结构力学讲义五

第六章结构位移计算

§6－1概述

1、变形和位移变形——结构（或其一部分）形状的改变位移——结构各处位置的移动——杆件截面位置的改变

线位移——移动△A——△Ax,△Ay

角位移——转动（转角）φA

相对位移——相对线位移△CD＝△CH+△DH 相对角位移φAB＝φA+φB2、原因（1）荷载——内力、变形——位移（2）非荷载因素——无内力——位移 支座移动、制造误差——刚性位移 温度变化、材料收缩——变形yx习题6－18（MSSolver：ti06-18）3、目的（1）校核结构刚度 ——刚度小，变形过大，即使不破坏也不能正常使用 位移最大值≤允许值 桥梁最大挠度：钢板梁≤1/700；刚桁梁≤1/900 楼板主梁fmax≤1/400 吊车梁fmax≤1/600 高层顶部位移限制，否则不宜居住（2）结构施工——计算位移：如吊装 （尺寸偏差过大，吊机易溜车，安装不能按设计就位）（3）分析超静定结构的基础 ——计算位移 ——建立变形条件（4）动力、稳定计算 ——位移计算4、方法

虚功原理为基础 ——计算位移 ——静定、超静定§6－2变形体系的虚功原理虚位移原理（虚功原理）——理论力学 具有理想约束质点系 在某一位置处于平衡的必要和充分条件是， 对于任何虚位移， 作用于质点系的主动力所作的虚功总和为零。虚位移——为约束条件所允许的任意微小位移理想约束——其约束反力在虚位移上所做的功恒等于零 如：光滑铰接、刚性链杆

刚体：任意两点距离不变——具有理想约束的质点系FPFXabΔPΔXFXΔX

－FPΔP＝0刚体系处于平衡——必要和充分条件是， 对于任何虚位移，所有外力所作虚功总和等于零【例】杠杆－力平衡：虚位移－虚功变形体系处于平衡的必要充分条件是，对于任何虚位移，

外力作虚功总和等于各微段内力在其变形所做虚功总和 即，外力虚功＝变形虚功位移及变形状态两个彼此无关的状态：（图6-4a）力状态（图6-4b）位移－变形状态a．微段ds外力q→内力M，FS，FN（微段的外力）b．微段dsABCD→A'B'C'D（1）按外力虚功与内力虚功计算 W总=W外+W内W内=0：相邻截面内力所做的功大小相等正负号相反， 即内力所做的功总和等于“0”）

——相邻截面内力互为作用力与反作用力，大小相等方向相反； ——相邻截面具有相同的位移，虚位移是协调的，变形连续，

W总=W外 （a）（2）对按刚体虚功原理与变形体虚功计算 虚位移分解二步： 刚体位移：ABCD→ABC”D” 变形体位移：AB—C”D”→C’D’ W总=W刚+W变（W刚=0刚体虚功原理）

W总=W变 （b） ∴W外=W变

（d） 即，W=WV

（6-1）

——变形体虚功方程

变形功（WV）计算（图6-4b）变形分为：轴向变形du→线位移 →对应轴力FN弯曲变形dφ→角位移 →对应力矩M剪切变形γds(dη)线位移 →对应剪力FS*仅考虑微段变形，而不考虑刚体位移时，外力不做功，只有截面内力做功*dFN、dM、dFS作功为髙阶微量

dWV＝FNdu＋Mdφ＋FSγds∴WV＝∑∫FNdu＋∑∫Mdφ＋∑∫FSγds虚功方程

W=∑∫FNdu+∑∫Mdφ+∑∫FSγds（6－3）——适用于弹性、非弹性、线性、非线性 对于刚体系：WV=0，即W=0虚功原理应用二种方式

虚位移原理 ——真实力状态，虚设位移——求解未知力虚力原理

——真实位移状态，虚设力——求解未知位移§6－3位移计算的一般公式单位荷载法求：任一指定点K，沿指定方向k—k的位移△K两个状态：结构位移状态——荷载、温度变化及支座移动等

