材料力学课件之弯曲应力

第6章弯曲应力6-１概述1、弯曲构件横截面上的（内力）应力内力剪力V剪应力t弯矩M正应力s2、研究方法平面弯曲时横截面s纯弯曲梁(横截面上只有M而无V的情况)平面弯曲时横截面t剪切弯曲(横截面上既有V又有M的情况)6-2弯曲正应力一、纯弯曲与剪力弯曲PPaaABVx+-PPMx+Pa1.纯弯曲(PureBending):横截面上的内力只有弯矩没有剪力时，该杆段的变形称为纯弯曲。2.剪切弯曲杆各横截面上有既剪力、也有弯矩，且弯矩为截面位置x的函数。二、纯弯曲梁横截面上的正应力

（一）变形几何规律：1.梁的纯弯曲实验横向线（mm、nn）变形后仍为直线，但转过一个角度；纵向线（aa、bb）变为曲线，且上部缩短，下部伸长；横向线与纵向线变形后仍然正交。

aabbmmnn中性轴2.两个概念中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。3.推论平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。

单向拉压假定：设各纵向纤维之间互相不挤压，每一根纵向纤维均处于单向拉伸或压缩状态（即纯弯曲时，梁横截面上只有正应力）

4.几何方程：为中性层O1O2的曲率半径，两截面间的夹角为d，考察任一纵向纤维（如aa）的线应变，aa到中性层的距离为y（如图）

变形前：

变形后：

线应变：

梁内任一点的线应变的大小与该点到中性轴的距离成正比。

PPaaABCDxy（二）物理关系：假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单向应力状态。当正应力不超过比例极限时，由胡克定律可得：问题：=？中性轴的位置如何？

（三）静力学关系：yyzdAzx横截面上的微内力组成的空间平行力系，仅能简化为三个内力分量。

，可见，y轴和z轴是截面的形心主惯性轴。即截面的中性轴z的位置完全确定。EIz截面或杆的抗弯刚度。弯曲变形的基本公式（中性层曲率）

三、平面弯曲杆横截面上的正应力1.计算公式2.分布规律横截面上任一点处的正应力大小，与该点至中性轴的距离成正比，即正应力沿截面宽度均匀分布，沿高度呈线性分布。中性轴的一侧为拉应力，另一侧为压应力。3.正应力公式讨论：

1）适用于均匀连续、各向同性材料，在线弹性范围小变形时的等截面直杆。2）在纯弯曲时，横截面在弯曲变形后保持平面，公式为精确解；横力弯曲时，横截面不再保持平面，公式为近似解，当梁的跨高比l/h>5时，误差＜2%。3）若中性轴为截面对称轴，则；若不是对称轴，则，4）如何确定正应力的符号a)均以绝对值代入，根据梁的弯曲变形来确定是拉还是压；b)均带符号代入判断是正为拉应力；是负为压应力。四、最大应力的计算

抗弯截面模量。矩形截面的Wzz圆形截面的Wzz例：6－3弯曲剪应力1、两点假设：

1)剪应力与剪力平行；

2)距中性轴等距离处，剪

应力相等。2、研究方法：分离体平衡。

1)在梁上取微段如图b；

2)在微段上取一块如图c，

平衡ysxyzs1t1tbdxx图a图c一、矩形截面梁V(x)+dV(x)M(x)M(x)+dM(x)V(x)dx图bq(x)3.剪应力公式推导sxyzs1t1tb图c由剪应力互等V——横截面上的剪力；——横截面上需求剪应力处的水平线以下（或以上）部分的面积A*对中性轴的静矩；

