数模袁老师3差分方程建模

差分方程模型(4-6)对于k阶差分方程F(

n;

xn,xn+1,

…,

xn+k

)=

0若有xn

=x

(n),满足F(n;

x(n),

x(n

+

1),…

,

x(n

+k

))=0,则称xn=x(n)是差分方程(4-6)的解,包含k个任意常数的解称为(4-6)的通解,x0,x1,…,xk-1为已知时称为(4-6)的初始条件,通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为(4-6)的特解.若x0,x1,…,xk+1已知，则形如

xn+k

=g(n;xn,xn+1,…,xn+k-1

)的差分方程的解可以在计算机上实现.若有常数a是差分方程(4-6)的解，即F

(n;

a,a,…,

a

)=

0,则称a是差分方程(4-6)的平衡点.又对差分方程(4-6)的任意由初始条件确定的解xn=x(n)都有xn→a

(n→∞),则称这个平衡点a是稳定的.一阶常系数线性差分方程xn+1

+axn=b,(其中a,b为常数，且a

≠-1,

0)的通解为xn=C(-

a)

n

+

b/(a+

1)易知b/(a+1)是其平衡点，由上式知，当且仅当|a|＜1时，b/(a

+1)是稳定的平衡点.二阶常系数线性差分方程xn+2

+axn+1

+bxn

=

r,其中a,b,r为常数.当r

=0时，它有一特解x*=

0；当r

≠0，且a

+b

+1≠0时，它有一特解x*=r/(

a

+

b

+1).不管是哪种情形，x*是其平衡点.

设其特征方程l2

+

al

+

b

=

0的两个根分别为l=l1,l=l2.(1)①当l1,l2

是两个不同实根时，二阶常系数线性差分方程的通解为xn=

x*+

C1(l1)n

+

C2(l2)n

;②当l1,

2=l是两个相同实根时，二阶常系数线性差分方程的通解为xn=

x*

+(C1+C2n)ln;③当l1,2=r

(cosq

+isinq

)是一对共轭复根时，二阶常系数线性差分方程的通解为xn

=

x*+

r

n

(C1cosnq

+

C2sinnq

).易知，当且仅当特征方程的任一特征根|li

|＜1时,平衡点x*是稳定的.则对于一阶非线性差分方程xn+1

=

f

(xn)其平衡点x*由代数方程x

=

f(x)解出.为分析平衡点x*的稳定性,将上述差分方程近似为一阶常系数线性差分方程xn+1

=

f

(x*)(xn

-

x*)

+

f

(x*),当|

f

(x*)

|

„

1时,上述近似线性差分方程与原非线性差分方程的稳定性相同.

因此当|

f

(x*)

|

<1

时,

x*是稳定的；当|

f

(x*)

|

>1

时,

x*是不稳定的.例求解两阶差分方程yt

+2

+

yt

=

t解对应齐次方程的特征方程为l2

+1

=0

，其特征根为l1,2

=–i

，对应齐次方程的通解为2

22t

1y

=

C

cos

p

t

+

C

sin

p

t原方程有形如at

+b的特解。代入原方程求得11a

=

,

b

=

-

,

故原方程的通解为

C1

cos

t

+

C2

sin

t

+

t

-2

2

2

2

2

2p

p

1

1在应用差分方程研究问题时，一般不需要求出方程的通解，在给定初值后，通常可用计算机迭代求解，但我们常常需要讨论解的稳定性。对差分方程(1),若不论其对应齐次方程的通解中任意常数C1,…,Cn如何取值,在t

fi+¥

时总有yt

fi

0

,则称方程(1)的解是稳定的,否则称其解为不稳定的.根据通解的结构不难看出,非齐次方程(1)稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于1。表8.1

中国人民银行贷款利率表贷款期限半年一年三年五年五年以上利率﹪6.126.396.667.207.56表8.2上海市商业银行住房抵押贷款利率表贷款期限半年一年三年五年五年以上利率﹪6.126.2556.3906.5256.660表8.3上海市商业银行住房抵押贷款分期付款表贷款期限半年一年三年五年五年以上月还款（元）到期

