2022-2023学年山东省青岛市第十三中学高三数学文期末试卷含解析

2022-2023学年山东省青岛市第十三中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知复数z=2+i，是z的共轭复数，则对应的点位于(

) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：D考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则和几何意义即可得出．解答： 解：∵z=2+i，∴=2﹣i，∴====．因此对应的点位于第四象限．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则和几何意义，属于基础题．2.若圆C:关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是（

）A.2

B.

4

C.3

D.6参考答案：B3.设，则∩=（

）

A． B．C．D．参考答案：D略4.已知函数y=f(x)是R上的偶函数，对于x都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立，且f(-4)=-2,当x,x[0,3]，且xx时，都有。则给出下列命题：（1）f(2008)=-2；(2)函数y=f(x)图象的一条对称由为x=-6；(3)函数y=f(x)在[-9,-6]上为减函数；（4）方程f(x)=0在[-9,9]上有4个根；其中正确的命题个数为

（

）A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：D5.已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γβ⊥γ”是真命题．如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有（

）A．0个

B．1个

C．2个

D．3个参考答案：C6.已知等比数列{an}的公比为q，且a1＞0，则“q＞0”是“数列{an}为递增数列”的(

) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：分充分性和必要性考虑，注意q的范围q＞0且q≠1．解答： 解：等比数列{an}的公比为q，且a1＞0，为大前提，且q＞0，且q≠1，充分性：“q＞0”时，例如0＜q＜1，推不出“数列{an}为递增数列”，充分性不成立；必要性：“数列{an}为递增数列”，则q＞1，可推出“q＞0”，必要性成立；综上，“q＞0”是“数列{an}为递增数列”的必要不充分条件，故选：B．点评：本题考查充要条件，综合等比数列的相关知识求解．7.设复数z＝（i为虚数单位），则z的共轭复数的虚部为

A．1

B．－i

C．－1

D．i参考答案：C略8.已知数列{an}满足：，．则下列说法正确的是A. B.C. D.参考答案：B【分析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，再用数学归纳法证明，同时用作差法以及对数的运算法则证出数列是递增数列，有排除法可得出选项．【详解】设,则所以在上是单调递增函数所以，用数学归纳法证明，当时，因为，所以假设时，成立，当时，由在上为增函数，所以，即成立，当时，成立．又，所以,排除法只有B选项符合．所以答案为B【点睛】本题考查函数的单调性在数列中的应用以及数学归纳法，综合性比较强．9.若样本的方差是，则样本的方差为

（

）A.3+1

B.

9+1

C.9+3

D.9参考答案：D略10.过点P（-1，1）的直线与圆相交于A、B两点，当|AB|取最小值时，直线的方程是

（）A．

B．

C．

D．

参考答案：D|AB|取最小值，则直线与点P和圆心的连线垂直，所以直线的斜率等于-1，方程为．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在中，，与交于点，设=，=，则

(用,表示)参考答案：12.已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，4}，B={3，4}，则?U（A∪B）=

．参考答案：{2}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据已知中集合U，A，B，结合集合的并集和补集运算的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={1，4}，B={3，4}，∴A∪B={1，3，4}，又∵全集U={1，2，3，4}，∴?U（A∪B）={2}，故答案为：{2}【点评】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，难度不大，属于基础题．13.已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=．参考答案：6【考点】二项式系数的性质．【分析】令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和，根据二项式系数和公式得到各项二项式系数的和2n，据已知列出方程求出n的值．【解答】解：令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和4n又各项二项式系数的和为2n据题意得，解得n=6．故答案：614.已知角θ的终边过点（4，﹣3），则tanθ=，=

．参考答案：，8．【考点】三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义．【分析】直接利用任意角的三角函数的定义即可求解tanθ，利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解．【解答】解：∵角θ终边上一点P（4，﹣3），∴由三角函数的定义可得tanθ=，∴===8，故答案为：，8．15.已知实数、满足，k则的最小值为

.参考答案：16.定义运算法则如下：则M＋N＝

。参考答案：517.如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别为边CD和BC上，且，若，其中，则＝________。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知点是抛物线上不同的两点，点在抛物线的准线上，且焦点到直线的距离为.(I）求抛物线的方程；(Ⅱ）现给出以下三个论断：①直线过焦点；②直线过原点；③直线平行轴．

请你以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明.参考答案：解：（I）因为，依题意得,

…………2分解得，所以抛物线的方程为

…………………4分(Ⅱ）①命题：若直线过焦点，且直线过原点，则直线平行轴.…………………5分设直线的方程为，，

………6分由得，，

……………8分直线的方程为，

……………9分所以点的坐标为，，

……………………12分直线平行于轴.