Iz——整个横截面对中性轴的惯性矩；

b——需求剪应力处的横截面宽度。

4.奏剪应锐力沿横截尚面高秧度的雅分布t方向述：与钳横截承面上膊剪力帖方向羊相同调；t大小垂：沿编截面四宽度豆均匀掀分布胃，沿高树度h分布怨为抛仪物线怠。在截息面上雁、下牢边缘腰处的市剪应力为很零，改而在恳中性来轴上秀的剪昌应力有值最劝大，矩形拜截面敞梁横氧截面茫上的哄最大秧剪应急力为橡平均眉剪应水力的洋1.潜5倍越。V二、困工字悦形(背槽形耐，T够字型摆)截贵面工字职形截凯面可耳视为讨由翼钥缘和坊腹板孔所组岭成。鸽通过件分析放可知舍，翼芦缘主咸要承湖担弯渡矩的挖作用权，而伸腹板摊则主住要承判受剪哄力的维作用尘。工字枣形腹雹板上书的剪销应力世可以放按照斤矩形恶截面曾的剪域应力凑公式极计算检，即1.甲腹板弟上的妨剪应但力由分仇析可批知，比工字孩形截昂面腹僵板上例的剪挎应力纳接近阀均匀赢分布静，且tma拆x≈tmi燃n铅垂蚂剪应粮力主质要由拌腹板胖承受筐（9扶5~弱97曾%）芝，其近乐似的要计算茎公式突为对轧乐制工若字钢厦截面凳，式清中Iz／S*zm佳ax的值苏可以煎查型购钢表锄。2.肾翼缘宁上的动剪应帝力——翼缘上需求剪应力处的竖直线与翼端之间的部分面积A*对中性轴的静矩；

（1交）竖插向剪欣应力（2可）水越平剪顿应力Ve呈线您性分趣布3.隔剪应侄力流腹板沟上剪医应力挽方向赔与剪刻力方摊向一根致，棵各翼缘准上的超剪应希力与芬之形孩成剪卸流。三.寸圆截览面：由切应力互等定理可知，在截面边缘上各点处切应力

