天体运动宇宙速度

人造地球卫星运行问题的几个原则

人造地球卫星的运行问题的分析和求解，需综合运用万有MmCj =ma（衣+对MmCj =ma（衣+对由此结果可以看出，影响卫星运动情况的与卫星有关的参数中仅仅是引力定律、牛顿第二定律等力学规律及方法，分析与求解人造地球卫星运行类问题遵从以下几个原则。轨道球心同面原则轨道球心同面原则，是说人造地球卫星的运行轨道平面必通过地球球心。设想有一人造地球卫星的运行轨道不通过地心，而仅垂直于地轴，如图1所示。则卫星将在地球对其的万有引力F的分量F/乍用下绕地轴做圆周运动；同时在F的分量F的作用下在地球赤道平面上下振动。这样，这个卫星的运行轨道将成1为螺旋线，而不是圆形轨道了，这样的轨道显然是不存在的。各种人造地球卫星的运行轨道，不论是圆还是椭圆，其轨道平面一定通过地球球心，不存在轨道平面不通过地球球心的运行轨道。但轨道平面不一定都要与赤道平面重合，目前常见的有与赤道平面重合的赤道轨道，若轨道上运行的卫星的周期与地球自转周期相同，卫星相对地面静止，这种卫星主要用于通讯；有轨道平面与赤道平面垂直且经过两极的极地轨道，卫星在绕地球圆周运行的同时还沿地球自转方向从西向东转动，其周期等于地球公转周期，所以这种轨道也称太阳同步轨道；还有轨道平面既不与赤道平面重合也不垂直的轨道的倾斜轨道。轨道决定一切原则设地球质量为M、半径为R，一质量为m的人造地球卫星在距地面h高度的轨道上做圆周运动，向心加速度为A、线速度为v、角速度为①、周期为T。由牛顿第二定律和万有引力定律有:，G园『二 j竺，或（衣+由）（&+幻，而（我+龙）、叽解以上几式得:卫星的轨道半径。速度影响轨道原则 在某确定轨道（半径一定）上圆周运动的卫星，由于某种原因的影响，若速度为生了变化，由基本关系式5+幻成+幻可以得出： 护。由此知，轨道半径随卫星运行速度的增大而减小，这一过程中引力对卫星做正功，又使卫星的速度增大；随卫星运行速度的减小而增大，这一过程中引Mm vf2Ct y=m 0+切 *切。近地卫星五最原则 所谓近地卫星，是指在距地面的高度远小于地球半径轨道上运行的卫星，此时R>>h，GMaThSK=d2=§he0。在“2”中得出的几个结果中，令h=0得人造地球卫星的几个极值是： 向心加速度最大：艮（g为地面的重力加速度）向心力最大：电=弘=* 环绕速度最大：幌角速度最大:"HLttL运行周期最小：（g为地面的重力加速度）向心力最大：电=弘=* 环绕速度最大：幌角速度最大:"HLttL运行周期最小：«5024s«84mm同步通讯卫星五定原则 同步通讯卫星的轨道平面与地球的赤道平面重合，卫星相对于地面静止，其周期与地球自转周期相等，即T=24h，将T值代入“2”中各结论表达式可得：饥"，心明藻血，Eg期s，皿**\萨成佰，再加上醐共有五个确定值。加速度相切相同原则人造地球卫星发射时一般经历三个阶段，先将其发射至距地球较近的环绕轨道1上，使卫星环绕地球做圆周运动。在适当的位置，如Q点改变卫星运行的切向速度大小，使其改变轨道绕地球做椭圆轨道2（转移轨道）运行，再在椭圆轨道的远地点P改变卫星运行的切向速度，使其在距地面较远的轨道3（运行轨道）上绕地球做圆周运动，如图2所示。在两轨道的相切处如图2中的Q、P两点，两次离地心距离相等，由万有引力定律及牛顿第二定律可知卫星在两个轨道上运行经过两轨道相切点时的向心加速度相同。速度近大远小原则 行星绕太阳的运动轨迹一般是椭圆，卫星发射时在转移轨道的运动轨迹也是椭圆，太阳（或地球）处在椭圆的一个焦点上，当行星（或卫星）由近日（地）点向远日（地）点运动时，万有引力做负功，动能减小，速度减小，远日（地）点速度最小；当行星（或卫星）由远日（地）点向近日（地）点运动时，万有引力做正功，动能增大，速度增大，近日（地）点速度最大。8.能量定比原则 卫星运行的动能计算:设卫星质量为m、轨道半径为r，由广广及£ 得，卫星的动能为： £广 卫星势能的计算：由库仑定律 广及电势的定义可得点电荷Q电场中的电势为： 广。与此类似，可由万有引力定律广得地球引力场中的“引力势”为： 广。类似电荷在点电荷电场中某点电势能的计算，可得质量为m可得质量为m的卫星在距地心r处的引力势能为：卫星的机械能为：ILL L 1ILL L 1E=Ek+E?=--G——星所需最小能量为： 2 。宇宙速度的正确认识在天体运动和卫星发射中，宇则：&：&：占=1：-2：-1，利用这一比例关系，只要知道任一种能量，就可以算出另两种能量。 9.发射能量最小原则 发射环绕速度为=Wg的近地卫星，所需发射能量最小。在赤道上，沿地球自转方向发射卫星，可以充分利用地球自转速度，减少发射能量。从理论上讲，这样发射卫宙速度是个非常重要的概念。一般教材中都给出了三个宇宙速度的定义和数值：第一宇宙速度（亦称环绕速度）是指物体（卫星）离开地面绕地球做圆周运动所需的最小发射速度，大小为；第二宇宙速度（亦称脱离速度）是物体挣脱地球引力的束缚而成为绕太阳运行的人造行星，或飞到其他行星上去的飞船所具有的最小速度，大小为明；第三宇宙速度（亦称逃逸速度）是物体要进一步挣脱太阳的引力束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间去所必须具有的最小速度，大小为明='&踞肉。本文将对这三个宇宙速度的推导过程及所涉及的参考系等问题进行阐述。由于一般教材中都对第一宇宙速度的推导有详细的解释，所以本文对此略过。第二宇宙速度的推导i.1利用功能关系推导一个航天器在它的燃料烧完后脱离地球的过程中，该系统符合机械能守恒的条件。物体在地面开始运动到脱离地球引力范围（相当于上升到无限远处）的过程中，克服引力做功，动能减少，所以初始动能必须不小于脱离过程中克服引力所做的功。① 但同一物体在不同高度处所受地球引力并不相等，随着物体高度的