——实际状态（图a）结构力状态——虚设单位荷载FK＝1

——虚拟状态（图b）外力虚功：内力虚功：外力煤虚功跨：变形敲虚功兄：W=才WV∴位情移计挑算一出般公罢式—鞭—单据位荷译载法①△K——代数灶值＋、赛－表示投与所嫂设FK指向氧相同铸或相认反②广登义位框移—谣—广买义力营：相对介应—么—指伪力与等位移卵在作功鸽的关详系上的对圣应（a采）线接位移趋△AH——冠F律＝1（b困）角健位移仗φA——肠m暂＝1（c肠）相膏对线艇位移夫△AB——燃一对对单拐位集少中力（d盐）相坦对角内位移淡φAB——录一惜对单否位集叠中力掀偶要点界：只在梦所求请位移担的位盗置和蛛方向霜上设单位乐力——释荷载蹈虚功似即所序求位精移——矩单位洽荷载晴法相对鸽位移读：1·搏△A+劣１·他△B=伯1·估（△A+裕△B）=捆△AB【例夹】广义姻力－蜓广义久位移宽：求桁疤架某卖杆的板角位娃移单位玩力偶→等大效一良对结统点集削中力角位事移：外力宝功MS颤So进lv移ertu猴06找－0贝7§6避－4为静定伯结构陈在荷卫载作川用下则的位录移计燥算线弹周性结李构——努结构促的位联移与秤荷载深成正劈燕比，——岗荷载帖的影悟响可鹅以叠谨加。位移课是微日小的——摇应力唉应变忆关系成须符扛合胡蜓克定窝律（图胆6-食８）络荷载咳作用摆，求固K点泽指定突方向妥位移ΔKP材料力学κ—切应例力沿碑截面烂分布惠不均理匀而引稀用的曲改正淋系数穿，其值味只与心截面需形状们有关标:矩形κ=6岁/5茅，圆鱼形κ=1犁0/各9梁、郊刚架桁架组合番结构荷载沫作用液下的尽位移袄计算墙公式悠：M∙停MP——填同侧荷受拉弯乘积蝇为正直杆采，曲排杆－支小曲虚率杆病，忽康略曲鸭率对备变形苹的影夹响梁式蜘杆饺链捷杆【例鞭6－红1】解：怖M、负FN、FS影响己比较聋：（1位）实抖际状款况—撒—M页、FN、FS荷载熄F打=1AB作:MP=-岔qx2/2予M=券-xFNP=0敞FN=0FSP=q坏x葛FS=1BC尺:MP=-还ql2/2轨M=份-lFNP=-饰ql屋FN=-毙1FSP=0靠FS=0（2歉）讨统论：降FN、FS影响咐可忽昌略设：群截面这矩形读，A＝线b×殖h，晌I＝遍bh3/1秤2，κ=楚1.单2h/l越大朗，轴征力、牧剪力出影响撒越大若：h/l=1询/1此0，继G＝脚0.玻4E轴力掠、剪铸力影响摆可忽禁略【例滤6－慰2】杀曲颜杆【解黑】荷载才F影→烧MP＝－壮FR铁s笑inθF＝俗1叔→热M＝抱R（胜1－桃co姐sθ）【例搏6－幼3】狮桁架①F→苏FN图②F＝郊1→娃FN图③④量梯纲§6什－5扶图岔乘哲法条件沟：（录1）坚杆轴没为直朱线（2粒）E绢I＝蛋常数（3里）至淹少一嫩个直叔线图积分疤式（6陆－幻玉1尼0）①符匆合上蝇述前帐提条辛件②yc取自咸直线霞型图③Aω、yc同侧袍乘积吼为正（图稠6－提14杏）常套用简剧单图汪形面积漂、形村心位示置顶点聋——深切线颜平行障底边标准王抛物德线：减中点斗、端各点为姻顶点物理项意义献？【例消6－过1】钢图乘哭法解【解缸】MP图、般M图图乘白法应逮用：ql2/2F=1l（MP）（M）【例鸟1】氏简支讲梁，侦作用右端点粥集中枯力矩吵，求舒中点算竖向抛位移ΔF=1l/词4MMyc取自纷直线踢形：两个铁直线的形图抬，任取医一个盆求面咬积，另一厨个取吨对应欣面积蜡形心杨的标签距复杂午图形——雨分解——产叠加叠加蹦部分发：y竟dx茎相等抛物享线图颤——领标准析型图乘猫：（1习）抛南物线脱图（2岸）梯闹形梯形座相乘薪：c、膛d啦与a溪、b悉相对嚷应：大头系*2艺/3愤、小禽头*领1/栽3不在率同侧帆，仰取负界值图形冲——伍折线材——盘应分孕段EI——闻不相膛等—涝—应摸分段【例闯2】叼简支栋梁，讲中点四集中娇力，还求中慨点竖后向位泡移FPΔFPF=1FPl/泼4l/闪4【例萍3】巧简支斥梁，亩均布吧荷载膀，求友中点供竖向息位移F=1ql2/8l/着4Δ【例吉6—滋4】相对意位移MP图设：县一对课相对妙单位碧集中互力→M图变形制曲线M＝优0鬼→主反弯费点，受拉湖面→体弯曲珍方向MS苦So应lv粗er暑：tu晋06踩－2掌1【例善6－宿5】图乘屯法【例行6－侧6】M→小叠加【例坐6－旬7】蛮组合形结构链杆旋梁式惯杆§7挤－6宿温度牲变化省时位燃移计仇算温度吊变化俯——卧变形宿——斩位移单位尽荷载宅法一助般公择式如图辞伸长咱：——故轴线引处温京度变仓化转角温度兔变化倍引起框剪切挽变形γ浓=0若截俘面对恩称于宇形心兽轴，如矩促形：等截怕面杆徐：注意灯：①正知、负滥号确践定t0升温狂为正弊，FN拉为章正弯曲呢变形榨一致界乘积链为正取：温度堂变形眯－－△t产生鹊弯曲单位从力作匙用－巴－M图确海定弯聋曲或：温度迫髙—摧—M受拉蒙同侧②梁冷和刚逆架，城轴向捕变形熄不能抱略去。桁架漏只有捐轴向讽变形③杆为件长溪度因枕制造漏误差引起庙位移【例贸7—躺8】§7井－7欲静定尾结构尸支座彼移动圆时位袜移计疲算静定币结构挠、支桶座移肤动时——这不引拌起内界力—誉—无绸变形蚊，——盯产生兴刚体优位移求任胜意点掘的任床意位慌移，党虚功贱原理余：——络W外=0单位宇荷载索法FR与c方向一致乘积为正

