全等三角形经典例题整理

全等三角形经典例题整理

全等三角形的典型习题一、全等在特殊图形中的运用1、如图，等边三角形△ABC中，动点D、E分别在AB、AC上，满足AD＝CE，求∠DFB的度数．2、如下图所示，等边三角形△ABC中，动点D、E、F分别在AB、BC、CA上，满足AD＝BE＝CF，判断△DEF的形状．3、如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，线段BE、CD相交于点H，线段BE、AC相交于点G，请你解决以下问题：(1)说明BE＝CD的理由；(2)求BE和CD的夹角∠FHE的度数Ex1、如下图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、D在同一直线上，AC、BE相交于点G，AE、CD相交于点F，说明AG＝AF的理由．Ex2、如图，四边形ABCD与BEFG都是正方形，AG、CE相交于点O，AG、BC相交于点M，BG、CE相交于点N，请你猜测AG与CE的数量关系和位置关系，并说明理由．4、△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠B＝∠C＝45°，D是底边BC的中点，DE⊥DF，用两种不同的方法说明以BE、CF、EF为边长的三角形是直角三角形。二．证明全等常用方法（截长发或补短法）5、如图所示，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠BAC的平分线交BC于点D，说明AB＋BD＝AC的理由．Ex1，∠C＋∠D＝180°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，用截长法说明AD＋BC＝AB．Ex2、五边形ABCDE中,AB＝AE,∠BAC＋∠DAE＝∠CAD,∠ABC＋∠AED＝180°,连结AC，AD，用补短法说明BC＋DE＝CD．6、如图，正方形ABCD中，E是AB上的点，F是BC上的点，且∠EDF＝45°，用补短法说明AE＋CF＝EF．MBCN三.全等在探究题中的运用在数学课上，张老师出了这个问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF。小明想到了一个正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，因此AE=EF。(1)说明△ABC≌△ECF的理由：根据条件，AB=BC，EC=CB，∠ECF=∠ABC，因此△ABC≌△ECF。在此基础上，同学们进行了进一步的研究：(2)小颖提出：如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由。答：小颖的观点是正确的。因为根据题目给出的条件，只需要证明△AME≌△ECF，即可得出AE=EF。而△AME的三边分别对应△ECF的三边，因此当E在BC上任意一点时，△AME≌△ECF仍然成立，因此AE=EF。(3)小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立。你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由。答：小华的观点是不正确的。因为当E在BC的延长线上除C点外的任意一点时，△AME和△ECF不全等，因此无法得出AE=EF的结论。Ex1：如图1，一等腰直角三角形GEF（∠EGF=90°，∠GEF=∠GFE=45°，GE=GF）的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起。现正方形ABCD保持不动，将三角形GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转。(1)如图2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想FN，BM相等吗？并说明理由。答：猜想FN=BM。因为旋转变换不改变长度，而EF=AB，GF=BD，因此△GEF和△ABD全等，∠GFE=∠BAD，∠GEF=∠ABD，因此△GEF按顺时针方向旋转后，与△ABD重合，而N是GF的延长线上的一点，BM是EF的延长线上的一点，因此FN=GF+GN=GF+BM=EF+BM=EB=AB=FN，故FN=BM。(2)若三角形GEF旋转到如图3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，(1)中的猜想还成立吗？请说明理由。答：在图3中，猜想不成立。因为当△GEF按顺时针方向旋转到图3的位置时，GN=GF，且FN=EF+EB=EF+AB，因此FN≠GN+BM。活动二：在四边形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD=∠C=90°，BC=5，CD=3，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，求AE的长度。解答：根据题目中的条件，可以得到△ABE与△DCE全等，因为它们有相等的直角和共边AB=CD，所以AE=CD-BC=3-5=-2，但是AE是线段，长度不能为负数，因此AE的长度为0。活动三：在四边形ABCD中，已知AB⊥AD，CD⊥AD，将BC按逆时针方向绕点B旋转90°得到线段BE，连接AE。若AB=2，ED=4，求△ABE的面积。解答：由于△ABE与△CDE全等，所以△ABE的面积等于△CDE的面积。而△CDE是一个直角三角形，所以它的面积为(1/2)×CD×ED=(1/2)×3×4=6。因此，△ABE的面积也为6。问题四：在△ABC中，AB=AC=20厘米，BC=16厘米，点D为AB的中点。点P在线段BC上以6厘米/秒的速度由B点向C点运动，点Q在线段CA上由C点向A点运动。若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由。若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？解答：（1）由于BP=PC=8，PD=BD=AB/2=10，CQ=QA=AC/2=10，QC=BC-BQ=16-BP=8，所以△BPD与△CQP全等，因为它们有相等的两个角和共边PD=CQ和BP=PC。（2）设点Q的速度为v，则点P的速度为6厘米/秒。由于BP=PC=8，PD=BD=AB/2=10，CQ=QA=AC/2=10，QC=BC-BQ=16-BP=8，所以△BPD与△CQP全等，因为它们有相等的两个角和共边PD=CQ和BP=PC。根据相似三角形的性质，可以得到BP/PC=PD/CQ，即8/8=10/(10-v)，解得v=2厘米/秒。问题五：若点Q以2厘米/秒的速度从点C出发，点P以原来的速度6厘米/秒从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？解答