塑性力学第一章 简单应力状态下的弹塑性力学问题

塑性力学

第一章简单应力状态下的

弹塑性力学问题

§1.1引言§1.2材料在简单拉压时的实验结果§1.3应力-应变关系简化模型§1.4轴向拉伸时的塑性失稳§1.5简单桁架的弹塑性分析§1.6强化效应的影响§1.7几何非线性的影响§1.8弹性极限曲线§1.9加载路径的影响§1.10极限载荷曲线（面）§1.11安定问题§1.1引言

一、变形弹性变形：物质微元的应力和应变之间具有单一的对应关系

非弹性变形：应力和应变之间不具有单一的对应关系非弹性变形塑性变形粘性变形（是指物体在除去外力后所残留下的永久变形）（随时间而改变，如蠕变、应力松弛等）二、塑性与脆性如果变形很小就破坏，便称是脆性如果经受了很大的变形才破坏，材料具有较好的韧性或延性，这时材料的塑性变形能力较强，便称是塑性。在这种情况下，物体从开始出现永久变形到最终破坏之间仍具有承载能力。——采用弹性理论分析——采用塑性力学分析研究在哪些条件下可以允许结构中某些部位的应力超过弹性极限的范围，以充分发挥材料的强度潜力研究物体在不可避免地产生某些塑性变形后，对承载能力和（或）抵抗变形能力的影响研究好何利用材料的塑性性质以达到加工成形的目的三、塑性力学目的

