2023年中考数学模型训练对角互补模型

对角互补模型资料编号:202305061640模型介绍对角互补模型特指在四边形中,存在一对对角互补的模型,常见的有对角互补模型、对角互补模型和对角互补模型三种.对角互补模型分为对角互补全等模型和对角互补相似模型两种.对角互补全等模型这种模型常添加的辅助线是过顶点做双垂线,构造两个全等三角形.（1）对角互补全等模型如图1所示,已知,OC平分,有下面的结论:=1\*GB3①;=2\*GB3②;=3\*GB3③.（2）对角互补全等模型如图2所示,已知,OC平分,有下面的结论:=1\*GB3①;=2\*GB3②;=3\*GB3③.（3）对角互补全等模型如图3所示,已知,OC平分,有下面的结论:=1\*GB3①;=2\*GB3②;对于对角互补全等模型,常添加如下的辅助线:对于对角互补全等模型,常添加如下的辅助线:对于对角互补全等模型,常添加如下的辅助线:对角互补相似模型常见的是对角互补相似模型.如图10所示,已知,则,或者.图11是常添加的辅助线.结论:如图12,在Rt△ABC中,,点O是AB的中点,若,则.图13是证明该结论时添加的辅助线.模型证明及模型举例对模型的证明以例题的形式展开.例1.如图14,已知,OC平分,证明下面的结论:=1\*GB3①;=2\*GB3②;=3\*GB3③.证明:作于点M,于点N.∴∵OC平分,,∴在四边形ODCE中∵∴∵∴在△CDN和△CEM中∵∴△CDN≌△CEM（AAS）∴,结论=1\*GB3①得证;∵∴四边形ONCM是矩形∵∴四边形ONCM是正方形∴∵△CDN≌△CEM∴∵∴在Rt△COM中∵∴∴,结论=2\*GB3②得证;∵△CDN≌△CEM∴点评（1）在证明△CDN≌△CEM时,如图16所示,也可以证明,证明如下:∵∴四边形ONCM是矩形∴∴∵∴;（2）过点C作交OB于点F,如图17所示,也可以证明三个结论.∵∴∵∴∵∴∵OC平分∴∴∴在△CDO和△CEF中∵∴△CDO≌△CEF（AAS）∴,结论=1\*GB3①得证;∵△CDO≌△CEF∴∴在Rt△COF中∵∴∴,结论=2\*GB3②得证;∵△CDO≌△CEF∴∴;（3）如图18所示,对于对角互补四边形,则有:.即:对角互补四边形的外角,等于相邻内角的对角.该结论常用于证明两角相等,为三角形全等或相似提供条件.例2.如图19,已知,OC平分,证明下面的结论:=1\*GB3①;=2\*GB3②;=3\*GB3③.证明:作于点M,于点N.∴∵∴∴∵∴∵OC平分,,∴在△CEM和△CDN中∵∴△CEM≌△CDN（AAS）∴,结论=1\*GB3①得证;∵△CEM≌△CDN∴∴在Rt△COM和Rt△CON中∵∴Rt△COM≌Rt△CON（HL）∴∴在Rt△COM中∵∴∴,结论=2\*GB3②得证;∵△CEM≌△CDN,Rt△COM≌Rt△CON∴在Rt△COM中∵∴∴,结论=3\*GB3③得证.点评也可以这样添加辅助线:作,交OB边于点F△COF是等边三角形.例3.如图21,已知.求证:.证明:分别作.∴∵∴四边形ONCM是矩形∴,∵∴∴△CEM∽△CDN∴在Rt△COM中∵∴∴.例4.如图22,在Rt△ABC中,,点O是AB的中点,.求证:.证明:分别作,连结OC.∴∵∴四边形OGCH是矩形∴,∵∴∴△OGE∽△OHF∴在Rt△ABC中∵点O是AB的中点∴∴∴∴.例5.如图24,矩形ABCD中,点P为对角线AC上一个动点,连结PD,过点P作,交直线AB于点E,.（1）线段PD与PE的数量关系为_________;（2）连结DE,若,求DE的长.解:（1）;提示:在Rt△ABC中∵∴∵∴A、D、P、E四点共圆∴在Rt△PDE中∵∴;（2）由（1）可知:Rt△PDE中∵∴.点评第（1）问也可以这样求解:如图25所示,分别作则四边形AGPH为矩形∴易证:△PDG∽△PEH∴在Rt△ACD中∵∴∴.上面通过点P作双垂线,构造出了对角互补相似模型.例6.如图26,将三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合,三角板的一边交CD于点F,另一边交CB的延长线于点G.（1）观察猜想:线段EF与线段EG的数量关系是__________;（2）探究证明:如图27,移动三角板,使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上,其他条件不变,（1）中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;（3）拓展延伸:如图28,将（2）中的正方形改为矩形,且使三角板的一边经过点B,其他条件不变,若,求的值.解:（1）;（2）成立.理由如下:作于点M,于点N,则,四边形CMEN是矩形∴∵四边形ABCD是正方形∴平分∵,∴∵∴在△EMG和△ENF中∵∴△EMG≌△ENF（ASA）∴;（3）作于点M,于点N,则,四边形CMEN是矩形∴,∵∴∴△EMG∽△ENF∴在Rt△ACD中∵∴.例7.【阅读】通过构造恰当的图形,可以对线段长度大小进行比较,直观地得到线段之间的数量关系,这是“数形结合”思想的典型应用.【理解】（1）如图31,,AC平分,.求证:.【拓展】（2）如图32,其他条件不变,将图31中的绕点C逆时针旋转,CD交MA的延长线于点D,CB交射线AN于点B,写出线段AD、AB、AC之间的数量关系,并就图32的情形说明理由.【应用】（3）如图33,△ABC为等边三角形,,P为BC边的中点,,将绕点P旋转使射线PM交直线AC于点M,射线PN交直线AB于点N,当时,请直接写出AN的长.（1）证明:∵AC平分∴∵∴∴∴;（2）解:理由如下:作∴由（1）可知:∴∴∵AC平分,∴在△DCE和△BCF中∵∴△DCE≌△BCF（ASA）∴∵∴.方法二:在AN上截取,连结CE,如图35所示.∵,∴△ACE是等边三角形∴∴∴∵∴在△ACD和△ECB中∵∴△ACD≌△ECB（ASA）∴∵∴.（3）14或2.提示:分为两种情况:=1\*GB3①当点M在AB下方时,如图36所示.作∴∵△ABC为等边三角形,P为BC边的中点∴,AP平分∵AP平分,∴∵∴在△PEM和△PFN中∵∴△PEM≌△PFN（ASA）∴在Rt△PCE中,∵∴∴,同理求得∴∴;=2\*GB3②当点M在AB上方时,如图37所示.同=1\*GB3①可证:△PEM≌△PFN求得∴综上所述,线段AN的长为14或2.模型应用1.如图38所示,在Rt△ABC中,,,在Rt△MPN中,,点P在AC上,PM交AB于点E,PN交BC于点F,当时,AP的长为【】（A）4（B）6（C）（D）2.如图39所示,在正方形ABCD中,点E为AB上一点,点F为对角线BD上一点,,