清华考研数学36计很经典解题法临考复习

第三一阶可解类型(包括，可分离、可化为可分离型；一阶线性、可化成一阶线性型全微分方程、简单积分因子型).程转化成上述三类可解类型.也就是，先观察方程的特点，设出解的可能形式,通常称为“形式解”,在这种形式解中,包含有变)将方程化成关于新变量下的可解类型。

6的特解为(51]原方程变形为dy1y1x2， dy

y0lny1lnxlnc2

y

xx再设y xxx x

1

1x2x2x

c'(x)

3112积分得c(x

1x2dxC323

1x2C151于是非齐次方程的通解为y x5

xx2C) x

1x35

6解得C15

y 1x3x5x

1y1x2 u(x)e1

dy x2 x

xyxx,yyx

dx 5 1

1x6 5

x21y x 5 x3]yx3dx2xdy0ydx2xdy1ydxxdy1x3dx

ydx dy

1x xy x xx3 xy x xx3 x2dx

2 dx dyx3y x3ydyx3y dyty11 6tu(t)u(t)11 15u 1-2求微分方程x2yxyy2y 1]x0时，原方程变形为yx 令uy，代入 xuu22u

dx u2 通解为u2Cxu

y2xCx2（x0y2]y1y1y xy2y1y11y11y1 令uy1，代入得关于u的线性方程u1u1 3]x2dyxydxy2dxx2dyxydx x(xdyydx) dx dx (xdyydx)dx0d(xy)dxy2 xy d120

1C x2

数xxy的一阶线性微分方程，其标准形式为

1 exy

1 1 xy

1

C

1e

ey ey

12y C eydy C

x1

1 ex

，u(y)

1y yexye

y

y e2e2y

xy

y1e2y2ydxxyxeydy0ydxxdyxydyeydyd(xy)xydydey0eyd(xy)xyeydyeydeye

d(xy)xydey

e22

y

e2y0 e2y e2dxye 0xyey C 2 x3y3x2yy 方程:dy3y1 y2dy3y11dy13y1 x3/yxcyx3/(cx)dy

y3

2xdx2

y23x22x2

d

y23t2t

u23ut

u2d d 1-5xyyxlnx】令u(x)y(x)，则原方程变为

u1ulnxx1dx

1

1 u xC1 e lnxdxxC12x2lnx x2yu1C1x2lnx1x2 x y1x2(lnx1)ClnxC,其中CC 2由于(xy)xyy，令uxy原方程化为uxlnxu1x2lnx1x2C 1yu11x2lnx1x2C 1 x y

x(lnx1)C1lnx242【解3】:xyyxlnx是二 方程:x2yxyx2lnx令tln

1,y(x)y(t)

xy(x)y(t) y(x)y(t)y(t)x2y(x)y(t)y(t)x2yxyx2lnxy(t)y(t)y(t)te2ty(t)te2ty(t)te2tyte2tdtt1e2tyt1e2t

4c1tc2y4

(lnx1)c1lnx4y(tte2t4atbe2t4ae2tt4at4(ba)ta1/4,ba1/4非齐次特解Y1t1)e2tyt1e2tct y

x(lnx1)c1lnx2421-6yyy)2y2lny【1】可降阶微分方程。令uy)yxy(x)uyy(x)uuyy(y)2y2lnyyuuu2y2lnu1uu1ylny py1u2y u1uu1ylnyp2pylnyp 2 1ln2yy u Cln2即yy 其通解为ln(lny Cln2y)Cln2y

yy(y)2y2lny

yy(y)2lnyy2 y

lny(lny)lny(lny)lnlnycexcexcex2exlnyc lny ln2lny ln2yy

axybxy

y3xy1 ;记Y(x)y1(x)y2(x)y3(x)。若Y(x)是该方程的解，则,,必有 ;若Y(x)是该方程对 y2xy1

xyxyxyxy3xy1 1-8．yxexe2xyxexex y3xexe2xex是某二阶线性常系数非齐次微分方程的三个解， [解]根据线性非齐次微分方程的解的叠加原理，知y1y3ex和2y1y2y3e2x是所求微分方程对应的二阶线性常系数齐次12220yy2y0 yy2yfx，将y1xex代入得yy2y12xexyaybyfx

