2022-2023学年湖南省永州市挂榜山学校高三数学理月考试卷含解析

2022-2023学年湖南省永州市挂榜山学校高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.．已知向量满足，且，则与的夹角的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略2.已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为直线l经过点（1,0）且与直线x－y＋1＝0垂直，若直线l与圆C交于A，B两点，则△OAB的面积为A、1B、C、2D、2参考答案：A圆C的标准方程为，圆心为（0,－1），半径为2；直线方程l的斜率为，方程为．圆心到直线的距离．弦长，又坐标原点O到AB的距离为，所以△OAB的面积为．故选A．3.在中，角，，的对边分别为，，，且，，，则的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A考点：正弦定理4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若则当Sn取最小值时，n等于（

）

A．6

B．7

C．8

D．9参考答案：A略5.已知,函数的定义域为,集合,则(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A6.已知，函数的图象如右图所示，则函数的图象可能为参考答案：B7.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若终边经过点(3,4)，则等于（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B略8.已知,函数与函数的图象可能是(

)

A

B

C

D参考答案：C由于，故互为倒数，而，，故的单调性相同，四个选项中，单调性相同的是C选项，故选C.

9.已知，则A． B． C． D．参考答案：B由对数函数的图像可知：；再有指数函数的图像可知：，，于是可得到：.

10.若点M（a，）和N（b，）都在直线l：x+y=1上，则点P（c，），Q（，b）和l的关系是（）A．P和Q都在l上 B．P和Q都不在l上C．P在l上，Q不在l上 D．P不在l上，Q在l上参考答案：A【考点】IH：直线的一般式方程与直线的性质．【分析】先根据点M、N在直线上，则点坐标适合直线方程，通过消元法可求得a与c的关系，从而可判定点P（c，），Q（，b）和l的关系，选出正确选项．【解答】解：∵点M（a，）和N（b，）都在直线l：x+y=1上∴a+=1，b+=1则b=即+=1化简得c+=1∴点P（c，）在直线l上而b+=1则Q（，b）在直线l上故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知是钝角，，则

.参考答案：【答案解析】

解析：因为是钝角，，所以，所以.【思路点拨】利用同角三角函数关系，两角差的正弦公式求解.12.执行如图所示饰程瘴榧涸-!如果输入a=1，则输出的“的值为

．参考答案：6313.若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围是

参考答案：14.是函数的导数，则的值是

.参考答案：15.某次考试有64名考生，随机编号为0,1,2,…,63，依编号顺序平均分成8组，组号依次为1,2,3,…,8.现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第一组中随机抽取的号码为5，则在第6组中抽取的号码为

．参考答案：45

16.某校某年级有100名学生，已知这些学生完成家庭作业的时间均在区间[0.5，3.5）内（单位：小时），现将这100人完成家庭作业的时间分为3组：[0.5，1.5），[1.5，2.5），[2.5，3.5）加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．在这100人中，采用分层抽样的方法抽取10名学生研究其视力状况与完成作业时间的相关性，则在抽取样本中，完成作业的时间小于2.5个小时的有人．参考答案：9【考点】频率分布直方图．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】根据频率之和为1，求出a的值，再根据分层抽样求出完成作业的时间小于2.5个小时的人数．【解答】解：由于（a+0.4+0.1）×1=1，解得a=0.5，完成作业的时间小于2.5个小时的有（0.4+0.5）×10=9人，故答案为：9．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用，属于基础题17.已知集合

。参考答案： 三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，底

面，，分别为的中点．（1）求证：；（2）求与平面所成的角的正弦值．APBCDMN参考答案：1）解法1：∵是的中点，，∴．∵平面，所以．又，，∴，．又，∴平面．∵平面，∴．解法2：如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，yAPBCDMNxz可得，．因为

，所以．（2）因为

．所以，又，所以平面，因此的余角即是与平面所成的角．因为．所以与平面所成的角的正弦值为．略19.如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD⊥平面ABCD，EF∥平面ABCD．（1）求证：平面ACF⊥平面BDF；（2）若，求二面角的大小．参考答案：(1)见证明；(2)【分析】（1）由菱形的性质可得，由线面垂直的性质可得，从而可得平面，再由面面垂直的判定定理可得结果；（2）设，以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量垂直数量积为零列方程求得平面的法向量，结合平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.【详解】（1）∵菱形，∴，∵平面，∴，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面．（2）设，以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面的法向量，则，取，得，平面的法向量，设二面角的大小为，则，∴．∴二面角的大小为．【点睛】本题主要考查面面垂直的证明以及利用空间向量求二面角，属于中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20.（本小题满分12分）班主任统计本班50名学生平均每天放学回家后学习时间的数据用图5所示条形图表示．（1）求该班学生每天在家学习时间的平均值；（2）假设学生每天在家学习时间为18时至23时，已知甲每天连续学习2小时，乙每天连续学习3小时，求22时甲、乙都在学习的概率．参考答案：解：（Ⅰ）平均学习时间为.

……………（6分）（Ⅱ）设甲开始学习的时刻为x，乙开始学习的时刻为y，试验的全部结果所构成的区域为Ω={(x，y)|18≤x≤21，18≤y≤20}，面积SΩ=2×3=6.事件A表示“22时甲、乙都在学习”，所构成的区域为A={(x，y)|20≤x≤21，19≤y≤20}，面积为，这是一个几何概型，所以P(A).

………（12分）

21.已知点、和动点满足：,

且（I）求动点的轨迹的方程；（II）设过点的直线交曲线于、两点,若的面积等于，求直线的方程.参考答案：解：（I）在中，由余弦定理得(1分)……………(4分)，即动点的轨迹为以A、B为两焦点的椭圆.(5分)动点的轨迹的方程为：.……………(6分)（II）设直线的方程为由消得.（※）………………(7分)设、，则…(8分)……(10分)解得,当时（※）方程的适合.故直线的方程为或……(12分)2