材料力学课件之压杆稳定

第12章压杆稳定12–1压杆稳定的概念一、工程背景工程中存在着许多受压杆件。对于相对细长的压杆，其破坏并非由于强度不足，而是由于荷载（压力）增大到一定数值后，不能保持原有直线平衡状态而失效。活塞杆在油缸中运动，使铲臂上下移动，当活塞杆受力比较大或活塞杆比较细时，有可能使直线的平衡构形变成弯曲的平衡构形，从而不能实现上下动作。一、工程背景自动翻斗车中的活塞杆也有类似的问题。如图示塔吊，立柱承受压力，当压力过大时，立柱也有可能从直线的平衡构形变成弯曲的平衡构形。除此之外，组成塔吊的桁架中受压力的杆子也可能从直线的平衡构形变成弯曲的平衡构形，也就是稳定性问题。一、工程背景如图自动升降工作台，

受压的杆子就存在弹性稳定问题。

如图示紧凑型超高压输电线路相间绝缘间隔棒，当它受压从直线的平衡构形变成弯曲的平衡构形时是否一定丧失正常功能呢？这需要经过实验确定，观察在不同的力的作用下弯曲到什么程度。一、工程背景工程构件稳定性实验压杆稳定性实验脚手架，当整体承受压力过大时，有可能从直线的平衡构形变成弯曲的平衡构形，导致坍塌。另外，组成脚手架中的受压杆件也有可能从直线平衡构形变成弯曲的平衡构形，造成整个脚手架坍塌。一、工程背景1907年8月29日，加拿大圣劳伦斯河上一座长为548m的魁北克(Quebec)钢大桥，在施工中因桁架失稳而突然倒塌。74人坠河遇难，桥下1人（逃开），水中救起1人，河对岸1人。俄莫兹尔大桥在试车时桁架发生倒塌。美国华盛顿镍克尔卜克尔剧院在一场暴风雪中，屋盖结构失稳。一、压杆的两类力学模型1.小偏心压杆与初弯曲压杆2.轴心受压直杆二、三种平衡状态1.刚体平衡的稳定性(1)稳定平衡：系统处于平衡状态。若对于离开平衡位置的微小位移，将出现使系统回复到原有平衡位置的恢复力，则称系统原有的平衡状态是稳定的。决定因素：就在于偏离平衡位置时，是否有恢复力。(2)不稳定平衡：系统处于平衡状态。若稍离平衡位置，将出现使系统不再回复到原有平衡位置(或进一步偏离平衡位置)的倾覆力，则称系统原有的平衡状态是不稳定的。(3)临界平衡：系统处于平衡状态，如有微小干扰，物体离开平衡位置，但除去干扰后，物体不能恢复原来的平衡状态，而在新的位置保持平衡，则物体在原来的平衡状态称为临界平衡状态。不稳定平衡稳定平衡随遇平衡(临界平衡)2.弹性平衡的稳定性(1)稳定平衡：系统处于平衡形态。若对原有平衡形态有微小的位移，其弹性回复力(或力矩)使系统回复原有的平衡形态，则称系统原有的平衡形态是稳定的。如图，当2kxL>Px时，杆AB的铅垂平衡形态是稳定的。(2)不稳定平衡:系统处于平衡形态。若有微小位移，其弹性回复力(或力矩)使系统不再回复原有的平衡形态，则称系统原有的平衡形态是不稳定的。如图,2kxL<Px时，杆AB原有的铅垂平衡形态是不稳定的。3.弹性平衡稳定性的特征(1)弹性平衡稳定性是对于原来的平衡形态而言的。(2)弹性平衡的稳定性取决杆件所受的压力值稳定平衡P＜2kL不稳定平衡P＞2kL(3)弹性平衡的稳定性与弹性元件的弹簧常数k和杆件的长度L有关。(4)研究弹性平衡的稳定性，需对结构变形后的形态进行分析。三、弹性平衡稳定的计算方法1.小挠度理论：优点是可以用较简单的方法得到基本正确的结论，曲率采用近似公式。2.大挠度理论：曲率采用精确公式。四、压杆两类弹性失稳问题1.分支点失稳——质变失稳(1)理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。(2)理想弹性压杆的稳定性直线平衡构形d弯曲平衡构形1)压杆的两种平衡构形：FP<FPcr:

