公式v＝

GM/r，而不能运用公式v＝ωr或v＝

gr.考点

3|

卫星的发射变轨问题r两种求法：(1)v＝

GM＝7.9

km/s；(2)v＝

gR＝7.9

km/s.2．第二宇宙速度飞行器挣脱地球引力的束缚而成为一颗太阳的人造小行星在地面上的最小发射速度，v＝

11.2

km/s.1．第一宇宙速度人造卫星环绕地球表面运行的最大速度，也是卫星发射的最小速度．第三宇宙速度飞行器挣脱太阳引力的束缚而飞到太阳系外在地面上的最小发射速度，v＝

16.7km/s.卫星的变轨分析卫星的变轨问题可分为两类：大气层外的发动机变轨(跃迁式)和稀薄空气作用下的摩擦(连续)变轨．(1)大气层外的发动机变轨又存在从较低轨道变轨到较高轨道和从较高轨道变轨到较低轨道两种情况，这两种情况互为逆过程．较低圆轨道近地点向后喷气近地点向前喷气椭圆轨道远地点向后喷气远地点向前喷气较高圆轨道Mmv2(2)空气阻力使速度减少，G

r2

>m

r

→向心运动→引力做正功→卫星动能增大→低轨道运行v′＝r′GM.[题组突破]7．[卫星发射]在星球表面发射探测器，当发射速度为v

时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动；当发射速度达到2v

时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球．已知地球、火星两星球的质量比约为10∶1，半径比约为2∶1，下列说法正确的有()A．探测器的质量越大，脱离星球所需要的发射速度越大

B．探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大C．探测器分别脱离两星球所需要的发射速度相等

D．探测器脱离星球的过程中，势能逐渐增大Mmv2【解析】

探测器在星球表面做匀速圆周运动时，由

G

R2

＝m

R，得

v＝GM，则摆脱星球引力时的发射速度2v＝R

R2GM，与探测器的质量无关，选项A

错误；设火星的质量为M，半径为R，则地球的质量为10M，半径为2R，1地球对探测器的引力F

＝G（2R）210Mm

5GMm2R2＝

，比火星对探测器的引力2F

＝

MmG

R21大，选项B

正确；探测器脱离地球时的发射速度v

＝2G·10M＝

10GM，脱2R

R2离火星时的发射速度v

＝R2

12GM，v

<v

，选项C

错误；探测器脱离星球的过程中克服引力做功，势能逐渐增大，选项D

正确．【答案】

BD8．[卫星变轨]在发射一颗质量为m

的人造地球同步卫星时，先将其发射到贴近地球表面运行的圆轨道Ⅰ上(离地面高度忽略不计)，再通过一椭圆轨道Ⅱ变轨后到达距地面高为h

的预定圆轨道Ⅲ上．已知它在圆形轨道Ⅰ上运行的加速度为g，地球半径为R，图4­4­3

中PQ

长约为8R，卫星在变轨过程中质量不变，则()

h2A．卫星在轨道Ⅲ上运行的加速度为R＋h

gB．卫星在轨道Ⅲ上运行的线速度为v＝gR2R＋hC．卫星在轨道Ⅲ上运行时经过P

点的速率大于在轨道Ⅱ上运行时经过P

点的速率D．卫星在轨道Ⅲ上的动能大于在轨道Ⅰ上的动能【解析】Mm设地球质量为M，由万有引力提供向心力得在轨道Ⅰ上有G

R2＝mg，在轨道Ⅲ上有GMm（R＋h）2＝ma，所以a＝

RR＋h2v2R＋hg，A

错；又因

a＝

，gR2所以

v＝

R＋h，B

对；卫星由轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ需要加速做离心运动，即GMm

mv2满足

r2

<

r

，所以卫星在轨道Ⅲ上运行时经过

P

点的速率大于在轨道Ⅱ上运行时经过P

点的速率，C

对；尽管卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅲ要在P、Q

点各加r速一次，但在圆形运行轨道上

v＝

GM，所以由动能表达式知卫星在轨道Ⅲ上的动能小于在轨道Ⅰ上的动能，D

错．【答案】

BC9．[卫星对接]神舟九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面343

km

的近圆形轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接．对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气．下列说法正确的是(