塑性力学是连续介质力学的一个分支，故研究时仍采用连续介质力学中的假设和基本方法。

四、塑性力学的方法基本方程:①几何关系②守恒定律③本构方程§1.2材料在简单拉压时的实验结果

材料：金属多晶材料受力：单向拉伸或压缩实验(名义)应力：σ=P/A0(名义)应变：ε=（ι-ι0）/ι0

一、实验描述二、实验曲线线弹性阶段非线性弹性阶段屈服阶段强化阶段颈缩阶段实验曲线加载过程实验曲线卸载过程弹性阶段：卸载沿原路返回塑性阶段：卸载沿直线返回，斜率与弹性阶段相同应变强化：三、两种现象包氏效应：实验曲线反向加载：单晶体，其压缩时的屈服应力也有相似的提高(图2（a）中的M´´点)多晶体，其压缩屈服应力（M´点）一般要低于一开始就反向加载时的屈服应力（A´点）。这种由于拉伸时强化影响到压缩时弱化的现象称为包氏效应（Bauschingereffect）。材料经过塑性变形得到强化图2（a）1、在材料的弹塑性变形过程中，应力与应变之间已不再具有单一的对应关系。四、实验总结加载路径——σ与ε之间的关系依赖于加载路径内变量——宏观参量，用来刻画加载历史例如，作为最简单的近似，可以取内变量ξ为塑性应变εp，而将简单受拉（压）时的应力应变关系写为ε=σ/E+εp（1）——其中E为杨氏模量上式表明，当εP（内变量）一定时，σ与ε之间有单一的对应关系。2.σ与ε之间的线性关系ε=σ/E+εp（1）式是有适用范围的。对于固定的内变量εP，σ或ε并不能随意取值。例如，对处于图2（a）中的M点，当加载时即应力（或应变）继续增长时，应力应变曲线将沿AMM1方向延伸，公当卸载时即应力（或应变）减小时应力应变曲线才以（1）式的规律沿MN向下降。为了区分以上这种加载和卸载所具有的不同规律，就必须给出相应的加卸载准则。图2（a）五、尝影响掠材料徐性质损的其鞭它几赤个因侨素1、温度当温签度上友升时稍，材窝料的其屈服范应力垒将会降低窄而塑腊性变链形的揉能力钢则有医所提怒高。3．静水哈压力当静畅水压纪力不对太大钞时，幸材料秧体积终的变化服掩从弹父性规技律而补不产孔生永绪久的瓣塑性朗体积芦改变焰。2、应变材速率如果库实验扑时将租加载患速度厘提高撕几个招数量级，些则屈耻服应例力也抛会相老应地炕提高红，但庄材料找的塑摸性应变形愿能力稳会有概所下福降。当材塌料有稻较大诵的塑蚊性变仇形时阴（弹僚性变由形相抓对地抖很小夏），袄可近招似地湿认为趁体积乓是不赞可压宏的。静水祖压力炒对屈佳服应蛮力的谅影响露也是晒不大扩的。§1跑.3毙应房诚力-缝应变掌关系启关系固的简宪化模菊型类似弟地，特上式立也可视用应削变表蜻示为淹：1．疏理想塞弹塑飞性模掘型适用聋：强筛化率肺较低铲的材船料，火在应鸦变不递太大薄时可忍忽略剖强化业效应2．成线性斗强化栋弹塑丈性模皂型类似易地，撇上式政也可炮用应孔变表垄示为特：适用阶：材载料的它强化煤率较架高且铸在一芦定范扇围内变涉化不惰大（假订定拉内伸和遣压缩型时屈亏服应康力的毁绝对壤值和拿强化客模量轿都相遥同）——表示膨图5用（a）中的坟线段以比3．虑一般月加载挠规律对于辆一般驾的单轰向拉肢伸曲诸线，甚在不充卸载值时应普力应庙变关啊系：注：拖这种思模型锡在袜=0宾处的堆斜率双为无明穷大剥，近衫似性细较差氧，但谢在数斤学上骑比较垮容易坑处理残。（8鞋）4．蛋幂次终强化概模型（其喇中B>刚0，0<插m<初1）其加姐载规脂律可肉写为恭：（9周）如取衫就有说明构：这故对应毛于割暮线余垒率为批0.烂7E的应肺力和披应变尘，上马式中有叛三个章参数仆可用枣来刻踪蝶画实育际材哪料的协拉伸倚特性预，而爷在数学导表达偏式上待也较够为简抚单。5．Ra租mb响er忘g-忆Os丽go外od模型等向躺强化责模型6.等向阶强化垃模型禁及随冤动强孩化模怜型例如良：可犹取适用狐：拉妥伸时节的屈初服应维力和雁压缩里时的性屈服哑应力痰始终落是相密等的表。——是刻画塑性变形历史的参数图2（a）或该模型不论拉伸还是压缩都使屈服应力提高，对应图2（a）中的和。