直线平衡构形FP>FPcr:弯曲平衡构形(在扰动作用下)在扰动作用下，直线平衡构形转变为弯曲平衡构形，扰动除去后，能够恢复到直线平衡构形，则称原来的直线平衡构形是稳定的。在扰动作用下，直线平衡构形转变为弯曲平衡构形，扰动除去后，不能恢复到直线平衡构形，则称原来的直线平衡构形是不稳定的。2)弹性压杆是临界的平衡FP=FPcr:压杆可在直线位置平衡(当它不受干扰时)，又可在干扰给予的微弯曲线位置平衡，这种两可性是弹性体系的临界平衡的重要特点。(3)平衡路径与平衡路径分叉直线平衡构形dFP<FPcr一种平衡路径FP>FPcrd(4)分叉点失稳d分叉点——两条平衡路径的交点B。分叉点失稳——分叉点处原始平衡路径与新的平衡路径同时存在，出现平衡形式的二重性，这种失稳形式称为分叉点失稳。临界载荷——分叉点对应的载荷。用FPcr或Pcr表示。屈曲（Buckling)与失稳由于压杆的失稳现象是在纵向力的作用下，使杆发生突然弯曲，所以这种弯曲也常称为纵弯曲，这种丧失稳定的现象，有时也称屈曲。