)为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能可能会增加如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低

D．航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用【解析】

第一宇宙速度和第二宇宙速度为发射速度，天体运动的速度为环绕速度，均小于第一宇宙速度，选项A

错误；天体运动过程中由于大气阻力，mv2速度减小，导致需要的向心力

Fn＝

r

减小，做向心运动，向心运动过程中，轨道高度降低，且万有引力做正功，势能减小，动能增加，选项B、C

正确；航天员在太空中受地球引力，地球引力全部提供航天员做圆周运动的向心力，选项D错误．【答案】

BC[规律总结]

卫星对接的操作飞船与宇宙空间站的“对接”实际上就是两个做匀速圆周运动的物体追赶问题，本质仍然是卫星的变轨运行问题．要使飞船与宇宙空间站成功“对接”，必须让飞船在较低轨道上加速，通过速度v的增大→所需向心力增大→做离心运动→轨道半径r

增大→升高轨道的系列变速，从而完成航天飞机与宇宙空间站的成功对接．考点

4|

双星和多星模型在天体运动中，离其他星体较远的几颗星，在它们相互间万有引力的作用力下绕同一中心位置运转，这样的几颗星组成的系统称为宇宙多星模型．1．宇宙双星模型两颗行星做匀速圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力提供的，故两行星做匀速圆周运动的向心力大小相等．两颗行星均绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，因此它们的运行周期和角速度是相等的．两颗行星做匀速圆周运动的半径r1

和r2

与两行星间距L

的大小关系：r1＋r2＝L.Gm2L2

×2×cos

30°＝ma

向，其中L＝2rcos

30°.三颗行星运行的周期、角速度、线速度的大小相等．(3)三颗星的质量也可能不同，分析思路见示例．[示例]

(2015·安徽高考)由三颗星体构成的系统，存在着一种运动形式，忽略其他星体对它们的作用，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O

在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图

4­4­6

所示为

A、B、C

三颗星体质量不相同时的一般情况)．若

A

星体质量为

2m，B、C

两星体的质量均为

m，三角形的边长为a，求：A

星体所受合力大小FA；B

星体所受合力大小FB；C

星体的轨道半径RC；三星体做圆周运动的周期T.【审题指导】【规范解答】

(1)由万有引力定律，可知

A

星体所受

B、C

星体引力大小mAmB

2m2m2为

FBA＝G

r2

＝G

a2

＝FCA，方向如图所示，则合力大小为

FA＝2

3Ga2

.mAmB2m2(2)同上，B

星体所受

A、C

星体引力大小分别为

FAB＝G

r2

＝G

a2

，FCBmCmBm2＝G

r2

＝Ga2

，方向如图所示．FBy＝FABm2由几何关系可知

FBx＝FABcos

60

°＋FCB＝2Ga2

，m2sin

60°＝

3Ga2

，B可得F

＝22Bx

Bym2a2F

＋F

＝

7G

.(3)通过分析可知，圆心O

在中垂线AD

的中点，(通过图中几何关系或通过By

Bx2

2

4

2计算推知

OD＝BD·tan

∠OBD＝BD·F

/F

＝a·

3＝

3a＝1AD)CR

＝

（OD）2＋（DC）2＝312

2C74

2

4（

a）

＋（

a）

，可得

R

＝

a.m22π

2(4)三星体运动周期相同，对C

星体，由FC＝FB＝

7Ga2

＝m(T

)RC，可得T＝πa3Gm.m2【答案】

(1)2

3Ga2m2(2)

7Ga27(3)

4

a(4)πa3Gm[规律总结]

解决双星、多星问题，紧抓四点(1)双星或多星的特点、规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径；

(2)星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供；(3)星体的角速度相等；(4)星体的轨道半径不是天体间的距离．要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正确计算万有引力和向心力．[跟踪训练]2012