增加，地球引力将逐渐减弱。因此，功的数值不是简单地用w=Fs就可以计算的。这里介绍两种方法，一是用元功积分的思想，二是用微分的思想。方法一：根据万有引力定律，如果用G表示万有引力恒量地心的距离，R为地球半径。则物体在离地心r处所受地球引力为，则在物体上升dr的过程中，克dW^G^dr服引力做功为 广② 对上式积分，积分限为从R积到8,元功积分的思想，二是用微分的思想。方法一：根据万有引力定律，如果用G表示万有引力恒量地心的距离，R为地球半径。则物体在离地心r处所受地球引力为，则在物体上升dr的过程中，克dW^G^dr服引力做功为 广② 对上式积分，积分限为从R积到8,所以把 0-把 0-11Nm2/kg2，结合①、③可以得到奸6x1。混kg，『号x10\带入上式即可计算出第二宇宙速度的大小为％=1技林.方法二：如图2所示，设物体m从地球E的引力场中从P处移动到P处。因各处的引力不等，我们可把PP0 n 0n的一段距离分成许多极小的等分Ax0P、P、P、……P和地球中心的距离分别为r、r、r、……r；先求出0 1 2 n 0 1 2 n每一等分中的平均引力，然后求出通过每一等分时物体克服地球引力所做的功，这些功的总和，就是物体从P0移动到Pn克服地球引力所做的功。§=G哮物体在动到Pn克服地球引力所做的功。§=G哮物体在Pi处所受的引力为 今因为P和P相距极近，物体在P.、i+1Pi+1间所受万有引力的平均值可以近似地等于两处引力的比例中项，即:，物体从Pi移动到Pi+1,的过程中克服万有引力所做的功为:Wi的过程中克服万有引力所做的功为:Wi=GS+i- =GmM—-¥+i则物体从P0移动到Pn整个过程中克服万有引力所做的功为:5整个过程中克服万有引力所做的功为:5" 所以使物体从地球表面七次处出发而脱衣，与方法一推导的结果一致。成的系统的重力势能之差，表达式就表示物体在离地心r衣，与方法一推导的结果一致。成的系统的重力势能之差，表达式就表示物体在离地心r处时具有的重力势能。离地球，即到达r^=8处，克服引力做功为应该指出，物体从P处移动到P处克服万有引力所做的功，在数值上就等于物体在P和P两处物体与地球组