2.虫极值说点失册稳实际麻压杆总是袄有缺面隐的既(残窃余应盟力、永初弯你曲、臣荷载吴有初牧偏心昨等等院)殊。曲线逢GJ胁K是洒有初溜挠度d0的实懒际压景杆的亦FP-d关杏系曲线虏。J亩点是委极值拜点，趋对应枣荷载垦FPJ是极闭值荷安载。配当FP=FPJ后,久将出班现J景K段译曲线歉所反歪映的暑实际龟压杆纯的崩恭溃现惊象—喇—在键荷载塘值不苍断降嘴低的养情况剩下杆商件急焰剧弯假曲，机不再熟能维良持其梁原来吐的缩臂短加景弯曲寄的变升形形高式。妻这种稼现象世叫做极值停点失叉稳。它码总是命小于询临界触荷载愉。五、铜结论当压典杆所蛙受的衣轴向施压力涂达到死临界骗力Pcr的值芒时，理该压乌杆就震处于配临界户平衡去状态便。在蔑临界慕平衡节状态乡丰下杆闹件可五能在血没有落受到躺外界评干扰旬时还林能处染于原咐来的睁直线梨平衡西状态挤，也缺可能竟在受揭到微乘小干株扰后趟保持折微弯亩状态底下的蹄平衡四。但数由于研杆件狱总不绵可避排免地诵要受斤到外诱界的表干扰栏，而则一经毛干扰破之后近，即币使还连能保别持微物弯状塔态下器的平松衡，腊但它吐已不挖能回苹复到悉它原妨来的直直线巩平衡幅状态地，这脆时的安压杆械实质扔上是焰处于家不稳起定平肆衡状剩态。窄因此合，当作语用于倡压杆肥的轴帖向压姑力P野=Pcr时，贱压杆弟开始巨丧失猎稳定。1.界对于残理想象压杆动，稳忌定性异意味乒着压唇杆维条持其或直线牵压缩坏的变夺形形式泰的能土力。由于镰压杆要的失弃稳常球常发饰生在城杆内运的应笋力还烛很低殊的时阿候，兵因此迁，随膨着高贪强度聋钢的疼广泛器采用滔，对掌压杆识进行越稳定营计算泰是结淡构设定计中诵的重如要部汤分。2.倒对于跳实际瓦压杆宰（有汉缺陷肆的压汽杆）畅，稳揉定性肯意味缸着它裤维持其缩捞短加从弯曲粪的变毙形形并式的森能力侦。12谋-2订细宫长压枣杆临石界力刃的欧血拉公润式一、修两端鉴铰支湿压杆猴的临挥界力终:vv1.贵公式哈推导假定捡压力同已达苦到临阔界值百，杆暂已经以处于殿微弯良状态溉，如闻图，从挠誓曲线扫入手暮，求筝临界双力。M(x)吃=FPc丈rv(x)代入拾挠曲泻线近疗似微史分方商程经整肥理后华得1.焦公式波推导二阶净齐次矩线性翁微分产方程钳的通猾解为v(顾0旅)蹄=馒0牺,v(l)怒=柱0边界瓦条件1•C1+0•C2=0coskl•C1+sinkl•C2=0v(0)=0v(l)=010cosklsinkl=0零解炕表示绞未加衰干扰插时杆自可在撒直线炮位置感平衡纲，但镰无助方于求析FPc沃r非零释解条叫件si瓜nkl=01.举公式滨推导si碧nkl=0故但n=连0时，FPc背r=0，无萌意义牵。因此庙，n忽的合殖理最店小值悦是1恶，于责是有最小敌临界庄载荷——萝欧拉投公式欧拉仇公式杀的应帖用条染件：1.毒理想耕压杆异；2.剧线弹戒性范熟围内机；3.姑两端翁为球苗铰支翅座。注：洋上式证是由两端些为球蜜铰支闹座(钞各方察向的泰约束鱼条件滨相同跃)推矮出，叶因此苦I应后为截边面的金最小岸形心较主惯邮性矩户，即吸失稳止时，杂将在屡刚度农最小炮的平宅面内例发生洁弯曲欢。2.费两端佳铰支章压杆警临界浅平衡拍时的堡微弯坊挠曲读线方毁程二、袖其他盐支承伞情况炊下，鬼压杆街临界锐力的掀欧拉穷公式当杆锁端为讲其他渴约束危情况帆时，搁细长先压杆蠢的临拔界压痰力公办式可探以仿躁照两端忌铰支阴压杆厅临界才力公复式的相推导方法拦，根份据在猴不同叼的杆莫端约俘束情两况下浓压杆通的挠承曲线晚近似截微分猜方程渣式和刑挠曲尾线的齐边界屠条件矩来推薪导。一端预固定稻、一膊端铰原支的毅细长励压杆变，杆镰的长呼度为l，抗达弯刚境度为壤EI胀，承蚁受轴汽向压倚力P定，如辉图所雄示。苦试推军导其晌临界脖压力尊。推导压杆况在临狂界压附力作佳用下位，将菜在微殊弯情喘况下教保持锤平衡钟。由捉于固峰定端丹B产亏生反慈力偶MO，因捡此，锯简支勺端A客必有渐反力H=欣MO/l。由挠毙曲线洲近似脱微分绢方程得通解推导边界船条件梨：另，x=l,v=0烛,得室稳定炒方程杆在风微弯丽状态甲下平金衡时衔，H不可班能等溜于零巧，于嚷是有推导最小宽非零旋解kl=4监.4宜9故讨论架拐点有x1=0捏.3l；x2=l。推导x1=0深.3l为挠贩曲线救的拐勿点坐壳标值货，x2=l为上缓端铰剂支座配位置指。拐抛点（京反弯内点）俭和铰六支座挨处M=淹0。可繁见，煤该压辈杆可准化为睁两端田球铰书支压孟杆，僚其相霉当长讲度为l0=0腰.7l。综上巩所述怕：可县以利哥用两虾端铰婶支细爬长压播杆的喘临界袍力公隔式，采用猾类比端的方舍法，留将微秩弯平两衡挠铸曲线提上拐量点视丑为铰预，并该将压足杆在耻挠曲抽线两矩拐点谜间的挺一段言视为晃两端扬铰支厦压杆闪，得到必其他骗杆端蜻约束竿情况毛下细渴长压甩杆的妹临界像力公霸式。挠曲线两拐点间的一段杆长称为原压杆的相当长度或计算长度或自由长度，并用表示，—长度系数。压杆慨临界靠力欧歪拉公企式的织一般核形式各种敬支承吧约束追条件诸下等忽截面源细长怕压杆画临界区力的宗欧拉错公式0.杂5l支承诊情况两端锻铰支一端若固定矛另端阴铰支两端顾固定一端肤固定栋另端条自由两端贱固定茂但可浓沿横佛向相晓对移哑动失稳班时挠也曲线吧形状PcrABl临界移力Pcr欧拉蝴公式长度箭系数μμ=1μ0.邮7μ=0.倒5μ=2μ=1PcrABlPcrABl0.7lCCDC—挠曲针线拐闸点C、周D—挠曲标线拐枕点0.绸5lPcrPcrl2llC—挠曲添线拐释点例12滑-3超过泽比例走极限耐时压宿杆临未界应借力一、及临界藏应力姐与柔钢度1.临界应力：中心压杆处于临界状态且仍在直轴线状态下维持不稳定平衡时，横截面上的平均应力。2.细细长匙压杆扣的临界方应力珠——欧拉谷临界啄应力寒公式注：如果压杆在不同平面内失稳，且各平面内支承约束条件不同，则应分别计算在各平面内失稳时的l，并按其大者来计算，因压杆总是在柔度较大的平面内失稳。3.柔度耳：l综合优地反谣映了级压杆烫的长棵度(l)、楼支承储方式汁(m)与至截面苍几何词性质气(i腐)对裳临陆衔界应耀力的仪影响年。二、娃欧拉唯公式浆的适霞用范叔围欧拉订公式任是根贡据挠屈曲轴笼线微旷分方萌程建润立的刑，而系该方你程仅钉适用排于杆壮内应宿力不津超过赵比例逝极限sp的情磨况，鹅因此略，欧冬拉公倍式的狠适用拦范围签为或二、看欧拉慈公式公的适夏用范睡围能用解欧拉喘公式抱的压词杆柔岂度的爬限界获值。益其值去仅与蠢材料告的弹排性模超量E仁及比烤例极担限sp有关解，故lp之值伴仅随话材料唤而异行。因此，在使用欧拉公式前，须先判断是否满足。三、腿中小铜柔度严杆的惧临界牛应力醒计算1.衔三类料不同脉的压侧杆的吊稳定剥性细长丸杆—发久生弹问性屈远曲中长妈杆—发榴生弹聚塑性革屈曲粗短杆—不浊发生拘屈曲辱，而毫发生辆屈服—强抚度问始题其中戏，2.正中小茧柔度凯杆的元临界五应力红计算扫的经葵验公甜式1）页直线钥型经嗽验公本式①

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