的方向必与圆周相切。假设涛：(1芦)沿盆宽度捷kk呼上各菠点处惭的切主应力字均汇交于挎y轴赛上的技P点阴；(2叼)各肠点处女切应合力沿咬y方腔向的璃分量款沿宽度相萄等。最大剪应力，仍发生在中性轴上的各点处，在中性轴上剪应力的方向都平行于剪力V，且各点处的剪应力均相等。五.边开口唤薄壁影圆环幼截面尿：四.辞薄壁朗圆环当截面悔：假设灵：(1惊)横反截面遗上切败应力息的大拼小沿壁厚找无变格化；(2租)切碍应力葱的方哑向与尽圆周芝相切讽。6-睬4梁的叉正应漠力和缺剪应拘力强枯度条转件•梁的或合理摊截面1、杏危险判面与文危险手点分将析：一般乳截面漂，最雅大正吼应力坛发生闸在弯耀矩绝脸对值唯最大阁的截耗面的孟上下绑边缘蓬上；织最大继剪应屿力发劣生在错剪力权绝对凑值最况大的重截面童的中涝性轴送处。VtsssMt一、车梁的为正应梁力和乖剪应触力强腾度条江件带翼退缘的厌薄壁笋截面知，最矛大正盐应力匙与最协大剪构应力艺的情倦况与粘上述相同隆；还悟有一斜个可峡能危傅险的芹点，钉在V和M均很首大的绍截面颂的腹陪、翼相泻交处微。（越以后陆讲）sMQtts3、助强度仔条件落应用桂：依此徒强度虏准则都可进辽行三投种强收度计槽算：2、叮正应喊力和切剪应蠢力强丽度条伐件：注：代对于孤拉压钟性能畏不同哪的材槐料，大须对深抗拉针和抗中压分眯别建丈立强度换条件翼。Œ校核强度：设计截面尺寸：Ž设计载荷：(4记)各向垃异性符材料短（如超木材劣）的庄抗剪脊能力坐较差揪，要校扣核剪忙应力。4、饱需要嫂校核汽剪应翅力的探几种班特殊决情况赚：细长拍梁强枝度的步控制幸因素絮通常器是弯祝曲正科应力章。满掌足弯浴曲正漠应力屿强度停条件伪的梁集，一橡股都劲能满庄足切赞应力油强度种条件云。只有装在下纸述一映些情遵况下饿，要铸进行据弯曲递切应针力强阔度校摸核：(1鼻)梁纸的跨难度较举短，磁或在鸦支座脑附近蓄作用瞧较大站的载纱荷，盛以致踩梁的弯矩这较小突，而策剪力夕较大泽；(2染)铆赵接或踪蝶焊接鉴的工帐字梁属，如搂腹板管薄而萌截面贡高度鲜颇大忽，以藏致厚度与哪高度拥的比谊值小统于型后钢的症相应辉比值伶，这并时，灭应对惭腹板填进行切闻应力得校核滤；(3废)经迟焊接时、铆顾接或庸胶合盛而成饭的梁页，对崖焊缝厚、铆婚钉或矛胶合谨面等赌，一般浴要进步行剪蚀切计员算。例1.侨矩形众木梁孩的合垒理高堤宽比R北宋厦李诫厅于11另00年著勒«营印造法市式胞»一未书中留指出迫:矩形距木梁胞的合的理高忙宽比暴(h/b=1.干5)英(T.霜Yo窗un座g)于18劳07年著盛«自趣然哲萝学与描机械轻技术饱讲义扮»柏一书折中指需出:矩形篮木梁踏的合什理高额宽比镜为bh二、答梁的萌合理膝截面2.步其他躺材料垃与其介他截雷面形睡状梁肾的合仔理截烟面强度散：正怠应力董：剪应规力：zDzaa（1栋）在案面积严相等膊的情妹况下校，选育择抗闭弯模逝量大活的截督面zD0.8D续（晋1）匠在面备积相源等的盼情况崇下，差选择六抗弯术模量缓大的强截面a12a1z0.8a2a21.6a22a2z工字查形截湾面与剧框形宏截面肆类似治。sGz（2甩）根香据材棍料特倡性选坦择截践面形醋状对于独铸铁敞类抗润拉、脾压能披力不然同的这材料短，最月好使推用T布字形岭类的奋截面毁，并恳使中洽性轴积偏于狭抗变羞形能挤力弱倡的一棒方，刃即：丽若抗往拉能捞力弱臂，而务梁的赚危险梅截面肝处又成上侧仪受拉饼，则饮令中猾性轴窄靠近蹄上端爹。如驼下图滔：3.助采用逆变截碰面梁桌，如下弓图：Px最好啊是等督强度粗梁，陵即若为栗等强磨度矩速形截狭面，丽则高巡寿为同时6-船5捏开鬼口薄磁壁截绵面的核弯曲镜中心一、恶开口裁簿壁婶截面轨梁的钞剪应顷力1.裂分布出规律拿：督剪通应力哈方向将与截睡面中阁心线拥相切亦，且谈沿截则面中酸心线吸形成大“剪革应力怎流”铜，剪械应力睁大小塑沿壁条厚均呢匀分碌布，敞如图惕所示籍。2.仗计算梢公式二、梢开口封薄壁纺截面断的弯处曲中怖心1.热弯曲盗中心侧：嗓剪宜切弯铁曲时漫，梁吨只产异生弯嫂曲变办形，景不发扔生扭转变雪形，熄横向蒸外力掩必须赔通过毛的点疏，称缎为弯粒曲中驱心。2.暴弯曲既中心史的特科征(1野)弯抗曲中饱心实埋质上恳是横赠截面惠内剪速应力核合力节的作鸡用点抄。(2摄)弯煌曲中蜓心必汁在截嫌面的弟对称都轴(诉或反谨对称碑轴)暑上．招若截摘面具程有两个吼对称厚轴(鬼或反州对称售轴＞咐，则镜其交片点即券为弯闪曲中弱心。(3旋)由坐若干决中心颈线交帖于一旧点的香狭长府矩形序组成简的截欧面，返各矩枯形中心竭线的谱交点缎即为竹弯曲秘中心区。(4才)弯爸曲中撒心仅吼与截陵面的通几何辅形状蓄有关洒，而迟与载甲荷大载小和荷材料性骆能无滩关。3.验