0 n 0n分得 ⑥无穷大，速度V永远不会为零。可见欲使物体上抛后去不返，其最小速度（即第二宇宙速）为寸尸3=口2km/so2分得 ⑥无穷大，速度V永远不会为零。可见欲使物体上抛后去不返，其最小速度（即第二宇宙速）为寸尸3=口2km/so2.第三宇宙速度的推导仿照上面推导第二宇宙速度的1.2利用动力学方程推导设物体以初速度％地球表面沿铅垂方向离开地球，地球引力F（为位置坐标的函数）牛g亨，初始条件为，，=强=嶷=%，列运动微分方程心t=亨即⑤对上式做分离变量的变换，并代入初始条件，进行积v2>2GM⑥式表明了物体速度随位置（X）的变化规律。如果° 衣，则不论X为多大，甚至达任一方法，注意到虬=眼1沪kg，日地距离广0Hm，并且物体是从地球表面而非太阳表面开始向外运v=S=42.2动的，可得到物体脱离太阳系引力的最小速度为 V广 km/so 怎么不是16.7km/s?问题在于在研究第二宇宙速度时物体是从地面抛出的，速度是相对于地面而言的，即以地球为惯性系。而在研究第三宇宙速度时，是以太阳为惯性系，所以上面得到的是相对于太阳的。而地球本身在绕太阳做公转，其所以肉=公转速度叫=仲^km/s，如果物体顺着地球运动的轨道切向飞出的话，便可借助于地球的公转线速度，因而只需商^=42.2—29.8=12.4km/s就行了。但是，物体要飞出太阳系，要克服太阳的引力，首先要挣脱地球引力的束缚才行，故物体在地面上应该具有的动能为所以肉=16.7km/s。 至此我们分析了宇宙速度的推导过程，并明确了宇宙速度均是相对于地球而言的。因此，诸如“地球公转速度29.8km/s比16.7km/s大，为什么地球不离开太阳系？”这样的问题便迎刃而解了。需要指出的是，在摆脱地球束缚的过程中，在地球引力的作用下物体实际上并不是直线飞离地球，而是按抛物线飞行，脱离地球引力后在太阳引力作用下绕太阳运行。摆脱太阳引力的束缚飞出太阳系时将按双曲线轨迹（相对于地球）飞离地球，而相对太阳来说仍是沿抛物线飞离太阳。第一宇宙速度的两种求法对于地球）飞离地球，而相对太阳来说仍是沿抛物线飞离太阳。根据牛顿抛物运动原理图1知，从高山顶A以不同速度V水平抛出的物体，由于受到地球对它的引力使其飞行路线发生弯曲而使物体落回到地面上，当水平抛出物体的速度越大时，物体在地面上的落点离开山脚也越远；如果没有空气阻力，当物体的水平抛出速度足够大时，物体就永远不会落到地面上而将围绕地球球旋转，成为一颗绕地球运动的人造地球卫星；我们将能使抛出的物体达到上述状态（在地球表面附近绕地球作匀速圆周运）的抛出速度V（发射速度）称作人造卫星的第一宇宙速度。人造卫星围绕地球转动时的速度人造卫星围绕地球转动时的速度究竟有多大才能达到上述状态呢？即人造卫星的第一宇宙速度V大小为多少呢？方法一：数学方法牛顿抛物运动原理图反映出从高山上水平抛出的物体不可能作直线运动。我们要想使水平抛出的物体不再落回到地面，必使物体运动轨迹的弯曲程度与地球表面的弯曲程度相同或更小，即至少使物体的绕地球旋转的轨迹与地球表面相似且二者为同心圆，这样物体就不会落回地面了。如图2示为地球的部分断面，现在把物体从山顶上A点以水平速度V抛射出去，如果没有地球的引力作用则1秒钟后物体将到达B点，但由于地球的引力物体在1秒时实际到达位置C；地球为均匀球体设其表面重力加速度为g，故由自由落体运动可知8C=— =—g四4.9幽2 2 ；倘若物体到达点C时距地面的高度与点A处距地面的高度相同，则物体就会沿着与地球同心的圆作圆周运动而不再落回地面上；图2中幽=拔=〃，AD=6370000米，再由勾股定理有血+泌=成'即^+^700002=（6370000+4.9）2,解之得在山顶水平抛出物体的速度为,=7.溉诚8。由此可见：要将物体从山顶A水平抛出后不再落回地球表面，则点A的抛出速度必满足八浙"，这就是人造地球卫星的第一宇宙速度。 1.当人造卫星的速度v=] 时，卫星必绕地球作轨道半径等于地球半径的匀速圆周运动，轨迹如图3中的“4”示。2.当人造卫星的速度时，物体将以地球为焦点作椭圆运动，且物体速度V越大椭圆将越扁。图3示轨迹“1”。3.当人造卫星的速度v=H.2to/s时物体恰作以地球为焦点的抛物线运动，轨迹图3中“2”。4.当人造卫星的速度"Vs时物体将作双曲线运动，轨迹图3中“3”示。注意：当物体作抛物线运动、双曲线运动时物体将永远不可能再飞回到地球。（ 1质+护二R+-a对其它任何星球均可用此方法得出其第一宇宙速度的表达式：由 '2J解之得星球的第一宇宙速度为]4，其中R为星球的半径、a为星球表面附近的重力加速度。方法二：物理方法设地球和卫星的质量分别为M、m，卫星到地心的距离为r，卫星运动的速度为v。由于卫星运动所需的向心力是由_Mmv2\GMI、 =m V=J 二者间万有引力提供的，故可得： 广广有 ；对于靠近地球表面运行的人造卫星，可以认为此_IGM时的轨道半径r近似等于地球的半径日，故V成；将地球质量凶=对*10%顶=&3"讨幽代入此