………13分②命题：若直线过焦点，且直线平行轴，则直线过原点.…………………5分设直线的方程为，，

………6分由得，，

……………8分即点的坐标为，

……………9分

∵直线平行轴，∴点的坐标为，

…………10分

∴，，

由于，

∴∥，即三点共线，

……………12分∴直线过原点.

………13分③命题：若直线过原点，且直线平行轴，则直线过焦点.…………………5分设直线的方程为，则点的坐标为，

…………6分∵直线平行轴，∴，∴，即点的坐标为，

……8分由得，∴即点的坐标为，

……………10分∴，

由于，

∴∥，即三点共线，

………12分

∴直线过焦点.

………13分

略19.国家学生体质健康测试专家组到某学校进行测试抽查，在高三年级随机抽取100名男生参加实心球投掷测试，测得实心球投掷距离（均在5至15米之内）的频数分布表如下（单位：米）：分组[5,7)[7,9)[9,11)[11,13)[13,15)频数102240208

以各组数据的中间值代表这组数据的平均值，将频率视为概率.（1）根据以往经验，可以认为实心球投掷距离Z近似服从正态分布，其中近似为样本平均值，近似为样本方差，若规定：时，测试成绩为“良好”，请估算该校高三年级男生实心球投掷测试成绩为“良好”的百分比；（2）现在从实心球投掷距离在[5,7)，[9,11)之内的男生中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人参加提高体能的训练，在被抽取的3人中，记实心球投掷距离在[9,11)内的人数为X，求X的概率分布及数学期望.附：若Z服从，则，.参考答案：（1）68.26%；（2）分布列见详解，期望为【分析】（1）先由频数分布表求出样本均值，再结合正态分布的特征，根据附表中的概率求解，即可得出结果；（2）先用分层抽样的方法确定每组所抽的人数，得到的所有可能取值，求出对应概率，即可得出分布列与期望.【详解】（1）由频数分布表可得：；又，所以；所以该校高三年级男生实心球投掷测试成绩为“良好”的百分比为；（2）因为投掷距离在，之内的男生共50人，且人数之比为，又两组共抽取5人，所以投掷距离在的有1人，投掷距离在的有4人，先从这5人中随机抽取3人参加提高体能的训练，在被抽取的3人中，记实心球投掷距离在内的人数为，则的可能取值为；所以；；因此的分布列为：

期望【点睛】本题主要考查正态分布，以及超几何分布，熟记正态分布的特征，以及超几何分布的分布列与期望的计算方法即可，属于常考题型.20..(20分)已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是，一条渐近线的方程是．（1）求双曲线C的方程；（2）若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围．参考答案：（1）解析：设双曲线的方程为（）．由题设得，解得，所以双曲线方程为．---------------------（5分）（2）解：设直线的方程为（）．点，的坐标满足方程组将①式代入②式，得，整理得．此方程有两个不等实根，于是，且．整理得③由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足，．------------------------（10分）从而线段的垂直平分线方程为．此直线与轴，轴的交点坐标分别为，．由题设可得，．解得或．所以的取值范围是----（20分）

21.如图，直角梯形中，，，，，底面，底面且有.（1）求证：；（2）若线段的中点为，求直线与平面所成角的正弦值.参考答案：（1），，且是等腰直角三角形，平面中，，，可得，即底面，底面，、是平面内的相交直线，平面平面，（2）解法一：几何法如图，过点作，垂足为，连接，，，，，平面，平面，结合且，可得平面是在平面内的射影，可得就是直线与平面所成的角.中，，中，，，，可得因此，在中，即直线与平面所成角的正弦值是.解法二：向量法如图，以点为坐标原点，直线为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，所以：

设平面的一个法向量为，由可取设直线与平面所成角为，则.22.（本小题满分14分）如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，和是两个边长为的正三角形，，为的中点，为的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值．参考答案：（1）证明：设为的中点，连接，则∵，，，∴四边形为正方形，∵为的中点，∴为的交点，∵，

∴，

…………………2分∵，∴，，在三角形中，，∴，

………………4分∵，∴平面；

………………5分(2)方法1：连接，∵为的中点，为中点，∴，∵平面，平面，∴平面.