建筑力学 第二章

第2章平面汇交力系[内容提要]本章主要介绍了用解析法推出的平面汇交力系平衡条件，以及平衡条件的应用。2.1平面汇交力系的概念和实例2.1.1概念实际工程中，作用在构件或结构上的力系是多种多样的。但是，按照力作用线的分布情况，主要分为两类力系：凡各力的作用线都在同一平面内的力系称为平面力系；凡各力的作用线不在同一平面内的力系，称为空间力系。在平面力系中，各力作用线交于一点的力系，称为平面汇交力系；各力作用线互相平行的力系，称为平面平行力系；各力作用线任意分布的力系，称为平面一般力系。、、2.1.2实际工程中的平面汇交力系问题平面汇交力系是力系中最简单的一种，在工程中有很多实例。例如，起重机起吊重物时(图2-1a))，作用于吊钩C的三根绳索的拉力都在同一平面内，且汇交于—点，就组成了平面汇交力系(图2-1b))。又如三角支架当不计杆的自重时(图2-2a))，作用于铰B上的三个力FN1、FN2、也组成平面汇交力系(图2-2b))。

图2-1图2-2又如图2-3a)所示的屋架，它通常被看作为由一些在其两端用光滑圆柱铰互相连接的直杆组成，而且由于各杆的自重比屋架所承受的各个荷载小很多而可忽略不计，因此每根直杆都在作用于其两端的两个力的作用下处于平衡。当以各个铰结点(或称节点)为研究对象时，与结点相连接的各杆作用于该节点上的力也组成一个平面汇交力系。例如，图2-3b)就是结点C的受力图，它构成了一个平面汇交力系。图2-3研究平面汇交力系，一方面可以解决一些简单的工程实际问题，另一方面也为研究更复杂的力系打下基础。2.2平面汇交力系的合成平面汇交力系的合成问题可以采用几何法和解析法进行研究。其中，平面汇交力系的几何法具行直观、简捷的优点，但其精确度较差，在力学中用得较多的还是解析法。这种方法是以力在坐标轴上的投影的计算为基础。2.2.1合力投影定理我们在第一章已讨论了力在坐标轴上的投影规则和方法。现在我们来讨论汇交力系各力投影与汇交力系合力投影之间的关系。设有一平面汇交力系F1、F2、F3作用在物体的点，如图2-4a)从任一点A作力多边形ABCD，如图2-4b)所示，

则矢量就表示该力系的合力R的大小和方向。取任一轴x如图所示，把各力都投影在x轴上，并令FX1、FX2、FX3和RX分别表示各分力F1、F2、F3和合力R在x轴上的投影，由图2-4b)可见图2-4

而

因此可得

这一关系可推广到任意汇交力的情形，即由此可见，合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。这就是合力投影定理。（2-2）2.2.3用解析法求平面汇交力系的合力当平面汇交力系为已知时，如图2-4所示，我们可选直角坐标系，求出力系中各力在x轴和y轴上的投影，再根据合力投影定理求得合力R在x、y轴上的投影RX、RY，从图2-5中的几何关系．可见合力R的大小和方向可由下式确定：

（2-3）

式中为合力R与x轴所夹的锐角，角在哪个象限由∑FX和∑。

图2-5图2-6例2-2如图2-7所示，已知F1=20kN，F2=40kN，如果三个力F1、F2、F3的合力R沿铅垂向下，试求力F3和R的大小。号来确定，具体FY的正负详见图2-6所示。合力的作用线通过力系的汇交点得

图2-9

解得

又由

得即解得即解取直角坐标系如图所示。因已知合力R沿y轴向下，故RX=0，RY=

-R。由式(2-2)知2.3平面汇交力系平衡条件从上面章节可知，平面汇交力系合成的结果是一个合力。显然物体在平面汇交力系的作用下保持平衡，则该力系的合力应等于零；反之，如果该力系的合力等于零，则物体在该力系的作用下，必然处于平衡。所以，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是平面汇交力系的合力等于零。而根据式（2-3)的第一式可知上式与恒为正数，要使R=0，必须且只须所以平面汇交力系平衡的必要和充分的解析条件是：力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上的投影的代数和都等于零。式(2-4)称为平面汇交力系的平衡方程。应用这两个独立的平衡方程可以求解两个未知量。（2-4）2.4平面汇交力系平衡方程的应用例2-3平面刚架在C点受水平力P作用，如图2-8a)图所示。已知P=30kN，刚架自重不计，求支座A、B的反力。图2-8解取刚架为研究对象，它受到力P、RA和RB的作用。这三力平衡其作用线必汇交于一点，故可画出刚架的受力图如图2-10b)所示，图中RA、RB的指向是假设的。设直角坐标系如图，列平衡方程

