第一章复数与复变函数(1.5)-精简

§1.5复变函数一、基本概念二、图形表示三、极限四、连续按照一定法则，有确定的复数w与它对应，上定义一个复变函数，记作对每个有唯一的

w

与它对应；

单值函数比如

多值函数对每个有多个

w

与它对应；比如则称在D一、基本概念定义设

D

是复平面上的一个点集，对于

D

中任意的一点，z一般情形下，所讨论的“函数”都是指单值函数。一、基本概念

一个复变函数对应于两个二元实变函数。分析则可以写成设其中，与为实值二元函数。分开上式的实部与虚部得到比较两边实部与虚部即得代入得解记P21例1.13

例将复变函数化为一对实变函数。GG二、图形表示C映射平面z平面w其中，点集称为像，点集称为原像。

函数和映射可视为同一个概念。Dzxywuv

同理可定义反函数和逆映射GG二、图形表示C映射平面z平面w其中，点集称为像，点集称为原像。Dzxywuv双方单值或一一映射若映射

与它的逆映射都是单值的，则称映射是双方单值的或者一一映射。解(1)点对应的像(点)为(2)区域D

可改写为：令则可得区域D

的像(区域)G

满足P22

例(1)(2)已知函数求下列点集的像。点区域三、极限定义设函数在的去心领域内有定义

,若存在复数使得当时，有记作或注(1)

函数在点可以无定义；(2)

趋向于的方式是任意的。则称A为函数当z趋向于z0时的极限，

P23定义

1.1

性质如果则三、极限(1)(2)(3)

对于有限个函数来说：极限运算与四则运算互换定理三、极限设证明如果则当时，则必要性“”

P23定理

1.1

充分性“”(略)三、极限

所关心的两个问题：(1)如何证明复变函数的极限存在？(2)如何说明复变函数的极限不存在？a.

选择不同的路径进行讨论(由定义)放大技巧

。b.

对应的二元函数其中一个的极限不存在(由定理)定理设则

P23定理

1.1

a.

从定义出发：对应的二元函数的极限都存在。b.

从定理出发：xy讨论函数在的极限。例当时，当时，因此极限不存在。解方法一

P24例1.15

解当时，当时，因此极限不存在。方法二xy方法三沿着射线与有关，因此极限不存在。讨论函数在的极限。例xy四、连续定义则称在

点连续。若z0若在区域

D

内处处连续，则称

在

D

内连续。注(1)连续的三个要素：存在；存在；相等(2)连续的等价表示：这里，

P24定义

1.2

例如函数在复平面内除原点外是处处连续的。

因为除原点外是处处连续的，而是处处连续的。

P25定理

1.2

四、连续函数和在点连续的充要条件是定理在点连续。性质四、连续(1)在

连续的两个函数

与

的和、差、积、商(分母在

不为零)在

处连续。z0z0z0(2)如果函数在

处连续，函数在连续，则函数在

处连续。z0z0(3)如果函数在有界闭区域

D

上连续，则

P26上必有界；在

上必能取到最大值与最小值；在

上必一致连续。在

例证明在复平面上除去原点和负实轴的区域上连续。yxez0d

P25例1.16

为全平面除去原点和负实轴的区域上任一点。证设考虑任意充分小的正数使得当时，因此点连续。在再由知的任意性，在所述区域内连续。存在正数有（请记住此例结论）补充

关于含

的极限作如下规定：(3)

关于定义的描述(举例)：(1)(2)使得当