年7

月，一个国际研究小组借助于智利的甚大望远镜，观测到了一组双星系统，它们绕两者连线上的某点O

做匀速圆周运动，如图4­4­7

所示．此双星系统中体积较小成员能“吸食”另一颗体积较大星体表面物质，达到质量转移的目的，假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变，则在最初演变的过程中()它们做圆周运动的万有引力保持不变它们做圆周运动的角速度不断变大

C．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度也变大

D．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度变小【解析】对双星M1、M2，设距离为L，圆周运动半径分别为r1、r2，它们做圆周运动的万有引力为F＝GM

M1

2L21

2，距离L

不变，M

与M

之和不变，其乘积大小变化，则它们的万有引力发生变化，A

错；依题意双星系统绕两者连线上某点O

做匀速圆周运动，周期和角速度相同，由万有引力定律及牛顿第二定律：G

L2

＝M21

1M1M2

M1M222ω

r

，G

＝M

ω

r

，ω2L3L

Gr

＋r

＝L，可解得：M

＋M

＝

，M

r2

2

1

2

1

2 1

1＝M2r2，由此可知ω

不变，质量比等于圆周运动半径的反比，故体积较大的星体因质量减小，其轨道半径将增大，线速度也增大，B、D

错，C

对．【答案】C新题尝鲜|

研测考向1．(2014·全国卷Ⅱ)假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为()GT2B.3π·

g0g0－gA.3π·g0－gGT2

g0C.3πGT2D．3πg0GT2·

g0【解析】

物体在地球的两极时，mg

＝GMm

物体在赤道上时，R2

，

2πmg＋

m

T

2R＝

MmG

R2

，以上两式联立解得地球的密度ρ＝3πg0GT2（g0－g）.故选项B

正确，选项A、C、D

错误．【答案】B2．(2015·四川高考)登上火星是人类的梦想．“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于

2020

年登陆火星．地球和火星公转视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响．根据下表，火星和地球相比(

)行星半径/m质量/kg轨道半径/m地球6.4×1066.0×10241.5×1011火星3.4×1066.4×10232.3×1011火星的公转周期较小火星做圆周运动的加速度较小

C．火星表面的重力加速度较大

D．火星的第一宇宙速度较大GMm【解析】火星和地球都绕太阳做圆周运动，万有引力提供向心力，由r24π2r3＝m

T2

r＝ma

知，因r

火＞r

地，而T2＝GM4π2，故T

火＞T

地，选项A

错误；向心加r2火

地

地R2地GM地速度

a＝GM，则

a

＜a

，故选项

B

正确；地球表面的重力加速度

g

＝

，火火星表面的重力加速度

g

＝GM火R2火，代入数据比较知g

火＜g

地，故选项C

错误；地球和火星上的第一宇宙速度：v

地＝，v

火＝GM地

GM火R

R地

火，v

地＞v

火，故选项D

错误．【答案】

BA．P1

的平均密度比P2

的大B．P1

的“第一宇宙速度”比P2

的小C．s1

的向心加速度比s2

的大D．s1

的公转周期比s2

的大【解析】

由图象左端点横坐标相同可知，P1、P2

两行星的半径

R

相等，对于两行星的近地卫星：G2Mm

R2aR

G2＝ma，得行星的质量

M＝

，由

a­r

图象可知P1

的近地卫星的向心加速度大，所以P1

的质量大，平均密度大，选项A

正确；mv2Mm

GM根据

G

R2

＝

R

得，行星的第一宇宙速度

v＝

R

，由于

P1

的质量大，所以P1

的第一宇宙速度大，选项B

错误；s1、s2

的轨道半径相等，由a­r2

图象可知s1Mm的向心加速度大，选项C

正确；根据G

r2

＝

T

2πm

2r

得，卫星的公转周期T＝2r3π

GM，由于P1

的质量大，故s1

的公转周期小，选项D

错误．【答案】AC4．2015

年7

月25

日，我国成功发射两颗北斗导航卫星，使北斗导航卫星家庭成员增加到

19

颗．北斗卫星系统由地球同步轨道卫星与低轨道卫星两种卫星组成，这两种卫星正常运行时(

)