一次还清444.36305.99237.26196.41本息总和（元）10612.0010664.5411015.6311388.7111784.71表8.2和表8.3是如何依据中央人民银行公布的存、贷款利率水平制定的？问题模型假设表8.2的制定1、确定本银行贷款期限等级，不必与央行完全一致。2、根据本银行利率低于（至少不高于）央行利率的原则，确定本银行贷款期限最低与最高等级的利率。3、依据某种原则（如随时间呈等差数列），确定本银行其它贷款期限的利率。表8.3的制定1.以商业贷款10000元为例,贷款采取逐月归还方式偿还不得提前或延期还贷，即在贷款期限最后一个月还清月利率采用将对应年利率平均方式计算设n年期贷款年利率为R，月利率为r，共贷款A0元，贷款后第k个月时欠款余额为Ak元，月还款m元。模型建立12kk

+1A

=

(1

+

r

)A

-

m,

r

=

Rk

˛

N(

)0kkr(1+

r

)k

-1A

=

A

1+

r-

m,

k

˛

N模型求解12nA

=

0(

)012nrA

1+

rm

=(1+

r

)12n

-1模型分析(

)0按月还款与按年还款哪种对贷款者更有利？nRA

1+

R(1+

R)n

-1m

=按年还款年还款额按月还款与按年还款总还款额之比112n12nm1-(1+

R)n=

1

<11-(1+

r

)nmNx

)x

(

t

)

=

rx

(1

-),

k

=

1,2,Nyky

k

+1

-

y

k

=

ry

k

(1

-连续形式的阻滞增长模型(Logistic模型)tfi

¥,

xfiN,

x=N是稳定平衡点(与r大小无关)离散形式x(t)~某种群t

时刻的数量(人口)yk

~某种群第k代的数量(人口)若yk=N,

则yk+1,yk+2,…=N讨论平衡点的稳定性，即kfi

¥,

ykfi

N

？y*=N

是平衡点xk(r

+1)

N=

r

yk记b

=r

+1)

(1)Nyky

-

yk

=

ryk

(1

-k

+1离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性k

(r

+1)N

r

y

=

(r

+1)

yk

1-

yk

+1=

bxk

(1

-

xk

)

(2)xk

+1一阶(非线性)差分方程(1)的平衡点y*=N讨论x*

的稳定性变量代换br=1

-

1r

+1(2)的平衡点

x*

=xy

=

xy

=

f

(x)b

/

4*x

1/

21x

=

f

(x)

=bx(1-

x)xk

+1=bxk

(1

-xk

)的平衡点及其稳定性平衡点bx

*=

1

-

1稳定性1

<

b

<

3x*

=1-1/b

<1/

2x*kx（单调增）fi00

x1x1

2x

xx*

稳定(1)

1

<

b

<

2b

=r

+1另一平衡点为x=0f

(0)

=

b

>1不稳定f

¢(

x*

)

=

b(1

-

2

x*

)

=

2

-

bf

¢(

x

*

)

<

1f

¢(

x*

)

>

1yb

>3

x*

不稳定(3)

b

>

31/21yb

/

4y

=

xy

=

f

(x)0

x0x1x*

x2(

2

)

2

<

b

<

3x*

=1-1/b>1/2y0xy

=

xy

=

f

(x)0xx2*

xx1

1/

21b

/

4x*kx（振荡地）fi*kx（不）fi

xxk

+1

=

bxk

(1

-

xk

)初值x0=0.2数值计算结果1bx

*=

1

-b

<3,

xfib=3.3,

xfi

两个极限点b=3.45,

xfi

4个极限点b=3.55,

xfi

8个极限点kb=1.7b=2.6b=3.3b=3.45b=3.5500.20000.20000.20000.20000.200010.27200.41600.52800.55200.568020.33660.63170.82240.85320.871130.37960.60490.48200.43220.3987………………910.41180.61540.47940.43270.3548920.41180.61540.82360.84690.8127930.41180.61540.47940.44740.5405940.41180.61540.82360.85300.8817950.41180.61540.47940.43270.3703960.41180.61540.82360.84690.8278970.41180.61540.47940.44740.5060980.41180.61540.82360.85300.8874990.41180.61540.47940.43270.35481000.41180.61540.82360.84690.81272

2

11x

*x

*=

f

(

x

*

)=

f

(

x

*

),b

2*1,

2x

=b

+

1

-

2b

-

3(2)xk

+2

=

f

(xk

+1

)

=

f

(

f

(xk

))

=

f

(xk

)

