北京北正中学高三数学文联考试题含解析

北京北正中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，则使成立的必要不充分条件是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B2.（5分）O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若，则△ABC是（）A．以AB为底边的等腰三角形B．以BC为底边的等腰三角形C．以AB为斜边的直角三角形D．以BC为斜边的直角三角形参考答案：B设BC的中点为D，∵，∴?（2﹣2）=0，∴?2=0，∴⊥，故△ABC的BC边上的中线也是高线．故△ABC是以BC为底边的等腰三角形，故选B．3.设f(x)是一个三次函数，f′(x)为其导函数，如图所示的是y＝x·f′(x)的图像的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别是()A．f(1)与f(－1)

B．f(－1)与f(1)

C．f(2)与f(－2)

D．f(－2)与f(2)

参考答案：D4.点M是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱切球上的一点，点N是的外接圆上的一点，则线段MN的取值范围是（）.

.

.

.参考答案：B5.对于函数，下列说法正确的是A．函数图象关于点对称

B．函数图象关于直线对称 C．将它的图象向左平移 个单位，得到的图象D．将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的倍，得到的图象

参考答案：B6.，则()A.R<Q<P B.P<R<Q C.Q<R<P D.R<P<Q参考答案：A试题分析：由对数函数的性质，，故选A.考点：对数函数的性质7.三棱锥P-ABC中，顶点P在平面ABC上的射影为D满足，A点在侧面PBC上的射影H是△PBC的垂心，PA=6，则此三棱锥体积最大值是

A．12

B．36

C．48

D．24参考答案：B8.设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集=AB，则集合Cu（AB）中的元素共有(A)3个

（B）4个

（C）5个

（D）6个

参考答案：A9.如图，、是双曲线，的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两个分支分别交于点、，若为等边三角形，则该双曲线的渐近线的斜率为(

)（A）

（B） （C）

（D）参考答案：D10.已知点在直线上运动，则的最小值为（

）A． B． C． D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若是等差数列，公差为，设集合

给出下列命题：

①集合Q表示的图形是一条直线 ②

③只有一个元素

④可以有两个元素

⑤至多有一个元素

其中正确的命题序号是

。（注：把你认为正确命题的序号都填上）参考答案：⑤12.设，的所有非空子集中的最小元素的和为，则=

▲．参考答案：略13.已知不等式组表示的平面区域的面积为，若点，则的最大值为.参考答案：614.若复数z满足z=i（2﹣z）（i是虚数单位），则|z|=．参考答案：考点：复数求模；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：由题意可得（1+i）z=2i，可得z=，再利用两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质求得z的值，即可求得|z|．解答：解：∵复数z满足z=i（2﹣z）（i是虚数单位），∴z=2i﹣iz，即（1+i）z=2i，∴z===1+i，故|z|=，故答案为．点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质，求复数的模，属于基础题．15.实数满足，且，则

参考答案：016.已知函数在[﹣4，﹣2]上的最大值为是_________．参考答案：17.曲线在点(1,3)处的切线的方程是

.参考答案：【知识点】导数的几何意义；直线方程的点斜式.B11

H1【答案解析】

解析：因为，所以，所以切线方程为：，即【思路点拨】曲线在点(1,3)处的切线的斜率，是在时的导数，由此求得斜率后，再用点斜式写出直线方程.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(I)求角C的大小；(II)若求△ABC的面积．参考答案：(Ⅰ）,……3分

……………………4分.……6分（Ⅱ）由余弦定理知，……7分……8分，或（舍去）……10分故.……12分19..已知数列{an}的前n项和为Sn，.（1）若，求证：，，必可以被分为1组或2组，使得每组所有数的和小于1；（2）若，求证：，，…，必可以被分为m组（），使得每组所有数的和小于1．参考答案：（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）先将最大的一个数一组，另两个一组，利用反证法证明这两个较小的数的和小于1；（2）先将其中介于和1之间的单独分一组，再把小于的数进行拼凑成若干组，保证每组都介于和1之间，最后剩余的分成一组，再分析介于和1之间组数小于等于k即可.【详解】解：（1）不妨设假设，则所以所以与矛盾，因此,所以必可分成两组、使得每组所有数的和小于1（2）不妨设，先将，，…，单独分为一组，再对后面项依次合并分组，使得每组和属于，最后一组和属于，不妨设将，，…，分为，，…，，，共组，且其中组，，…，，，最后一组首先必小于等于，否则，与，矛盾当时，则所以只需将，，…，分为，，…，，，即可满足条件；当时，可将与合成一组，且，否则，矛盾此时只需将，，…，分为，，…，，，即可满足条件，所以，，…，必可以被分为m组(1≤m≤k)，使得每组所有数的和小于1．【点睛】本题主要考查推理论证能力，抓住题中的关键点进行分组处理，同时结合反证法进行论述推理.20.已知函数且此函数在其定义域上有且只有一个零点.（1）求实数的取值集合.（2）当时，设数列的前项的和为，且，求的通项公式.（3）在（2）的条件下，若数列是有固定项的有穷数列，现从中抽去某一项（不包括首项、末项）后，余下的项的平均值为31，求这个数列的项数，并指出抽去的是第几项.参考答案：解：(1)函数的定义域是因为函数在其定义域上有且只有一个零点，故当时，函数只有一个零点，

………1分当时，由只有一个解，可以分为两种情况：（1）一元二次方程有两相等且不等于的解，即由得，此时零点为

………2分（2）一元二次方程有一解是，此时

……………4分综上所得：实数的取值集合为.

………………5分(2)因为，所以，即，所以

……7分当时，，满足故的通项公式为.

……………………9分(3)设抽去的是第项，依题意，由可得

………………11分由于解得，因为，故

………13分由于，故所以此数列共有15项，抽去的是第8项.

……………略21.已知函数满足满足；（1）求的解析式及单调区间；（2）若，求的最大值．参考答案：解：（1）令得：得：在上单调递增得：的解析式为且单调递增区间为，单调递减区间为（2）得①当时，在上单调递增时，与矛盾②当时，得：当时，

令；则当时，当时，的最大值为。22.（本题满分12分）已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件，需要另投入2.7万元.设该公司年内共生产该品牌服装千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且.（Ｉ）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数关系式；（Ⅱ）年生产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生