第05讲导数与不等式的证明（原题卷）

第5讲导数与不等式的证明讲义设计提纲：命题分析命题分析导数中的不等式证明作为高考常考点,也是学习中的难点，这类题目常与函数的性质、函数的零点与极值、数列等相结合进行考查,题目难度较大,解题方法多种多样且敏捷多变，考生经常感到无处下手。不等式证明问题的核心思想是构造函数，常用到的方法有做差构造、双函数构造、放缩构造、换元构造、消元构造等方法，针对不同的题目，敏捷采纳不同的解题方法，可以到达事半功倍的效果．类型一：单变量不等式的证明考向1做差构造法例1(2023·潍坊模拟)函数f(x)＝ex－ax－a，a∈R.(1)争论f(x)的单调性；(2)当a＝1时，令g(x)＝eq\f(2fx,x2).证明：当x>0时，g(x)>1.【对点演练1】函数.证明：当x≥1时，.考向2双函数构造法例2(2023·苏州模拟)函数f(x)＝elnx－ax(a∈R)．(1)争论f(x)的单调性；(2)当a＝e时，证明f(x)－eq\f(ex,x)＋2e≤0.【对点演练】(2023·合肥模拟)函数f(x)＝ex＋x2－x－1.(1)求f(x)的最小值；(2)证明：ex＋xlnx＋x2－2x>0.考向3放缩构造法切入点1：从参数范围切入例3函数,证明:当时,.〔2〕函数,假设,证明:.【对点演练1】函数，当时，证明．【对点演练2】函数,当时,证明：.切入点2：从函数不等式入手对于一些无参不等式的证明,特殊是同时包含指数函数、对数函数的不等式,我们通常需要用常用指数不等式和常用对数不等式放缩为幂函数,从而实现函数简化,进而便利计算和求解.例4证明:.【对点演练1】设函数，证明：【对点演练2】设.证明:当时,.类型二双变量不等式的证明考向1别离变量构造例5函数。〔1〕争论函数的单调性；〔2〕设，证明：对任意，∈〔0，+∞〕，。考向2换元构造例6〔哈尔滨四模)函数f(x)＝ax＋1(x>0)，g(x)＝lnx－eq\f(a－1,x)＋2a.(1)假设a＝eq\f(1,2)，比拟函数f(x)与g(x)的大小；(2)假设m>n>0，求证：eq\f(m－n,lnm－lnn)>eq\r(mn).【对点演练】函数有两个不相等的极值点．〔1〕求实数的取值范围；〔2〕设函数两个不相等的极值点分别为，，求证：；考向3消元构造函数例7函数f〔x〕＝xlnx.〔1〕推断f〔x〕的单调性；〔2〕设方程f〔x〕－2x＋1＝0的两个根分别为x1，x2，求证：x1＋x2＞2e.【变式演练】函数

(1)求的极值;

(2)假设,,,,证明:类型三求和〔积〕型不等式的证明例8〔2022·四川·石室中学高三期末〕函数的图象上有一点列，点在轴上的射影是，且〔且〕，．〔1〕求证：是等比数列，并求出数列的通项公式；〔2〕对任意的正整数，当]时，不等式恒成立，求实数的取值范围；〔3〕设四边形的面积是，求证：．【对点演练】〔2022·全国·高三专题练习〕二次函数满意，，，.〔1〕求的解析式；〔2〕求证：时，；〔3〕求证：.例9．〔2023·云南红河·统考二模〕函数．(1)争论的单调性；(2)当时，恒成立，求的取值范围；(3)设，，证明：．【对点演练1】函数.〔1〕证明：时，；〔2〕证明：.【对点演练2】〔2022·全国·高三课时练习〕函数，其中．〔1〕争论的单调性；〔2〕当时，证明：；〔3〕求证：对任意的且，都有：．〔其中为自然对数的底数〕．1.函数f(x)=ax+xlnx在x=e2(e为自然对数的底数)处取得微小值.(1)求实数a的值;(2)当x>1时,求证:f(x)>3(x1).2.函数f〔x〕＝xex－bxlnx－12x2〔b∈R〕，其图象在点〔1，f〔1〕〕处的切线斜率为2e－3.证明：当x＞1时，f〔x〕＞xex－32x3.函数f(x)=alnx+x.(1)争论f(x)的单调性;(2)当a=1时,证明:xf(x)<ex.4.函数f(x)=xlnxx+m,g(x)=xex,且曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为(1)求m,n的值;(2)证明:f(x)>2g(x)1.5.(2023·淄博模拟)函数f(x)＝ex－x－1.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)当x≥0时，求证：f(x)＋x＋1≥eq\f(1,2)x2＋cosx.6.函数f(x)＝xlnx－ax.(1)当a＝－1时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的最值；(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx＋1>eq\f(1,ex＋1)－eq\f(2,e2x)成立．7.(2022·新高考全国Ⅱ)函数f(x)＝xeax－ex.(1)当a＝1时，争论f(x)的单调性；(2)当x>0时，f(x)<－1，求a的取值范围；(3)设n∈N*，证明：eq\f(1,\r(12＋1))＋eq\f(1,\r(22＋2))＋…＋eq\f(1,\r(n2＋n))>ln(n＋1)．8.函数f(x)＝1－eq\f(x－1,ex)，g(x)＝x－lnx.(1)证明：g(x)≥1；(2)证明：(x－lnx)f(x)>1－eq\f(1,e2).9．函数f(x)＝ln(x＋1)＋eq\f(a,x＋2).(1)假设x>0时，f(x)>1恒成立，求a的取值范围；(2)求证：ln(n＋1)>eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,7)＋…＋eq\f(1,2n＋1)(n∈N*)．10．函数f(x)＝lnx－eq\f(1,2)ax2＋x，a∈R.(1)当a＝0时，求函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程；(2)假设a＝－2，正实数x1，x2满意f(x1)＋f(x2)＋x1x2＝0，求证：x1＋x2≥eq\f(\r(5)－1,2).11.函数f(x)＝aex－1－lnx－1.(