(*)=

f

(

xk

)xk

+1倍周期收敛——x*不稳定情况的进一步讨论x*k子序列

x

fi

x*

,

x

fi

x*2

k

1

2

k

+1

2单周期不收敛2倍周期收敛(*)的平衡点1*x

=

1

-b2*

*12b0

<

x

<

x*

<

x

<

1x*不稳定，研究x1*,x2*的稳定性f

(x)

=bx(1-x)x

=

f

(

f

(x))

=

b bx(1-

x)[1-bx(1-

x)]b

=3.3

x（不）fi1

2=

f

¢(x*)

f

¢(x*)1

2(

f

(2)

(x))¢

=(

f

(2)

(x))¢x=x*

x=x*1

2=

b

2

(1

-

2

x*

)(1

-

2

x*

)1

2(

f

(

2)

(

x))¢x

=

x*

,

x*1,

2))¢<

1(

f

(

2

)

(

x

*倍周期收敛2*

*2k

1x

fi

x

,

x

fi

x2k+1b

<1+

6

=

3.449f

(

x)

=

b(1

-

2

x)2bb

2*1,2x

=b

+

1

-2b

-3

的稳定性x1*x2*x*b=3.4y=f(2)(x)y=xx0倍周期收敛的进一步讨论b

>

3.45

(

f

(

2

)

(

x

*

))'

>

11,

2出现4个收敛子序列x4k,x4k+1,x4k+2,x4k+3(

4

)

(

x

)k=

fxk

+4平衡点及其稳定性需研究3.449

<b

<3.544

时有4个稳定平衡点2n倍周期收敛,

n=1,2,…

bn~

2n倍周期收敛的上界x1*,x2*

(及x*)不稳定b0=3,

b1=3.449,

b2=3.544,

…

nfi

¥,

bnfi

3.57b>3.57,

不存在任何收敛子序列混沌现象4倍周期收敛xn

+1

=f

(xn

)=bxn

(1

-xn

)

的收敛、分岔及混沌现象b3.汽车租赁公司的运营一家汽车租赁公司在3个相邻的城市运营，为方便顾客起见公司承诺，在一个城市租赁的汽车可以在任意一个城市归还。根据经验估计和市场调查，一个租赁期内在A市租赁的汽车在A,B,C市归还的比例分别为0.6,

0.3,0.1；在B市租赁的汽车在A,B,C市归还的比例分别为0.2,

0.7,

0.1；在C市租赁的汽车在A,B,C市归还的比例分别为0.1,0.3,0.6。若公司开业时将N辆汽车按一定方式分配到3个城市，建立运营过程中汽车数量在3个城市间转移的模型，并讨论时间充分长以后的变化趋势。模型及其求解：32132

1

2

3x

(k

+1)

=

0.1x

(k)

+

0.1x

(k)

+

0.6x

(k

)x

(k

+1)=

0.3x

(k

)

+

0.7x

(k

)

+

0.3x

(k

)记第k个租赁期末公司在A,B,C市的汽车数量分别为x1(k),x2(k),x3(k),容易写出第k+1个租赁期末公司在A,

B,

C市的汽车数量为（k=0,1,2,

…）x1

(k

+1)

=

0.6x1

(k

)

+

0.2x2

(k

)

+

0.1x3

(k

)记向量x(k)=[x1(k),x2(k),x3(k)]T，矩阵0.6A

=

0.30.2

0.1

0.7

0.30.1

0.1

0.6

k

=

0,1,2,x(k

+1)

=

Ax(k

),给定初始值x(0)，可以计算各个租赁期3个城市汽车数量的变化。模型分析猜想：时间充分长以后3个城市的汽车数量趋向稳定，并且稳定值与汽车的初始分配无关。为了证实该猜想，记稳定值为x，则x应满足：矩阵A的一个特征根l=1，且x是对应的特征向量。MATLAB演示计算：初始分配：城市1：200，城市2：200

，城市3：200；计算并作图，程序如下：A=[0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6];%赋初值x(:,1)=[200,200,200]';n=10;fork=1:nx(:,k+1)=A*x(:,k);%迭代计算endround(x),k=0:10;plot(k,x),grid,123456789101000150200250300x1(k)x2(k)x3(k)4.动物养殖问题养殖场养殖一类动物最多3年（满三年的将送往市场卖掉），按一岁、二岁和三岁将其分为三个年龄组。一岁组是幼龄组，二岁组和三岁组是有繁殖后代能力的成年组。二岁组平均一年繁殖4个后代，三岁组平均一年繁殖3个后代。一龄组和二龄组动物能养殖成为下一年龄组动物的成功率分别为0.5和0.25。假设刚开始养殖时有三个年龄组的动物各1000头，试计算一年后、二年后、三年后各年龄段动物数量。五年后农场三个年龄段的动物的情况会怎样？如果每年平均向市场供应动物数c=[s

s s]T，考虑每年都必须保持有每一年龄的动物前提下，c应取多少为好？模型建立：由题设，在初始时刻一岁、二岁、三岁的动物数量分别为：(0)