式可得人造卫星在地面附近绕地球作匀速圆周运动所必须具有的速度即第一宇宙速度为v= 。（”=修="切3'占也可以得出此结果）。 上述从物理与数学的分析方法来看，无论用哪种方法首先必须准确建立起物理模型与数学模型，然后才能选择合适的处理途径进行解答；因此建立模型是同学们在物理学习中必须时刻培养的基本能力。开普勒定律的推导及应用随着人类航天技术的飞速发展和我国嫦娥绕月卫星的发射成功，以天体运动为载体的问题将成为今后考查热点。在现行的高中物理教材中主要引用了开普勒三大定律来描述了天体的运动的规律，这三条定律的主要内容如下：（1）所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上。（2）对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。（3）所有行星乌=^的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值『 。至于行星绕太阳的轨道为何是椭圆以及T 中的常量C与那些量相关并无说明。为了更深入的理解天体和人造卫星的运行规律，本文将以椭圆的性质为基础从理论上推导开普勒定律。一、开普勒第一定律 1.地球运行的特点 （1）由于地球始终绕太阳运动，则太阳对地球的万有引力的力矩始终为零，所以地球在运动过程中角动量守恒。（2）若把太阳与地球当作一个系统，由于万有引力为保守力且无外力作用在这个系统上，所以系统机械能守恒。地球运行轨迹分析 地球在有心力场中作平面运动且万有引力的作用线始终通过太阳，所以建立如图所示的极坐标系，则P点坐标为（r，0）。0 参考轴若太阳质量为M，地球质量为m，极径为r时地球运行的运行速度为v。当地球的运行速度与极径r垂直时，则地球运行过程中的角动量L=e （1）若取无穷远处为引力势能的零参考点，则引力势能，地球在运行过程中的机械能若取无穷远处为引力势能的零参考点，则引力势能，地球在运行过程中的机械能(3)（2） （1）式代入（2）式得:(3)1GMmML皿.由式（3）得：广匕Wm维 （4） 由式（4）可知，当地球的运行速度与极径r垂直时，地球运行的极径r有两解，由于初始假设地球的运行速度与极径垂直，所以r为地球处在近日点和远日点距太阳的距离。考虑到地球的这两个位置在极坐标系中分别相当于g$=T和8明二+1，可把式（4）中的土号改写为更普遍的形式极坐标方程。1GMmML沥e(5)则地球的运行轨迹方程为广(5)（5）式与圆锥曲线的极坐标方程吻合，其中（p为决定圆锥曲线的开口），（5）式与圆锥曲线的极坐标方程吻合，其中（p为决定圆锥曲线的开口），罗M将（e为偏心率，决定运行轨迹的形状），所以地球的运行轨迹为圆锥曲线。由于地球绕太阳运动时E<0,则圆锥曲线的偏心率3运动时E<0,则圆锥曲线的偏心率3.人造星体的变轨所以地球绕太阳运行的轨迹为椭圆。由于运载火箭发射能力的局限，人造星体往往不能直接由火箭送入最终运行的空间轨道，若要使人造星体到达预定的轨道，要在地面跟踪测控网的跟踪测控下，选择合适时机向卫星上的发动机发出点火指令使人造星体的速度增加（机械能增加），进而达到改变卫星运行轨道E_G2M2m3的目的。如图所示最初人造星体直接由火箭送入近地轨道1，此时 2尸，偏心率e=0，人造星体运行的轨迹为圆；当到达A点时，人造星体发动机点火，此时 2尸 <e<0，偏心率0<e<i，运行的轨迹为椭圆轨E_时，偏心率e=0，人造星体将在圆轨道3上道2；当到达B时，偏心率e=0，人造星体将在圆轨道3上运行；当到达B点时人造星发动机再次点火，人造星体将在开口更大的椭圆轨道4上运动，人造星体将离地球越