解得

得负号表示RA的实际方向与假设的方向相反。再由

由于列一起代入，即将代入，于是得得正号表示RB假设的方向正确。为了形象地表示支座反力的方向，可在反力答数后面加一括号标出反力的实际方向。

时，RA仍按原假设的方向求其投影，故应将上面求得的数值连同负号例2揪-4冤一结锯构受拐水平它P作宪用如局图2断-1肆1a该)所存示。何不计浅各杆阴自重躺，求腐三根系杆A等B、必BC箱、C瓶A所奥受的债力。解昂杆娇AB肉、B洋C、返CA搬两端畅铰接挎，中蚊间不尊受力畏，故腊三根统杆都源是二宽力杆幼。先取车铰链巾C为宫研究纷对象矩，假内定杆笔CA毫、B血C都被受拉松，画准出铰丈C的扑受力抢图如慢图2棕-1部1b冻)所锈示。设直槽角坐嫌标系沾如图案，列洲平衡晶方程图2依-1拆1(a播)由式花(a风)、兼(b尤)解株得FNC的B的结射果为触负值洲，表注示其堂指向搜与假远设的渔相反马，杆猾BC血应是严受压经；FNC市A得正颗号，振表示奶杆C山A受颗拉。再取嚷铰链掠B为著研究浅对象比，假推定杆联BC徐、A率B受花拉，若画出衔铰B李的受军力图搬如图柴2-隔11斯c)哭所示斗。杆壳BC惨是二叠力杆滑，故皆它对映两端别铰链奥的作撑用力燃，应箱当是起大小些相等盯，方词向相貌反，杨用FNB患C表示径，FNB秆C=FNC堵B。设直前角坐乓标系谎如图圾，列行平衡碍方程原假锻设杆锣BC筑受拉辫，得，将龙其代飘入式骆(c拌)，糠于是没得正号现表示瓦杆A福B受游拉。通过竭以上较各例博的分抬析，渠可知颤用解新析法举求解隶平面岩汇交怠力系咽平衡裂问题夫的步错骤一泄般如艇下:1．评选取饭研究屑对象问。2．浸画受胆力图爽约束粉反力将指向灰未定崇者应欧先假终设。3．唯选坐胆标轴落最好甚使某兔一坐君标轴戒与一金个未律知力紧垂直最，以董便简至化计稻算。4．专列平古衡方沿程求燃解未待知量劣列方烈程时像注意结各力跌的投暗影的凯正负底号。稀当求堵出的辩未知亲力为扬负数层时，婚就表浸示该释力的揪实际责指向从与假歇设的蒸指向膜相反陪。(b居)(c藏)小牌结平面毁汇交菌力系禁是最员简单您的力描系，伸也是锋基本害力系括之一羊，它樱解决怖问题遗的方间法在态其他长力系边中仍卷要采放用，桌一定已要掌短握好播。1．摔平面身汇交物力系挣的合森成怪合旧成方攀法有料两种耕，一揪是几畜何法番，二在是解词析法矿。几幻玉何法君直观匀、明炭了，筝但不玩太实微用。冰实际望工程棍中多蚂采用播解析代法，败因此垄应重腿点掌灿握。2．傅合力拉投影固定理博合力签在某榨轴上营的投氧影等厉于力告系中眠各力异在同韵一轴怨上投桶影的礼代数扯和。3．牙平面倘汇交堆力系耍的平麻衡条达件(1纸)平湖衡的宝几何洲条件近是力详多边斥形自暂行封和闭。(2劈燕)平次衡的妹解析森条件俗是力织系中窜各力偿在两棉坐标岔轴上鼻投影竖的代笨数和俱分别瘦等于特零。弦平衡绳方程韵为：这两农个方诞程式果相互描独立即，可骑根据劝计算笛需要健任意葱选择双。选侨择依捡据是舌一个红方程侄解出认一个摔未知乌数，猜尽量暴避免促联立势方程被求解糊。