(0)

(0)x1

=1000,

x2

=1000，

x3

=

1000以一年为一时间段，则某时刻三个年龄段的动物数量可用向量X=[x1

x2

x3]T

表示。用向量X(k)=[x1(k)

x2(k)

x3(k)]T表示第k个时间段动物数分布。建立数学模型如下212

312(k

+1)3(k

+1)(k

+1)=

0.25x(k

)=

0.5x(k

)xx=

4x(k

)

+

3x(k

)x由此得向量X(k)和X(k+1)的递推关系式X(k+1)

=LX(k)MATLAB程序设计1.由初始数据计算一年后、两年后、三年后动物数量，

MATLAB程序如下x0=[1000;1000;1000];L=[0

4

3;1/2

0

0;0

1/4

0];x1=L*x0；x2=L*x1；x3=L*x2；[x1’；x2’；x3’]x5=L*L*x3；2．计算五年内动物数量变化规律x0=[1000;1000;1000];L=[0

4

3;1/2

0

0;0

1/4

0];X=x0;x(1)=X(1);y(1)=X(2);z=X(3);for

k=2:6X=L*X;x(k)=X(1);y(k)=X(2);z(k)=X(3);endt=0:5;bar(t,x),figure,bar(t,y)figure,bar(t,z)三龄组动物五年数量变化直方图01234500.511.522.53x

1040123458000700060005000400030002000100000123451800160014001200100080060040020003.如果每年平均向市场出售动物c=[s

s s]’，分析动物数分布向量变化规律可知X(1)

=

AX(0)

–

cX(2)

=

AX(1)

–

cX(3)

=

AX(2)

–

cX(4)

=

AX(3)

–

cX(5)

=

AX(4)

–

c所以有X(5)

=

A5X(0)

–

(A4

+

A3

+

A2

+

A

+

I

)c考虑每年都必须保持有每一年龄的动物，应有X(k)

>

0 (

k=1，2，3，4，5)MATLAB程序如下c=input('input

c:=');x0=[1000;1000;1000];L=[0

4

3;1/2

0

0;0

1/4

0];x1=L*x0-c;x2=L*x1-c;x3=L*x2-c;x4=L*x3-c;x5=L*x4-c;[x1';x2';x3';x4';x5']程序运行时输入不同的参数c，观察数据计算结果。取c=100时，能保证每一年龄动物数量不为零。不同年龄组的繁殖率和死亡率不同以雌性个体数量为对象(假设性别比为1:1)建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律假设与建模种群按年龄大小等分为m个年龄组，记i=1,2,…,m时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,…第i

年龄组1雌性个体在1时段内的生育(雌性)率为bi第i

年龄组在1时段内的死亡率为di,存活率为si=1-dini

+1

(t

+1)

=

si

ni

(t

),

i

=

1,

2,,

m

-1假设与建模ni(k)~时段k第i

年龄组的种群数量1

2

mn(t)

=[n

(t),

n

(t),

n

(t)]T~按年龄组的分布向量n(t

+1)

=

Ln(t

)n(t

)

=

Ltn(0)可以预测任意时段种群按年龄组的分布120000ssm

-1b

bb

sL

=

00

1

2

bm

-1

m~Leslie矩阵(L矩阵)mi=1n1

(t

+1)

=

bi

ni

(t)(设至少1个bi>0)稳定状态分析的数学知识L矩阵的正特征根是唯一、单重的，记为l0，若L矩阵存在bi,bi+1>0,

则lk

<

l0

,

"

lk

˛

s

(Ln(t

)

=

Lt

n(0)-1L

=

P[diag

(l1

,

lm

)]P取P的第1列为n*0ltt

fi

+¥2Ts1

s1s2l

llm-1n*

=

1,

0

0

0s1s2

sm-1

, ,

,0l

的特征向量为0n

(t

)l

t=cn

*

,c是由bi,si,n(0)决定的常数且limt

fi

+¥解释L对角化1ttnLt)]P-1=

P[diag

(l

,

llim

n(t)