随动筋强化遇模型上式喉在线刘性强读化情腹形下灰也可貌写为（是塑性应变的单调递增函数）适用岭：考栏虑包踩氏效酿应，薪认为搂拉伸伍屈服堡应力澡和压终缩屈宴服应械力的谁代数值之是差，落即弹稻性响宪应的坝范围蠢始终脆是不教变的志。是一个常数（）图2（a）该模型对应图2（a）中的和。§1衬.4括轴向叶拉伸帽时的繁塑性缝失稳一、放拉伸呢失稳麦的概斩念1、拉部伸失肢稳：注意史：拉睡伸试相件在作出现躺颈缩怖后，乖试件绒局部至区域拘的截踪蝶面积时会有明显那减少价，再龟用名精义应晶力和筹应变毯来描骑述此吐时的待材料末特性是盟不适番当的（见弹图2）在最宅高点匠以后习，增加揭应变肉时应力学反而孙下降，在啄通常载意义下称畜试件颗是不制稳定族的。图2（a）2、真症应力3、对留数应寸变4、截延面积网收缩夏比q=培（A0-A鬼）/母A0假定男材料断是不锤可压垫缩的知：A0l0=A节l，并认秩为名加义应诉力达到可最高第点C时出耐现颈美缩：二、杏真应渐力则在和颈缩糊时真辽应力全应满市足条哲件拉伸极失稳葡分界召点的街斜率茄正好搂和该曲点的洪纵坐罪标值因相等但。由结论圆：[1席]注意葬到颈缩帖时的稼条件参也可纹写为：即拉伸失稳点的斜率为其纵坐标值除以结论蹦：[2叉][3谈]以截响面积兴收缩扛比q为自著变量则由颈池缩时东的条申件拉伸颈失稳罢时真坑应力欧所满后足的餐条件:随着叉材料则的变裤形，挽微裂龄纹和酷（或杀）孔悬洞的桂生成永及汇辩合也颗将会敌造成挂材料课的弱烘化而后导致横失稳毙。称江之为淘应变震弱化嫩。三、打材料戒本身沈的失雁稳现付象例如怠，在博低碳诉钢拉祖伸实烫验中水由上删屈服宁应力奴突然颤下降衬到下屈服绸应力妹的现托象，掩它与侄材料超变形宾的内胶部微窑观机答制的末变化有关熄。在许暑多问抹题（蛮如拉狐伸失哪稳等裳）中勉，以妄上两驾种现器象往捡往是政耦合厌的§1究.5帐简础单桁勤架的执弹塑岭性分瓜析一、跑问题五的提山出以图卖示的应一次幅静不煤定三将杆桁滔架为爪例进改行弹舌塑性职分析纠。图中演三根详杆的夸截面轧积均感为A，中间夕第二食杆的因杆长祸为并，它与甘相邻宫的第振一杆勾和第洲三杆抄的夹妨角均萄为θ=对450，在其芬交汇晴点O处作陶用水需平力Q和垂祖直向凝下的宴力P变，O点将右产生舒水平浮位移软和桃垂直畜位移。二、恩问题塑的解五答已知张：解：如定灰义第而根掌杆的恐名义其应力鄙为毒,名义哄应变们为托,则有语如下平衡拥方程和几何补关系和协调漂条件为了之得到剂问题轿的解清，还屡必须构补充本构词方程短。我们炊假定挡材料街是理想昼弹塑尾性。(1渣)悔Q=状0时的稿弹性诱解和俘弹塑音性解由弹性氏解:由1、应番力为屈悄服应芳力————为垂诞直方乒向上锻的弹宏性极国限载网荷2、位悠移（1嘴4）（1岔7）由（14）、档（17）和腾（18），旦得——垂直黎向下墙位移载荷来-位些移曲语线则当P由零地增至Pe时，仍在图伞9的绘坐标稿中为摔区间锣[0定，1吨]上雹斜率胜等于码1的瓦直线亲段OA搜。若令弹塑奇性解:当P由零弃逐渐支增大歌到Pe时，娱第2餐杆的籍应力焰也逐肤渐增地大而响达到干屈服车状态弱：柱如果P的值毙再继估续增贿加，勾则（酸17催）式装已不杰再适沙用，易相应寻的本赛构方朱程应防改写淹为由应力应变说明既：（1）译这过时的口第2卵杆虽廊然已错经屈联服而居失去捕了进肝一步必的承串载能力竹，但财由于厅它还耍受到晒第1败杆和介第3仪杆弹满性变屈形的张制约剪，其塑性丽变形稍不能扯任意倚增和园，这熟种状套态称妙为约束沈塑性烦变形。（2）咏直网到P值逐浴渐增版大到潮使梁时弱，三卖根杆记将全后部进入屈听服阶素段，缸变形名已不捆再受宝任何防约束旷，结苹构才罚完全西丧失突进一步群的承孤载能期力。这时凉的载柄荷P为——称为免塑性灰极限霸载荷由和位移当P=伟PS时，或注：娘（2炸4）善式对密应于端图9私中在姨区间酒[1刘，2刺]上优斜率坊为肿的直眉线段AB当考宁虑塑涂性变独形时谦，结箱构的然变形筹要比陈纯弹双性变专形为层大，猎但仍阅属同挨一数章量级院，而厘相应再的承缩慧载能虎力将拥会有捎相当炼的提海高。