来越远，当地球对它的引力小于其它星体对它的引力时，人造星体将脱离地球的束缚奔向其它星体（如嫦娥一号

卫星）。二、开普勒第二定律 行星绕太阳的轨道为椭圆，若在时刻t行星位于A点，经dt时间后行星位于点B，dS=-r2d&（1）在此时间内行星的极径r转过的角度为dO,则AOB所围的面积 2（1）如竺里齐（1）式除以dt如竺里齐（1）式除以dt有血2魂2(2) 由于角动量L=g=g1（3）航1 9 £——= mr苗= （3）式代入（2）式得成M瑚竺由于L是恒量，所以单位时间内极径所扫过的面积肥也是恒量。所以地球在近日点运行的快，在远地点运

行的慢。如图人造星体从轨道1变化到轨道3的过程中，若点火前后A、B两点的速度分别为匕七七七，则点火

前后速度V<V,V<V；在椭圆轨道3上A、B两点分别为近地点和远地点，则速度V>V；由于人造星体在轨道1。1 2 3 4 2 3轨道3上做匀速圆周运动，以V>V；故V>V>V>V。1 4 2 14 3三、开普勒第三定律 行星绕太阳运动椭圆轨道的面积，根据椭圆的性质则椭圆的面积S=旭&（a为长竺—土辄b为短轴）由于单位时间内极径所扫过的面积出一知下隹dtTub2m7Etb2m竺—土辄b为短轴）由于单位时间内极径所扫过的面积出一知下隹dtTub2m7Etb2m（1）根据椭圆的性质和开普勒第一定律，半长轴则周期（2）(2)式得£'=&&标(1-/)（2）式代入（1）式得（3）（2）式代入（1）式得（3）（已知地球半径为R0）A（已知地球半径为R0）A点到B点所需的时间。T2_AtP时间与轨道之间的关系满足/国必-（衣+衣口）3C，故有根据椭圆的性质，椭圆的半短轴h= ，则*=妒（1-『）（4）Z2_47?_式（4）代入（3）式得痍阪C，由此式可知绕同一中心天体运行的人造星体轨道半长轴的三次方跟它们的公转周期的二次方的比值由中心天体的质量所决定。例飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T，如图所示如果飞船要返回地面，可在轨道上的某点A将速度降低到适当的数值，从而使飞船沿着地心为焦点的椭圆轨道运行，椭圆与地球表面在B点相切，求飞船由分析：无论飞船是沿圆轨道运行还是沿椭圆轨道运行，飞船都是绕地球运动，所以运行孕&如亨）"解得52'I我 则飞船由A点到B点所需的时间为 Eg*试天体运动中的几个“另类”问题天体运动部分的绝大多数问题，解决的原理及方法比较单一，处理的基本思路是：将天体的运动近似看成匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力列方程，向心加速度按涉及v22 5' 《罕Ct——=man=m—= r=m——r=刑（2陌）r的运动学量选择相应的展开形式。"广 ''） 如有必要，可结合黄金代换式眼=忒简化运算过程。不过，还有几类问题仅依靠基本思路和方法，会让人感觉力不从心，甚至就算找出了结果但仍心存疑惑，不得要领。这就要求我们必须从根本上理解它们的本质，把握解决的关键，不仅要知其然，更要知其所以然。