=

Pdiag

(1,

0,

0)P-1n(0)

=

cn*且

lk

£

l0

,

"

lk

˛

s

L人口将最终递增！人口将最终保持不变！l

>1

R

>1l

=1

R

=1l

<1

R

<1人口将最终减少直至绝灭！定理ji-1j

=1记b1

=b1

,bi

=bi(

)mb

i

lii=1s

,

i

=

2,,

m,

q

l

=则l

是

L

的非零特征值的充要条件为

q

(l

=

1各个年龄组的人口数近似地按l

-1的比例增长。净增长率R

=b1

+b2

s1

+b3s1s2

++bm

s1s2

sm-1R

表示每个妇女一生中所生女孩的平均数模型分析01)n(t

)

»

clt

n*稳态分析——t充分大种群按年龄组的分布0ltt

fi

+¥lim

n(t

)

=

cn*~

种群按年龄组的分布趋向稳定，n*称稳定分布,与初始分布无关。2)n(t

+1)»l0

n(t

)

~

各年龄组种群数量按同一n

i

(t

+1)

»l

0

n

i

(t

)

倍数增减，l0称固有增长率n(t

+1)

=

Ln(t

)与基本模型 比较设一农业研究所植物园中某植物的的基因型为AA、Aa和aa。研究所计划采用AA型的植物与每一种基因型植物相结合的方案培育植物后代。问经过若干年后，这种植物的任意一代的三种基因型分布如何？1

建模准备植物遗传规律？动植物都会将本身的特征遗传给后代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形成了自己的基因对，基因对就确定了后代所表现的特征。常染色体遗传的规律：后代是从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对，即基因型。如果考虑的遗传特征是由两个基因A、a控制的，那末就有三种基因对，记为AA、Aa

和aa

。如金鱼草花的颜色是由两个遗传因子决定的，基因型为AA的金鱼草开红花，Aa型的开粉红花，而aa型的开白花。人类眼睛的颜色也是通过常染色体来控制的。基因型为AA，或Aa型的人眼睛颜色为棕色，而aa型的人眼睛颜色为蓝色。这里AA，Aa表示同一外部特征，我们认为基因A支配基因a，即基因a对A来说是隐性的。AA-AAAA-Aa父体-母体的基因对AA-aa

Aa-AaAa-aaaa-aa后代基因对AA11/201/400Aa01/211/21/20aa0001/41/21双亲体结合形成后代的基因型概率矩阵分别表示第n代植物中基因型为AA,Aa,aa的植物占植物总数的百分率。an

+

bn

+

cn

=1第n代植物的基因型分布为,

n

n(n)

c

=

b

an

x,

0

0(0)

c

a0

x

=

b表示植物基因型初始分布。2

假设假设1an

,

bn

,

cn父体-母体的基因对AA-AA

AA-Aa

AA-aa后代基因对AA11/20Aa01/21aa000n-1n-1na

=

a

+

1

b2n-1n

n-12b

=

1

b

+

ccn

=

0an

+

bn

+

cn

=1假设2

植物中第n-1代基因型分布与第n代分布的关系由上表确定。3

建模

n-1

n-1

n

0

c

1

bn-1

c

0

an

1

1/

2

0

a

bn

=

0

1/

20n-1n-1na

=

a

+

1

b2n-1n-1n2b

=

1

b

+

ccn

=

0an

+

bn

+

cn

=10

0

1

1/

2

0

M

=

0

1/

2

10x(n)

=

Mx(n-1)x(n)

=

Mx(n-1)

=

M

2

x(n-2)=

M

3

x(n-3)=

=

M

n

x04

求解模型x(n)

=

M

n

x0关键计算

M

n

0

0

1

1/

2

0

M

=

0

1/

2

10特征值为1，1/2，0，M可对角化，即可求出可逆对角矩阵P，使

PMP-1为对角型矩阵。

0

0

1

1

0

1

0,

-1,

-

2特征值为1，1/2，0的特征向量分别为

(左乘p

又称p)则

1

0

1

0

1

P

=

0

-1

-

200

0

1

0

0

D

=

0

1/

2

00x(n)