结论(2冈)卸载现将P的值划加载前到处旷于Pe<P涨<Ps范围膝内的恰某一任值P*，然后董再卸斥载使P的改猫变量虹△P<传0。由于引卸载芽服从醉弹性件规律闲，利伯用（烛18情）式樱的增凳量形敬式，艺可知巴应力方和应压变的吗改变货量分平别为卸载歉时的拔载荷桑-位五移曲卡线（捐见图粮9）属与初炸始弹犯性加玻载时怪的曲丈线有签相同跪的斜塑率。卸载捐规律:应力减和应凑变:最终振的应弄力和故应变准值可淋由（21）、芒（25）和剩（22）、辱（26）下艇式的袍叠加束求得晒：特别趋地，浅当载爽荷P值全掉部卸币除后吉，由献△P=蛋-P徐*，便得曲到杆省中的打残余跑应力绍和残他余应悄变（软见图卷10向）为绵：残余诱应力饭和残迁余应数变:其中节点O的残如余位饥移为长：实际哪上，虏第1删杆和脱第3璃杆其冈变形剑规律汉始终章是弹宝性的敬，如副果卸门去载咸荷并强解除独三杆王之间设约束墨的话春，第徐1杆惯和第珍3杆献中的摇弹性漂应变掀和塑诞性应派变都嘉等于句零，晒而第仇2杆饲则有始塑性总应变渡。故补在原荣有的方约束萍下，壤就必忌然地飘引起壁内应垂力而辣使这怖三根遇杆件嘱的残焰余应浪变不询等于纸零。说明蹲：1、残归余应落力应职该满腾足与劣零外完载相颠对应阁的平课衡方仿程。2、残故余应晕变由冷（1江）式拌可分睁为弹搁性应典变和茅塑性斑应变黑两部酸分之炼和：3、在踢超静底定结点构中飞残余兄应变扫一般呆并不控等于宣塑性摧应变脖。§1尘.6闯强仆化效泛应的盛影响本节湾仍讨谎论Q=烂0的情利形，现假觉定材刺料是渠线性塞强化绵的。不卸棕载时嘉其拉除伸曲分线可手写为（1）当P时，集杆中香的应泉力值渐仍由握（1维8）祖式表沟示（2）当P>大Pe时，电有将上仗式与吩（1以5）译式和更（1弹6）链式联奔立，何可解村得（3）当P增至肥使墨时荒，第腐1杆沟和第慕3杆财也开傍始屈替服。此时旁的载葱荷值旱为1、如税取E‘喝/E汇=1借/1欧0，则P1=1抗.0原4Ps。与理燃想弹得塑性关材料从相比球，相应释的载受荷值查并没婶有很其大的创增加书。这烫说明仁采用糕理想鸽弹塑性模脸型可具得到健较好艘的近帝似，叛而计箭算却摆有相盟当的倾简化逢。说明耀：2、当P小于P1时，严结构蚂的变白形仍惑属于柿弹性稠变形店的量非级，微而当P超过P1后继浅续增那加时厨，由验于强仗化效系应，束结构贞并不碰会进广入塑性巾流动理状态袭，但哈这时健的变蚀形将跃会有博较快需的增膊长。§1帖.7起几窗何非佳线性带的影蒙响一、脑问题阵的提坛出求解氏基本戴方程漠：——是在佩小变皱形的津假设联下建诉立的当杆捏件的丸塑性蜓变形皱很大寇时，贷结构援几何棚尺寸辽的改倚变将飘会产涌生显贺著的证影响童。这鞠时应宗采用挪真应扩力和洞对数佳应变挥来进邮行讨被论。二、夸问题所的解肌答仍考宰虑Q=速0的情馋形，黑假定长材料箩是刚醉塑性垮线性俯强化称的：而且冻满足吴不可辈压条烂件：令则由几阴何分痛析于是在变问形后巴的结饰构上取建立祝的平雾衡方葬程为脂：其中——为变羽形后钩第2杆与迷第1杆（正和第3杆）维之间旷的夹硬角可见贵（33）式竟中有消三个票未知膊量在不汗卸载的的情枪况下膊，由索本构液方程级：得到与之间的非线性关系结论融：随着佣的嫩增长填，着的刚值将群会由竿于强大化效套应和伸角的巨减小扮而提顿高，但也国会随烧着杆隔件截扎面积笔的收汤缩而散下降王。故答当嫩很大派时，阵结构妻将可瓜能变成盾不稳鄙定的附。§1始.8糟弹庙性极银限曲伐线本节描我们附将考敢虑前托述桁夺架同乒时受丙垂直摘载荷P和水臭平载那荷Q作用丘的情侧形。如果索桁架辆中的疏三根拳杆件怀都处削于弹趁性阶活段，跪则由轧（1宴3）乘(1脱4）层15流）和朋（1惜7）胸各式童，平衡狡方程几何膝方程协调叫条件本构共方程其中朗，坑表示区只作博用水港平力归时的罪弹性骄极限跳载荷近。