xexe2x，y2xexexy3xexe2xex1abx2aex42abe2xf1abx2aex42abe2x1abexfx1－ab从而42ab0，解得a1,b2fx12xex，故所求微分方程为yy2y12xex。例1-9微分方程yyyy0的解( 在(0,y(xlimy(x)在(0,y(xlimy(x)在(0,(D)在(0,y(x

1

411

i1一般解:yc1exc2cosxc3sin 1

yq(xyg(x特解1,x则对应齐次方程的一般解是(c11xc21x22非齐次项函数gx是

1解：(1)1x1

2yq(xy0

y1y2yq(xyg 从而有gxqx 1

,yxy2yq(xygx 1

y2

y11x2y21xy2y12y11 y1221-11yyypxex,p(xxx2)e式。今已知该方程有一特解y2(1x2

,试确定,,之值,px;x2)ex[1]y21x2yyypxex得 x2px

2221x12e x0,p 2p(x是一次多项式101p(xx

x x2 xe

,通解是：

2 [2]y20x2)p(x是一次多项式,y21x2

则可1y11y2ex是齐次方程的两个解Y(x)(xx2)exx(1x) xxx2

2e yypxexp(x)YYx例1-12．y2y3yxxexe3xsinx的一个特解形式为( [解]原方程对应的齐次方程的两个特征根分别为1,3，所以y2y3yx的一个特解形式为y1AxBy2y3yxex的一个特解形式为y2xCxDex（单根）y2y3ye3xsinx的一个特解形式为y3e3xEsinxFcosxy*y1y2

Axbx(CxD)exe3x(EsinxFcosx1-13．y4y4yeax11(y

ae e

,a) a1-14yy2xex2sinx解yC1cosxC2sin齐次方程yy2xex和的一个特解。yy2xex

(axb)ex再设非齐次方程yy2sinx的一个特解形式为y2x(AcosxBxA1B0y2xcosyC1cosxC2sinxx1)exxcosx 1-15x2y4xy6yx2lnx 解：原微分方程为二阶方程，当x0时，令xet， xydy d2 ，x dt d2 dt

6ye2tt yC1e2tC2y*t(atb)e2t2at2ab解得a1b1

Y1t(t2)e2t yCe2tCe3t

t(t2)e2tyCx2Cx31x2(lnx2lnx 学上看,就是找出末知函数的微分关系。yQyQy0xxT2-1yyx通过原点并y轴的垂线,y轴交于T点和Q点。则三角形PQT的面积与曲线在区间

解：列方程：2xxy3yxdx x0,y(0)0 yyx通过原点并在第一象限,y(0)0

0,0x,yx0x2y60x2y2xy6y0，这是 令yx得特征方程：260， ycx2cx3;y(0)0c20ycx2, 的曲率等于此曲线在该点法线段PQ长解：(1)

11yyP(x,xyyy2yyyyxxx

y2xxy 所以函数的定义域是:022-3M千克的物体在空中从地面以初速v0正比（比例系数为k）,试求该物体运动速度与时间的关系.MmtvgMmtkvv

M

v

v(0) kkv(t)

g

MmtCMmtm

gM 由v0v0，得到v0

CMmCv0 mk

mkv(t)

mm vgM1m 1 tm km M km M M1at 0tT[注]:若质量为M(t) T 0a1 tT

FF(t)

at,0tT0tTM(t)vF(t)M(t)gkvv

v

F

v

akP0tT, M(1at/T)vT(1at/T) v vgtT, (1a)Mv0s0后终于停下。假设:f常数，空气阻力与速度的平方成正比，比例系数为cf d2 ds m c v v解：方程 dt dt s(0)0,s(0) dv22cv22