=

M

n

x0

=

PDn

P-1

x0x01

1

-10

01

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

=

0

-1

-

2

0

(1/

2)n

0

0

-1

-

20

0

0x01

1

-11

-1

-

200

00

00

11

02

01

1

0

1

1=

0

-1

-00(1/

2)n0

0

11/

2n-1

x00

1-

(1/

2n-1

)

1-

(1/

2n

)=

0

1/

2n0=

00

00n-1n(1/

2n

)b

+

(1/

2n-1

)c0

0-

(1/

2

)ca

+

b0

+

c0

-

(1/

2

)b=000

0n-1nn-1n+(1/

2

)c0(1/

2

)b-(1/

2

)c1-(1/

2

)b=000

0n-1nn-1n+(1/

2

)c0(1/

2

)b-(1/

2

)c1-(1/

2

)b

nnc

an

x

=

b(n)当n

fi

¥

时，

an

fi

1,

bn

fi

0,

bn

fi

05

结论经过足够长的时间后，培育出来的植物基本上呈现AA型。7、市场经济中的蛛网模型问题供大于求现象价格下降减少产量增加产量价格上涨供不应求描述商品数量与价格的变化规律商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定数量与价格在振荡蛛网模型gx0y0P0fxy0xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格消费者的需求关系yk

=

f

(xk

)生产者的供应关系减函数增函数供应函数需求函数0

0

0f与g的交点P

(x,y

)~

平衡点一旦xk=x0，则yk=y0,xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2,

…=y0xk

+1

=

h

(

yk

)yk

=

g

(

xk

+1

)x0fy0x0P0x1x2P2P1yy2P3gP4x3y3y1

fi

P0P0是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点fK

>

K

gxy0y0x0P0fgyk

=

f

(xk

)

xk

+1

=

h(

yk

)yk

=

g(xk

+1

)x1

fi

y1

fi

x2

fi

y2

fi

x3

fi

x0

,

yk

fi·

y0gfK

<

K曲线斜率蛛网模型设x1偏离x0xk

fi

x0

,

yk

fi

y0P1

fi

P2

fi

P3

fixk

·fiP1

fi

P2

fi

P3fi

fi·

P0yk

=

f

(

xk

)=

h

(

y

k

)x

k

+

1在P0点附近用直线近似曲线=

-a

(

x

k

-

x

0

) (a

>

0

)y

k

-

y

0(

b

>

0

)=

b

(

y

k

-

y

0

)x

k

+1

-

x

0x

-

x

=

-ab

(

x

-

x

)k

+

1

0

k

0x

-

x

=

(

-ab

)

k

(

x

-

x

)k

+

1

0

1

0ab

>

1P0稳定P0不稳定xk

fi

x0x

k

fi

¥fa

=

K1

/

b

=

K

g(a

>

1

/

b

)ab

<

1

(a

<

1

/

b

)方程模型gfK

>

KgfK

<

K方程模型与蛛网模型的一致x

k

+

1a

~

商品数量减少1单位,价格上涨幅度-

x

0

=

b

(

y

k

-

y

0

)考察a

,b

的含义b

~

生产者对价格的敏感程度b

~

价格上涨1单位,(下时段)供应的增量a

~

消费者对需求的敏感程度

a小,

有利于经济稳定结果解释xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格y

k

-

y

0

=

-a

(

x

k

-

x

0

)ab

<

1b

小,有利于经济稳定经济稳定经济不稳定时政府的干预办法1.

使a

尽量小，如a=0以行政手段控制价格不变2.

使b

尽量小，如b

=0靠经济实力控制数量不变xyy0gfx0y0x0gf结果解释需求曲线变为水平供应曲线变为竖直+

y

k

-

1

)

/

2

-

y

0

]x

k

+

1-

x

0

=

b

[(

y

k模型的推广生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。00kky

-

y

=

-

a

(

x

-

x

)生产者管理水平提高设供应函数为需求函数不变)

x

0

,

k

=

1

,

2

,

2

x

k

+

2=

2

(1

+

ab+

ab

x

k+

ab

x

k

+

1二阶线性常系数差分方程x0为平衡点研究平衡点稳定，即kfi

¥,xkfi

x0的条件=

h

(

y

k

)x

k

+

12k

+1k

+

y

k

-1yx

=

h4l

1

,

2-

ab

–

(ab

)