、变轨问题例：某人造卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变。每次测量中卫星的运动可近似看作圆周运动，某次测量卫星的轨道半径为‘1,后来变为〃"，以”1、为表示卫星在这两个轨道上的线速度大小，1、表示卫星在这两个轨道上绕地球运动的周期，则（)A.，，R门f 道上的线速度大小，1、表示卫星在这两个轨道上绕地球运动的周期，则（)A.，，R门f L<t2. ， ，CFl5山<V27>方

. ， ，DFl5V1〈为LE. ， ，分析：空气阻力作用下，卫星的运行速度首先减小，速度减小后的卫星不能继续沿原轨道运动，由于Mm vl2F供=>吗=*一广 广而要作近（向）心运动，直到向心力再次供需平衡，即卫星又做稳定的圆周运动。如图，近（向）心运动过程中万有引力方向与卫星运动方向不垂直，会让卫星加速，速度增大（从能量角度看，又由T又由T可知号解：应选C选项。说明：本题如果只注意到空气阻力使卫星速度减小的过程，很容易错选B选项，因此，分析问题一定要全面，切忌盲目下结论。 卫星从椭圆轨道变到圆轨道或从圆轨道变到椭圆轨道是卫星技术的一个重要方面，卫星定轨和返回都要用到这个技术。F>m—以卫星从椭圆远点变到圆轨道为例加以分析：如图，在轨道远点，万有引力 广，要使卫星改做圆周F=m— m—=F运动，必须满足广和F±v，而F±v在远点明显成立，所以只需增大速度，让速度增大到广成立即可，这个任务由卫星自带的推进器完成。“神舟”飞船就是通过这种技术变轨的，地球同步卫星也是通过这种技术定点于同步轨道上的。二、双星问题例：在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星。它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动。如果双星间距为£，质量分别为财1和财2，试计算：（1）双星的轨道半径；（2）双星的运行周期；（3）双星的线速度。分析：双星系统中，两颗星球绕同一点做匀速圆周运动，且两者始终与圆心共线，相同时间内转过相同的角度，即角速度相等，则周期也相等。但两者做匀速圆周运动的半径不相等。解：设行星转动的角速度为做，周期为『（1）如图，对星球财L由向心力公式可得:同理对星球财2有:

力公式可得:同理对星球财2有:所以（3）因为^二财，（即轨道半径与质量成反比） 又因为两式相除得:（2）因为所以所以说明：处理双星问题必须注意两点（1）两颗星球运行的角速度、周期相等；（2）轨道半径不等于引力距离（这一点务必理解）。弄清每个表达式中各字母的含义，在示意图中相应位置标出相关量，可以最大限度减少错误。所以（3）因为^二财，（即轨道半径与质量成反比） 又因为两式相除得:（2）因为所以所以说明：处理双星问题必须注意两点（1）两颗星三、追及问题例：两颗卫星在同一轨道平面内绕地球做匀速圆周运动，地球半径为长，&卫星离地面的高度等于正，&卫星离地面高度为衣，^0：（1）&、'两卫星运行周期之比孔:乌是多少？（2）若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，则“至少经过多少个周期与'相距最远?分析：两卫星周期之比可按基本思路处理;可借用直线运动部分追及和相遇问题的处理思想，只不过，关键一步应该变换成“利用角位移关系列方程”。解：（1）对做匀速圆周运动的卫星使用向心力公式可得:所以*项二仙+时：仙+3砂二M很所以（2）由 艾可知：％*，即白转动得更快。设经过时间'两卫星相距最远，则由图可得:（打=1、2、3部=——而服勰，T所以分析：两卫星周期之比可按基本思路处理;可借用直线运动部分追及和相遇问题的处理思想，只不过，关键一步应该变换成“利用角位移关系列方程”。解：（1）对做匀速圆周运动的卫星使用向心力公式可得:所以*项二仙+时：仙+3砂二M很所以（2）由 艾可知：％*，即白转动得更快。设经过时间'两卫星相距最远，则由图可得:（打=1、2、3部=——而服勰，T所以，得其中理=1时对应的时间最短。说明：圆周运动中的追及和相遇问题也应“利用（角）位移关系列方程”。当然，如果能直接将角位移关系转化成转动圈数关系，运算过程更简洁，但不如利用角位移关系容易理解，而且可以和直线运动中同类问题的解法统一起来，记忆比较方便。常见情况下的角位移关系如下，请自行结合运动过程示意图理解。设& ，贝0：；盟嚣了露蠢｝即初、末位置关系相反T&M⑶-肋，其中（心）

