第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计

第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计7.1线性相位FIR数字滤波器的条件和特点7.2利用窗函数法设计FIR滤波器7.3利用频率采样法设计FIR滤波器7.4利用切比雪夫逼近法设计FIR滤波器7.5IIR和FIR数字滤波器的比较7.1线性相位FIR数字滤波器的条件和特点

本节主要介绍FIR滤波器具有线性相位的条件及幅度特性以及零点、网络结构的特点。

1.线性相位条件对于长度为N的h(n)，传输函数为(7.1.1)(7.1.2)

式中，Hg(ω)称为幅度特性，θ(ω)称为相位特性。注意，这里Hg(ω)不同于|H(ejω)|,Hg(ω)为ω的实函数，可能取负值，而|H(ejω)|总是正值。

H(ejω)线性相位是指θ(ω)是ω的线性函数，即，τ为常数(7.1.3)

或，θ0是起始相位(7.1.4)

第一类线性相位第二类线性相位第一类线性相位的条件：

h(n)是实序列且对(N-1)/2偶对称，即

h(n)=h(N-n-1)(7.1.5)

幅度函数Hg(ω)和相位函数分别为：(7.1.8)(7.1.9)第二类线性相位的条件：

h(n)是实序列且对(N-1)/2奇对称，即

h(n)=-h(N-n-1)(7.1.6)

幅度函数Hg(ω)和相位函数分别为：(7.1.11)(7.1.12)

2.线性相位FIR滤波器幅度特性Hg(ω)的特点

h(n)的长度N取奇数和偶数对Hg(ω)的特性有影响。对于两类线性相位，分四种情况讨论。

1)h(n)=h(N-n-1),N=奇数按照(7.1.8)式，幅度函数Hg(ω)为

式中，h(n)对(N-1)/2偶对称，余弦项也对(N-1)/2偶对称，可以以(N-1)/2为中心，把两两相等的项进行合并，由于N是奇数，故余下中间项n=(N-1)/2。这样幅度函数表示为令m=(N-1)/2-n,则有(7.1.13)(7.1.14)式中

按照(7.1.13)式，由于式中cosωn项对ω=0,π,2π皆为偶对称，因此幅度特性Hg(ω)的特点为：

对ω=0,π,2π偶对称

2)h(n)=h(N-n-1),N=偶数推导情况和前面N=奇数相似，不同点是由于N=偶数，Hg(ω)中没有单独项，相等的项合并成N/2项。令m=N/2-n,则有(7.1.15)(7.1.16)ω=π时，(7.1.15)式中余弦项为0，且关于ω=π奇对称，因此幅度特性Hg(ω)的特点为：

对ω=π奇对称，且在ω=π处有一零点，使Hg(ω)＝0高通和带阻不适合3)h(n)=-h(N-n-1),N=奇数将(7.1.11)式重写如下：

令m=(N-1)/2-n，则有(7.1.17)(7.1.18)幅度特性Hg(ω)的特点为：

对ω=0,π,2π处为0，即在z=±1处为零点，且Hg(ω)对ω＝0,π,2π呈奇对称4)h(n)=-h(N-n-1),N=偶数类似上面3)情况，推导如下：令m=N/2-n,则有(7.1.19)(7.1.20)幅度特性Hg(ω)的特点为：

对ω=0,2π处为0，即在z=1处为零点，且Hg(ω)对ω=0,2π呈奇对称，对ω=

π偶对称表明：若z=zi是H(z)的零点，其倒数z=zi-1也是其零点；因为h(n)是实序列，H(z)的零点必共轭对称，因而zi*和(zi-1)*也为零点第二类线性相位的系统函数满足

(7.1.10)

3.线性相位FIR滤波器零点分布特点第一类线性相位的系统函数满足

(7.1.7)(7.1.21)综合表示为：

图7.1.1线性相位FIR滤波器零点分布特殊情况：零点是实数，只有两个零点：zi、zi-1；零点是纯虚数且在单位圆上，只有两个零点zi和zi*；零点是在单位圆上且为实数，只有一个零点zi4.线性相位FIR滤波器网络结构设N为偶数，则有令m=N-n-1,则有(7.1.22)如果N为奇数，则将中间项h［(N-1)/2］单独列出，(7.1.23)图7.1.2第一类线性相位网络结构图7.1.3第二类线性相位网络结构7.2利用窗函数法设计FIR滤波器

设希望设计的滤波器传输函数为Hd(ejω),hd(n)是与其对应的单位脉冲响应，因此

相应的单位取样响应hd(n)为(7.2.1)(7.2.2)

为了构造一个长度为N的线性相位滤波器，只有将hd(n)截取一段，并保证截取的一段对(N-1)/2对称。设截取的一段用h(n)表示，即

h(n)=hd(n)RN(n)(7.2.3)