[例笼6—旬9]求A兽端转标角φA解：§6纲－8倦互等圾定理线弹英性结嫁构一（1灾）功捎的互斧等定餐理两组贼外力贱F1、F2作用→两急种状详态：I1：F1——砖M1，FN1，FS1I2：F2——打M2，FN2，FS2I2在I1作功姻W21=W内2般1即好W12=W21——夸功的虹互等性定理第一钟状态奔的外虏力在第二黎状态悦的位孤移上所啦作的虚功，等于第二袋状态妥的外献力在第一竹状态鹊的位病移上所贺作的虚功。I1在I2作功张W12=W内1窑2（2酬）位叮移互榨等定酿理功的摊互等捏定理陪中令能F1=F2=1孤，△12=△21表示卸单位践力戒Fj＝1引起央的对应樱Fi＝1方向校的位泄移△ij即位念移影省响系币数：位移究互等咐定理遍：δ12=δ21即第二物个单环位力所引洪起的对应初第一劳个单秃位力作用教点及袭方向荡的位移等于第一巴个单配位力所引康起的对应督第二额个单怠位力作用毕点及飞方向姨的位移单位透力—挡—广宰义力或δ12=δ21_——唉广义碍位移fc*=φA*（无选量纲救）fc*=φA*数值扔相同量纲愁相同量纲雹分析（3线）反势力互皮等定夺理支座喊位移白引起清内力——各超静捷定结绩构FRi竿j=rij△j－反锈力与能支座拉移动喘成正颈比rij——反力仰影响南系数功的系互等已定理FR1雷2·△1＝恭FR2炭1·△2r12△2·△1＝汗r21△1·△2∴反力校互等提定理r12=无r21即支座衣1发生寒单位位移引起对应独支座宜2的反力，等于支座校2发生煎单位位移引起对应熟支座检1