若黑警T：器譬［即初、末位置关系相同**=知2苦其中（%6蹄,柏距取匹T帕距取匹J应=一g四、超失重问题 例：某物体在地面上受到的重力为16°川，将它放置在卫星中，在卫星以加速度 2随火箭加速上升的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互压力为9°^时，求此时卫星距地球表面有多远？（地球半径成=8.4x10’左刑，g取1。幽，b）分析：物体具有竖直向上的加速度，处于超重状态，物体对支持物的压力大于自身实际重力；而由于高空重力加速度小于地面重力加速度，同一物体在高空的实际重力又小于在地面的实际重力。解：如图，设此时火箭离地球表面的高度为攻，火箭上物体对支持物的压力为％，物体受到的重力为吨根据超、失重观点有咨旬Sk=可得瑶-mam90-16x-x10=J=腭（酬后）„Mm幽g=G度_Mm而由L 、『可矢口 ：所以h=-R-R=3R=3x6AxW3=1.92xlO4（MV质 说明：航天器在发射过程中有一个向上加速运动阶段，在返回地球时有一个向下减速阶段，这两个过程中航天器及内部的物体都处于超重状态；航天器进入轨道作匀速圆周运动时，由于万有引力（重力）全部提供向心力，此时航天器及内部的所有物体都处于完全失重状态。既掌握基本问题的处理方法，又熟悉“另类”问题的分析要点，这样在面对天体运动问题时才能应付自如。五、变式练习 1.开普勒三定律也适用于神舟七号飞船的变轨运动。飞船与火箭分离后进入预定轨道，飞船在近地点（可认为近地面）开动发动机加速，之后，飞船速度增大并转移到与地球表面相切的椭圆轨道，飞船在远地点再次点火加速，飞船沿半径为广的圆轨道绕地运动。设地球半径为五，地球表面的重力加速度为g，若不计空气阻力，试求神舟七号从近地点到远地点的时间（变轨时间）。两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。

已知地球如图所示，元是地球的同步卫星。另一卫星的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为放半径为我，地球自转角速度为吒，地球表面的重力加速度为昌，。为地球中心。（1）求卫星日的运行周期；（2）若卫星绕行方向与地球自转方向相同，某时刻』、月两卫星相距最近（。、月、应在同一直线上），则至少经过多长时间，他们再一次相距最近？已知地球北京时间9月27日17时，航天员翟志刚在完成一系列空间科学实验，并按预定方案进行太空行走后，安全返回神舟七号轨道舱，这标志着我国航天员首次空间出舱活动取得成功。若这时神舟七号在离地面高为由的轨道上做圆周运动，已知地球半径为成，地球表面处的重力加速度为&。航天员站在飞船时，求：（1）航天员对舱底的压力，简要说明理由。（2）航天员运动的加速度大小。为了迎接太空时代的到来，美国国会通过一项计划：在2050年前建造成太空升降机，就是把长绳的一端搁置在地球的卫星上，另一端系住长降机。放开绳，升降机能到达地球上；人坐在升降机里，在卫星上通过电动机把升降机拉到卫星上。已知地球表面的重力加速g=I0^/S\地球半径为衣。求：（1）某人在地球表面用体重计称得重河可，站在升降机中，当升降机以加速度“（g为地球表面处的重力加速度）竖直上升时，在某处此人再一次用同一体重计称得视重为S5W，忽略地球自转的影响，求升降机此时距地面的高度； （2）如果把绳的一端搁置在同步卫星上，地球自转的周期为T求绳的长度至少为多长。变式练习答案:忒成+广）R+r3.(1)5祭(2)1.4.（1）航天员对神舟七号的压力为零。因为地球对航天员的万有引力恰好提供了航天员随飞船绕地球做匀如果把绳的一端搁置在同步卫星上，地球自转的周期为T求绳的长度至少为多长。变式练习答案:忒成+广）R+r3.(1)5祭(2)1.4.（1）航天员对神舟七号的压力为零。因为地球对航天员的万有引力恰好提供了航天员随飞船绕地球做匀住= g速圆周运动所需的向心力，航天员处于完全失重状态；（2） **沁5.（1）龙二衣；（2）天体运动中的追及相遇问题地面上的物体常常出现追及相遇问题，关键是找出它们的位移、速度和时间等关系，运动路线应该在同一轨道上。天体运动中也有追及相遇问题，它与地面上的追及相遇问题在思维有上相似之处，即也是找出一些物理量的关系，但它也不同之处，有其自身特点。根据万有Mmv2[GMG―厂=m—=>v=1 引力提供向心力，即'广"广，所以当天体速度增加或减少时，对应的圆周轨道会发生相应的变化，所以天体不可能能在同一轨道上追及或相遇。分析天体运动的追及相遇重点是角度、角速度和时间等关系的判断。1.追及问题例1如图1所示，有A、B两颗行星绕同一颗恒星M做圆周运动，旋转方向相同，A行星的周期为T1，B行星的周期为T2，在某一时刻两行星相距最近，则①经过多长时间，两行星再次相距最近？②经过多长时间'，两行星第一次相距最远？