ds mv2sv2fe f c vss0由vs0 v2sv2fe2mcs0f

c s0cv2fe2mc0fs0

cv f c

cem0中每分钟加入浓度为的盐水MN公升(MN溶液。假设搅拌能使浓度保持均匀。求容器中溶液浓度随时间t的变化。 V时段ttt内盐量的变化xxMxNtdxM x

BMNdx x BMN ,dy M

A

M BMNty

1

B 2yt表示时刻t容器中的盐的浓度，时刻t溶液的体积为VtBMNt时段ttt内盐量的浓度的变化y dy MyyVtdtyV BMNt微分方程的解是满足所给方程与条件的函数,从函数的角也是函数的一种表示形式.因此,我们可以在微分方程的形式下，提出关于研究函数性质的种种问题如函数的增、减性和凸凹性，求函数的极限，求台劳以及极值或最值问题等等。3-1．yf(xy2yyexf(0)14

f(0)0，则函数f(x)在点x0( (A)取到极大 (C)某个领域内单调增 因为yf(xy2yyexf(0)14

f(0)0f(0)1f(0)50x04f(x的一个极小值点，故选项（B）[注]y2yy

1ex3xex ,得到其解为y '

exy(0) ,y(0)

yx2cos2,则n的取值范围是( )

,若极限

y(xx存在解：y2xsin2yx2cos2yy00y22cos2yx2cos2ysin2y2xysin2yy02 133

x3 y o3

x~ 3-3,f(xf(xf(x)22xx0yf1]f(0)0x0yf(xf(0)0f(xf(x)22xf(0)0f(x)22f(x)f f(0)20(0,f(0yf(xx0yf(x2]f(0)0x0yf(xf(0)0，由已知等式得且f(0)0，另有

f(x2xf(x)2

f(x)x

2

fx

2

2f(x)f(x)

20f(xx0且0，使当x0f(x0f(x0而当0xf(x0f(x0f(xx0两侧不改变增减性。因此x0yf(x的极值点。3]x0yf(xf(0)0且f(0)0，于是f(x)22f(x)f f(0)20(0,f(0))必为yf(x)的拐点，与x0为yf(x)的极值点相 例3-4．若函数yf(x)满足微分方程及初始条件:xyy1ln(1 fx)0 limy(x)[0,0.1]p(x)f(0)f(0)x1f(0)x21f(0)x fx)nn 1xnan 1an

x xn

xn1

xn

1n

xn1

xn n1ann1

n

xn n1ann10,n ann12

n yx1 2xn,收敛域x1, k xk k1n n

yx1 xk xk k1n n22k xyy1ln(1

n221x[解2]： xy

xln(1limy(x) yx ln(101x

0yx

ln(1x)dx

n1xn1dxx

x n1

,

x limfx

xf0ef0egt limgx0 x1f(tx)dt2xf(t)dtxf(xx3f(1)0f(x 令uxt xf(u)du2xf(t)dtxf(x)x3 xf(x)2f(xf(xxf(x3x2f(x2f(x)3xf(x)c13x2xf(1)0得c

3f(x)3 4x

3x。4

x 3-7fx在0,连续,f12且xy0,fxyxfyyfx成立，求f(x。1xy1f111f11f1f10;x,y0,xx0fxxyxxfyyfxfxyxfyyf ,两式相减fxyyxfxyxfyyfxxffxyyxfxyfyyfxxf

x1,y0,yyx0fyyxfyfyyf1xf1,f(1当x0,y

yfy

fyyfyfyfyyf1yfy

fy2yfy2yln 2fx在恒等式xy0,fxyxfyyfxyx求导yfxyfyyfx;x1

fy2fy2yln极限);多元函数的微分与多元函数导数的区别；多元函数高阶混合偏导数的次序问题;多元积分问题的多种形式等等。p0x0y0点哪些性质；不能推出哪些性质(指平面、是否有切线等)？并说明理由。fP,f limffP0,fP0解f(x,1)df(x,1)dx d d4-3f(xy在点(x0y0（By