理想滤波器：无限长加窗处理图7.2.1理想低通的单位脉冲响应及矩形窗

我们实际实现的滤波器的单位取样响应为h(n),长度为N，其系统函数为H(z)，以上就是用窗函数法设计FIR滤波器的思路。

我们知道，Hd(ejω)是一个以2π为周期的函数，可以展为傅氏级数，即(7.2.4)对(7.2.3)式进行傅里叶变换，根据复卷积定理，得到：式中，Hd(ejω)和RN(ejω)分别是hd(n)和RN(n)的傅里叶变换，即(7.2.5)其中，RN(ω)称为矩形窗的幅度函数将Hd(ejω)写成下式：按照(7.2.1)式，理想低通滤波器的幅度特性Hd(ω)为将Hd(ejω)和RN(ejω)代入(7.2.4)式，得到：

将H(ejω)写成下式：(7.2.6)——截断后实际滤波器的幅度特性等于理想低通滤波器的幅度特性与矩形窗幅度特性的卷积

图7.2.2矩形窗对理想低通幅度特性的影响

对hd(n)加矩形窗处理后，H(ω)和原理想低通Hd(ω)差别有以下两点：

(1)在理想特性不连续点ω=ωc附近形成过渡带。过渡带的宽度，近似等于RN(ω)主瓣宽度，即4π/N。

(2)通带内增加了波动，最大的峰值在ωc-2π/N处。阻带内产生了余振，最大的负峰在ωc+2π/N处。波动情况与窗函数幅值谱有关，RN(ω)波动愈快（N↑），通、阻带内波动愈快，RN(ω)旁瓣的大小直接影响H(ω)波动的大小。——吉布斯效应在主瓣附近，按照(7.2.5)式，RN(ω)可近似为如何减小吉布斯效应？（1）x,N↑→主瓣幅度↑，旁瓣↑，主、旁瓣相对值不变；——只能使过渡带变窄，不能减小吉布斯效应。（2）旁瓣小的窗函数→减小通带、阻带波动/加大阻带衰减

下面介绍几种常用的窗函数。设

h(n)=hd(n)w(n)

式中w(n)表示窗函数。

1.矩形窗(RectangleWindow)wR(n)=RN(n)

前面已分析过，按照(7.2.5)式，其频率响应为2.三角形窗(BartlettWindow)(7.2.8)其频率响应为(7.2.9)3.汉宁(Hanning)窗——升余弦窗当N>>1时，N-1≈N，图7.2.3汉宁窗的幅度特性4.哈明(Hamming)窗——改进的升余弦窗(7.2.11)其频域函数WHm(ejω)为其幅度函数WHm(ω)为当N>>1时，可近似表示为5.布莱克曼(Blackman)窗(7.2.13)其频域函数为其幅度函数为(7.2.14)图7.2.4常用的窗函数图7.2.5常用窗函数的幅度特性(a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)汉宁窗；(d)哈明窗；(e)布莱克曼窗

图7.2.6理想低通加窗后的幅度特性(N=51,ωc=0.5π)(a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)汉宁窗；

(d)哈明窗；(e)布莱克曼窗6.凯塞—贝塞尔窗(Kaiser-BaselWindow)式中I0(x)是零阶第一类修正贝塞尔函数，可用下面级数计算：一种参数可调的窗函数

一般I0(x)取15~25项，便可以满足精度要求。α参数可以控制窗的形状。一般α加大，主瓣加宽，旁瓣幅度减小，典型数据为4<α<9。当α=5.44时，窗函数接近哈明窗。α=7.865时，窗函数接近布莱克曼窗。(7.2.18)凯塞窗的幅度函数为(7.2.16)(7.2.17)

表7.2.1凯塞窗参数对滤波器的性能影响表7.2.2六种窗函数的基本参数②待求滤波器的频响为Hd(ejω)不能直接表示，则可对其从ω=0到ω=2π采样M点，采样值为窗函数设计FIR滤波器的步骤:(1)根据技术要求确定待求滤波器的单位取样响应hd(n)。①待求滤波器的频响为Hd(ejω)已知；单位取样响应用下式求出：(7.2.17)(7.2.18)，则有③若给出通带、阻带衰减和边界频率要求，可选用理想低通滤波器作为逼近函数，求出单位取样响应hd(n)如下：根据频率采样定理，hM(n)与hd(n)应满足如下关系：为保证线性相位，取α=(N-1)/2根据对过渡带及阻带衰减的要求，选择窗函数的形式，并估计窗口长度N。设待求滤波器的过渡带用Δω表示，它近似等于窗函数主瓣宽度，则窗口长度N≈A/Δω，A决定于窗口形式，如，矩形窗A=4π，哈明窗A=8π，参考表7.2.2。

窗函数选择原则：保证阻带衰减的前提下，尽量选择主瓣窄的窗函数。(4)验算技术指标是否满足要求。设计出的滤波器频率响应用下式计算：(3)计算滤波器的单位取样响应h(n)若H(ejω