分析与解答：A、B两颗行星做匀速圆周运动，由万有Mm 4^rCj—厂=m―r二>因此T1<T2。可见当A运动完一周时，B因此T1<T2。可见当A运动完一周时，B还没有达到一周，但是要它们的相距最近，只有A、B行星和恒星M的连线再次在一条直线上，且A、B在同侧，从角度看，在相同时间内，A比B多转了2n；如果A、B在异侧，则它们相距最远，从角度看，在相同时间内，A比B多转了口。 11— ty— t->= 所以再次相距最近的时间t1，由勺七 "1；第一次相距最远的时间匕，由——h-——％=打二>&=————1 2 i'。如果在问题中把“再次”或“第一次”这样的词去掉，那么结果如何？2.相遇问题 例2设地球质量为M，绕太阳做匀速圆周运动，有一质量为m的飞船由静止开始从P点沿PD方向做加速度为a的匀加速直线运动，1年后在D点飞船掠过地球上空，再过3个月又在Q处掠过地球上空，如图2所示(图中“S”表示太阳)。根据以上条件，求地球与太阳之间的万有引力大小。 分析与解答：飞船开始与地球相当于在D点相遇，经过3个月后，它们又在Q点相遇，因此在这段时间内，地球与太阳的连线转过^=—x360°=90°的角度12 。设地球的公转周期为T，飞船由静止开始做加速度为a的匀加速直线运动，则DQ=PQ-PD=-a(-T)2--aT2=—aT2 A=—■24 2 32地球的公转半径为2 64所以地球与太阳之间的万有引力大小为 T 16例3阅读下列信息，并结合该信息解题： (1)开普勒从1609年〜1619年发表了著名的开普勒行星运动三定律，其中第一定律为：所有的行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳在这个椭圆的一个焦点上。第三定律：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等。实践证明，开普勒三定律也适用于其他中心天体的卫星运动。(2)从地球表面向火星发射火星探测器，设地球和火星都在同一平面上绕太阳做圆周运动，火星轨道半径R为地球轨道半径R的1.500倍，简单而又比较节省能量的发射过程可分为两步进行：第一步，在地球表面用火箭对探测器进行加速，使之获得足够动能，从而脱离地球引力作用成为一个沿地球轨道运动的人造卫星；第二步

是在适当时刻点燃与探测器连在一起的火箭发动机，在短时间内对探测器沿原方向加速，使其速度数值增加到适当值，从而使得探测器沿着一个与地球轨道及火星轨道分别在长轴两端相切的半个椭圆轨道正好射到火星上。当探测器脱离地球并沿地球公转轨道稳定运行后，在某年3月1日零时测得探测器与火星之间的角距离为60°，如图3所示，问应在何年何月何日点燃探测器上的火箭发动机方能使探测器恰好落在火星表面？（时间计算仅需精确到日），已知地球半径为:乩=6.4x1"7(1.确到日），已知地球半径为:乩=6.4x1"7(1.5)3=1.840 =1.400分析与解答：为使探测器落到火星上，必须选择适当时机点燃探测器上的发动机，使探测器沿椭圆轨道到达火星轨道的相切点，同时，火星也恰好运行到该点与探测器相遇，为此必须首先确定点燃时刻两者的相对位置。如图4所示。 因探测器在地球公转轨道运行周期T与地球公转周期T相等，即T=T=365天 探测器在点火前绕太阳转动角速度d e de探测器沿椭圆轨道的半长轴退+（皿-"l双由开普勒第三定律得探测器在椭圆轨道上运行周期驾 颂=51°天因此探测器从点火到达火星所需时火星公转周期探测器沿椭圆轨道的半长轴退+（皿-"l双由开普勒第三定律得探测器在椭圆轨道上运行