fxy)不存在；(B)f(xy在点(x0y0f(xy在点(x0y0f(xy在点(x0y0四个选项中只有Cf(xy在点(x0y0可f(xy在点(x0y0不可微这一条件f(xy在点(x0y0两个偏导数不可能都存在且连续.4-4fixyi1,2,3,4P0x0y0的全增量fp0fx0xy0yfx0y0(I)f(P)xyx f2(P0)xy f3(P0)xy x2yf(P) x2y2x2y

x2y其中，在P0(x0,y0)点可微的函数是( 解:f(P)xyx df(P)o( x2y4x2y因为，f1(P0)x2y4x2y44x2yx x2y

xxx2y4x2y x x22xyyx22

x xx x2yx2yx2y例4-5gx,y在(0,0)点连续,f(x,y) gx2yfxy在(0,0)g(0,0)0f(0,0)

x2yx2x2yx2g

lim

x,0 y2g0,f(0,0) y2g0, fx,y在(0,0)点可微g(0,0)2

x2y2r2上, 0,证明xzzxyz(xyf(xgy2 z xz 0 0 dx x x 0z(x,y)z(0,y)0z(x,y)z(0,y)h( yz(x,

y dy h(y)dyz(x,y)z(x,0) yz(x,y)z(x,0) 0z(x,y)f(x)g(y)4-7zz(xyzsiny

1

,z(1,y)sinyz(xy解:zzdxgy)xsiny1ln(1xygyx1

z(1,y)siny1ln(1y)g(y)y得siny1ln(1ygy)sinyygy1ln(1yyzxsiny1ln(1xy1ln(1y 阶导数,且F(x0,y0)0，F(x0,y0)

F(x0,y0) 2F(x0,

00 00它在点x0取极大值它在点y0取极大值x0Fxy0yyx，它在点x0取极小值y0Fxy0xxy，它在点y0取极小值解：Fx0y0)0yyx

) 0F(x0,y0 F(x0,yF(x0,y0 F(x0,y0 y

yy(x)FyFxx

0y (Fy

(x,y02f(0,0)

f(2h,e21h)2f(h,eh1)f(0,

f

2h)2f(h,

h)f=

1

2h)2fy(2h,

2h)

]2

h)[eh lim1[h0

2h)fx(h,

h)]

2h)2fxx(h,eh f(2h,e2h)[e

]f(h,eh)[eh

fx x x4-10DxyR

x

yb,a0,b0}f

kf(xy),(常数k0)Df(x,y0f(x,yD证明z(xy不恒为0，不妨设其在区域D上某点P(x0y0f(zP0f是严格单调函数。一，主要是灵活运用多元复合函数的求导，和一阶微分不变性5-1.uxf(x,yf(xy x[ff )]=fxf f(x, x x

。

xf xyy[

xf2=f1xf11fyf1fyf22x

12 x 22 x 5-2zf(x,y在(aa可微,(x)f(x,f(x,f(xf(a,a)a,

b,

bd2

d2(x)2(x)d(x);d(x)ffdf(x,f(x, 2其中,df(x,f(xx))ffff 于是,d2(x)2(xffffff xaya(a)f(a,f(a,f(a,a)))a,f1(a,a)b,f2(a,a)bd2

2a(bb22b3)5-3uyfxxgyfg

2u:ufgyg 2u

( g) 1

y gy

x2 x2 xg(x2)=yf

x3

(u)=fy

(x)g(1)1gygy =xy

fygx

2uy

0

22

2xyyu,xx2y2y202u2

2ux2y

xy 5-4．设uf(xytx2y2t21。求u解:将uxt的函数，则uffyff将uyt

u

yfx

yf x x5-5zsinxyf(x,xfC2P0,ypp

p解dfx,yp

2dx32fPfP2,fPfP3 yzycosxyf1f 23y

Pzxcosxy y

P x cosxyxysinxy f

f

f22

22122P

y23204

y2 zf(xyyxxzy