2

-

8ab=+

ab

x

k

+

1

+

ab

x

k

=

2

(1

+

ab

)

x

02

x

k

+

2方程通解kk22k11+

c

lx

=

c

l1

2(c

,c

由初始条件确定)1,

2+abl

+ab

=0

的根l

~特征根，即方程2

l

2平衡点稳定，即kfi

¥,xkfi

x0的条件:1

,

2<

1l<

2平衡点稳定条件ab<1

放宽了比原来的条件ab2abl

1

,

2=模型的推广8、国民经济的稳定性国民收入的主要来源是生产，国民收入的开支主要用于消费资金、投入再生产的积累资金及政府用于公共设施的开支。现在我们用差分方程方法建立一个简略的模型，粗略地分析一下国民经济的稳定性问题。记yt为第t周期的国民收入，Ct为第t周期的消费资金。Ct的值决定于前一周期的国民收入，设

Ct

=

ayt

-1

,0

<

a

<

1

。再生产的投资水平It取决于消费水平的变化量，设It

=

b(Ct

-

Ct

-1

),

b

>

0政府用于公共设施的开支在一个不太大的时期内变动不大，设为常数G。故由

yt

=

Ct

+

It

+

G

可得出yt

=ayt

-1

+b(Ct

-Ct

-1

)+G

。将Ct

-1

=ayt

-2及Ct

=ayt

-1

代入yt

-

a(1

+

b)

yt

-1

+

abyt

-2

=

G（1）式是一个二阶常系数差分方程，其特征方程为l2

-a(1

+b)l

+ab

=0

，相应特征根为41

a

2

(1

+

b)2

<

ab

<

1成立时才是稳定的。（2）式可用于预报经济发展趋势。现用待定系数法求方程

（1）的一个特解

yt

。令

yt

=

C代入（1）式，得GC

=1

-

a故当（2）式成立时，差分方程（1）的通解为G1

-

ay

=

rt

(C

cosw

t

+

C

sinw

t

)

+t

1

2其中ρ为l1,2

的模，ω为其幅角。（2）（1）例如，若取4

2a

=

1

,

b

=

1易见，此时关系式（2）成立，又若取y0=1600，y1=1700，G=550，则由迭代公式yt

=

a(1

+

b)

yt

-1

-

abyt

-2

+

G8

8+

550t

-1

t

-2=

9

y

-

3

y求得y2=1862.5,

y3=2007.8,y4=2110.3,y5=2171.2,

y6=2201.2,y7=2212.15,y8=2213.22,y9=2210.3,…。易见=

22001

-

aGy

fit9、商品销售量预测售量呈增的销售量

销售情况，节里的销，第一季度商品以后的5年相同季先增后减。预测该该商品在前年中销售量销售量最大以看出，而在同一三季度的从表中可长趋势，最小而第本例中数来预测以的销售量小二乘法建季度建立四销售量。例可设销售量是应用最，可以按一季度的性增长，一种办法据的特征后各年同大体按线型。即根据式，分别用为第一季度=

at

+

b立经验模个经验公如，如认(1)yt由5555521

1

5

t

=1

t

=1

t

=1

t

=1

5

t

t

t

2

-t

=1t

yt

ty

-a

=11112131515216182024253252627303241214151517第一年

第二年

第三年

第四年

第五年销售量季度(实例)某商品前5年的销售量见表。现希望根据前5年的统计数据预测第6年起该商品在各季度中的销售量。年份551

1t

=1

t

=1t

yt

,t

=

5b

=

y

-

at

y

=5yt

=a0

+a1

yt

-1

或yt

=

a0

+

a1

yt

-1

+

a2

yt

-2等等。上述差分方程中的系数不一定能使所有统计数据吻合，较为合理的办法是用最小二乘法求一组总体吻合较好的数据。以建立二阶差分方程yt

=a0

+a1

yt

-1

+a2

yt

-2

为例，为选取a0,a1,a2使52

t

-2t

0

1

t

-1t

=3+

a

y

[

y

-(a

+a

y)]2最小，解线性方程组：求得

a=1.3，

b=9.5。=17.3，=18.6，…根据

y(1)

=

1.3t

+

9.5预测第六年起第一季度的销售量

为t(1)y67y(1)如认为销售量并非逐年等量增长而是按前一年或前几年同期销售量的一定比例增长的，则可建立相应的差分方程模型。仍以第一季度为例，为简便起见不再引入上标，以yt表示第t年第一节季度的销售量，建立形式如下的差分方程：