4．警解题县步骤(1蓝)首腐先进乌行受撇力分蠢析，牲根据棉解决毁问题居的需君要确善定研炎究对格象，仿画出折受力陆图；(2猾)画捉出坐凳标系汗，列坡出平紧衡方暑程式荷，在电列平北衡方屑程式搬时要平注意剥力投喇影的双正负胀号。思考计题1.欢分准力与冶投影喉有什配么不朽同?2.迅如捉果平医面汇涌交力抛系的节各力绘在任畅意两仓个互怖不平铸行的职坐标洪轴上纤投影愚的代运数和亚等于愈零，蒙该力塘系是阅否平犬衡?习必题2-去1惹如题站2-帅1图导，某毯桁架血接头糕，由疤四根帽角钢勇焊接珠在连较接扳阶上而较成。芳已知还作用躁在杆猪件A监和C蔑上的苦力为FA＝2旺kN动，FC＝4告kN宾，并腹知作焰用在枪杆B昏和D辰上的肠FB、FD力作拢用的谨方向华，该武力系库汇交央于O晌点。酸求在滚平衡世状态狠下力勤FB、FD的值申。(腹答：剂FB＝2冬.8籍3k桂N,伍FD＝3扇.4液6k悄N)躲。题2隆-1泉图壁题想2-送2图2-珠2运如题听2-舞2图饥所示祖，一屑个固续定在氧墙壁们上的偿圆环途受三去条绳烘的拉励力作所用。F1沿水场平方赖向，F2与水单平线反成4泉00角，F3沿铅卷垂方可向。亿三力六大小绒分别息为：F1＝2字00赛kN冻，F2＝2或50惧kN究，F3＝1嫩50敞kN。求倒这三辞力的颤合力休。(救答：F＝局50疗0k陕N，∠命(F，异F1)＝博38027斜′，虏∠(F，她F3)＝矩51033跑′)题2鞭-4枪图题图膨2-棕32-狡3唉如题龄2-口3图学，一急均质迁球重获W＝熔10桑0k挠N，掘放在名两个似相交裁的光硬滑面思之间芬。斜城面A臭B的己倾角霉为＝4狡50，斜速面B根C的抵倾角睁为2-厅4其如题雁2-皱4图椅，用础两根卷绳子滩AC剥和B婶C悬毙挂一赢个重珠W＝者1k阳N的钉物体幅。绳瓦AC栋长0荡.8睛m，祥绳B到C长港1.身6m杏，A省、B沸两点凉在同纳一水娇平线淋上，键相距至2m两。求茧这两嚼根绳屑子所帽受的瓣拉力愿。(蛙答：FA＝0.沾97悦4k付N，FB＝0贡.6童84镜kN样)2-耕5任梁A涨B的畏支座擦如题啄2-害5图侵所示盆。在秀梁的垃中点访作用集一力F＝擦2k傲N，力拔和梁另的轴印线成疗450角。阿若梁淘的重胖量略闭去不里计，孩试分诱别求或a)的和b荒)两烘种情金形下盟的支云座反稼力。略(答暑：a云)FA＝1琴.5左8监kN，FB＝0.勒71养kNb)FA＝2桐.1株6k宝N，FB＝0爱.8门2k奇N)题2阵-5岔图＝-援600，求婶两斜音面的柔反力FD和FE的大死小。2-缎6章如题钉2-黄6图蛮，压戚路机遮滚子全重W＝20执kN歉，半滋径R＝4慨0c贪m，邻今用流水平包力F尚拉滚登子而乎欲越唤过高脚h＝唤8c系m的堡石坎稳，问榜F力泪应至汤少多盲大?挨又若耀此拉苦力可诸取任孟意方协向，烂问要引使拉磁力为默最小蝴时，婶它与富水平巡寿线的燥夹角膝应为只多大毒?并耽求此絮拉力英的最超小值丘。(渠答：F＝1枪5k抄N，＝尸a