)不满足要求，则根据具体情况重复步骤(2)、(3)、(4)，直到满足要求为止。例7.2.1用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计FIR低通滤波器，设N=11,ωc=0.2πrad。解：用理想低通作为逼近滤波器，按照(7.2.2)式，有

用汉宁窗设计：用布莱克曼窗设计：图7.2.7例7.2.1的低通幅度特性7.3利用频率采样法设计FIR滤波器

设待设计的滤波器的传输函数用Hd(ejω)表示，对它在ω=0到2π之间等间隔采样N点，得到Hd(k)，再对N点Hd(k)进行IDFT，得到h(n)，(7.3.1)(7.3.2)

式中，h(n)作为所设计的滤波器的单位取样响应，其系统函数H(z)为(7.3.3)(7.3.4)1.用频率采样法设计线性相位滤波器的条件

FIR滤波器具有线性相位的条件是h(n)是实序列，且满足h(n)=h(N-n-1)，在此基础上我们已推导出其传输函数应满足的条件是：(7.3.5)(7.3.6)(7.3.7)奇数偶数

在ω=0~2π之间等间隔采样N点，

将ω=ωk代入(7.3.4)~(7.3.7)式中，并写成k的函数：(7.3.8)(7.3.9)奇数偶数(7.3.10)(7.3.11)

设用理想低通作为希望设计的滤波器，截止频率为ωc，采样点数N，Hg(k)和θ(k)用下面公式计算：

N=奇数时，(7.3.12)N=偶数时，(7.3.13)2.逼近误差及其改进措施如果待设计的滤波器为Hd(ejω),对应的单位取样响应为hd(n)，

则由频率域采样定理知道，在频域0~2π之间等间隔采样N点，利用IDFT得到的h(n)应是hd(n)以N为周期，周期性延拓乘以RN(ω)，即

由采样定理表明，频率域等间隔采样H(k)，经过IDFT得到h(n)，其Z变换H(z)和H(k)的关系为

图7.3.1理想低通滤波器增加过渡点

例7.3.1利用频率采样法设计线性相位低通滤波器，要求截止频率ωc=π/2rad，采样点数N=33，选用h(n)=h(N-1-n)情况。解用理想低通作为逼近滤波器。按照(7.3.12)式，

对理想低通幅度特性采样情况如图7.3.2所示。将采样得到的图7.3.2对理想低通进行采样图7.3.3例7.3.1的幅度特性图7.3.4例7.3.1——(N=65)有两个过渡点幅度特性7.4利用切比雪夫逼近法设计FIR滤波器

如果用E(ejω)表示Hd(ejω)和所设计滤波器H(ejω)之间的频响误差

E(ejω)=H-d(ejω)-H(ejω)(7.4.1)

其均方误差为(7.4.2)1.切比雪夫最佳一致逼近准则设希望设计的滤波器幅度特性为Hd(ω)，实际设计的滤波器幅度特性为Hg(ω)，其加权误差E(ω)用下式表示：

E(ω)=W(ω)［Hd(ω)-Hg(ω)］(7.4.3)

为设计具有线性相位的FIR滤波器，其单位脉冲响应h(n)或幅度特性必须满足一定条件。假设设计的是h(n)=h(n-N-1),N=奇数情况，将Hg(ω)代入(7.4.3)式，则(7.4.4)

式中M=(N-1)/2。最佳一致逼近的问题是选择M+1个系数a(n),使加权误差E(ω)的最大值为最小，即

该定理指出最佳一致逼近的充要条件是E(ω)在A上至少呈现M+2个“交错”，使得2.利用最佳一致逼近准则设计线性相位FIR滤波器设我们希望设计的滤波器是线性相位低通滤波器，其幅度特性为

如果我们知道了A上的M+2个交错点频率：ω0,ω1,:,ωM+1,按照(7.4.4)式，并根据交错点组准则，可写出(7.4.5)

将(7.4.5)式写成矩阵形式，(7.4.6)(1)在频域等间隔取M+2个频率ω0,ω1,:,ωM+1，作为交错点组的初始值。按下式计算ρ值：(7.4.7)(7.4.8)

一般初始值ωi并不是最佳的极值频率，ρ也不是最优估计误差，它是相对于初始值产生的偏差。然后利用拉格朗日(Lagrange)插值公式，求出Hg(ω)，即(7.4.9)(7.4.10)(7.4.11)(2)对上次确定的ω0,ω1,:,ωM+1中每一点，都检查其附近是否存在某一频率|E(ω)|>ρ，如有，再在该点附近找出局部极值点，并用该点代替原来的点。

(3)利用和第二步相同的方法，把各频率处使|E(ω)|>|ρ|的点作为新的局部极值点，从而又得到一组新的交错点组。图7.4.2雷米兹算法流程图3.线性相位FIR滤波器的四种类型统一表示式在7.1节，我们已推导出线性相位的四种情况，它们的幅度特性H-g(ω)分别如下式：

奇数奇数偶数偶数