可求北得杆勇中应鞠力为（3订5）被式成擦立的号条件拖为这相蜓当于啄对P和Q的限较制条边件：上式法对应巩于图虏12直中实建线六槐边形区祥域，惜其中籍等号批则对霜应于该六派边形小的边精界，祸称为弹性极限疾曲线，表柱示至蚕少有傲一根杆件建已达壮到屈蹲服状抹态。如果胁作用鹿于结宇构上厚的载航荷先敞是超峡出了由弹性召极限巾曲线彼，然色后又完诉全卸暑回到透零，罚那么马结构掌中将爸存在狡残余束应力心。由于启残余姻应力衫与零退外载券相平刷衡，枯故可奸写成阿（27）式才的形旦式：其中灶是戴一个龙可以污变化崭的参旦数，绝其值醋可由薪（28）式据来表捡示。在存聋在残屯余应乓力的叶情况只下，欠如果歼再重帆新对社结构眨施加判载荷中而未能猴再次汇屈服全，那古么结优构中建的应奸力值榜就应扑该是饲以上头的残茫余应力与协（35）式康的叠勇加。不产饥生新别的塑彼性变锻形的豆限制寻条件车：其中互值和满足（37）式猛对应胡于图12中虚惰线所任构成的六灵边形第区域皱。说明收：可见田在加挤载方爷向一辨侧屈单服载复荷有旷所提幸高而哄与加忽载方绕向相宁反的一堆侧屈鄙服载嫁荷有闪所降磁低。廊可用第来对走应变齿硬化桶和包焦氏效座应等现架象做熔一个疫比较识形象献的解习释。§1轨.9签加载倚路径禽的影灵响塑性版力学座的特艇点之软一就机是解对加载携路径的依讲赖性拴。[例]计算莲上述存的理婶想弹邮塑性霜三杆绸桁架头在不饺同加治载路许径下O点的最德终水祝平位卷移和纸垂直臭位移铺。第一庆种路狭径（图13（a)中的忘路径1）当时第一撒种路贤径：励（Q，觉P）先由潮（0懂，0沈）线性业地变析化为毒（0遗，PS），再在垂直位移浩保持委不变的条删件下弹增加Q使达呼到Qe如保稠持δy=2谨δe不变敲而施葱加水窃平方谷向的母载荷Q，使点O有一薪个水萍平方锋向的丈位移压增量途，则聚由几何关君系（果14疲）式：可知页第1锯杆和潜第2扮杆并梦未卸冒载而第渗3杆口以弹值性规犁律卸纲载于是祝，由艇（1溪3）巧式可喉求得开载荷眨增量锻为：即Q与P之间育的变村化规炉律是匹线性启的当第图3杆碑卸载捕到σ3=-李σs时由△σ3=-凝2σs得此时笔三杆怕同时盆屈服叛，即为结构仍再次啊进入豪塑性招流动图状态愁。三杆泛的应府力为域：水平僵位移δx可由劣（3悬8）眠式求劫得，企垂直钢位移δy始终见不变淋。因此蔑：第二杆种路仅径：年（Q，勤P）由（冬0，嫂0）使作单调伙的比析例如雁载而烛达到究（钻）第二垄种路印径（图兔13具（a）中的拦路径健②）由于敌加载屈时始恶终有泻关系拔式，烘故将骑其代舱入（错35摆）式央可得痕初始教弹性令阶段乘的解洗为：，——表明犹随着P的增鼠长，锣第1杆最侵先达灵到屈沉服。当各杆笑的应统力此时O点的尚位移疼值为如继安续加橡载，壤则第贿1杆报进入括屈服拳阶段膛，即由和（13）式疼的增迈量形程式——表明助第2杆继豪续受章拉，农第3杆继忆续受钟压。各杆蔬的应踩力由榆（41）式点和（43）式翠计算当垦三肝杆同兴时进弓入塑揉性状垒态，零即利用兽（4俯3）陵式和（历14钞）式斤的增歉量形谣式便可佳求出胀对应堡于奇时匆的位茄移增袋量：最终殖位移爸则是赏上式蓝和（沙42孕）式石的叠贺加：结论赠：可知际在两哑种加绍载路陶径下磨虽然幕可得门到相打同的贫应力述值，饱但各题杆的凭应变慎和O点最推终位徒移值斗却是梳不同锅的。§1扫.1邀0极骡限载参荷曲侧线（宝面）一、脚概念两个骡不等婚式同起时取互等号望时，孙（P，Q）的值将竞处于资虚线界六边吨形的扁顶点塑。1、塑母性极粉限载瞒荷此时北结构搁变为默一个却能产迅生塑害性流膏动的饮机构荡而丧特失了新进一朝步承载尸的能刑力。沾相应弊的载慎荷就欠是塑性碰极限屿载荷。2、极航限载紧荷曲求线随着γ*的改下变，李这个删极限津载荷旨在（Q，晴P）平面合上的崇轨迹堤将形次成一诉条曲浇线，役称为极限绕载荷描曲线（在效多维旋载荷赛空间航中则闷称为牢极限正载荷骄曲面趁）。