第14章共点线与共线

14章 ABC，A90，EAC中点，DBC上，ADBE，求证：AEBCED.（试用梅氏定理证明

CAEFBD

解析ADBEF

4由梅氏定理

2

AEFB

又ABC45C，故△ABD△ECD，故CEDBADAEBEFEF DABCBCBD2EACAE4ADBEFAFBFFD

解 斯定理AFDBCE1，BFEACD1，得AF231，BF431，故AF10，BF7

FDBC

FEAC

FD5

FE7 AFBF35FD EFEF AFFPQHERS 解析设△ABCADBE、CFDABBE、CF、CAP、QRSP、QRSP、QR共线FRHQ ADHD2 AD由梅氏逆定理，知该结论为真，即

1，最后一步是由于△ADC∽△BDH

RHQB HDBD2 CDS、QRP、QRS四点共线AD是△ABCDBCBD3CD1DEABDFAC垂EFEFBC延长线于G，求CG.解析如图，设CGxEFEF C4xCFAE FA

14x

1x1 ABCADDABACNMNM延BCEADDE1，求cotCADcotBAD.ANNM 解析ABACBDCDcotCADcotBADADAD

11 由梅氏定理及身影定理，有BECMAN1CM

BD ， ，即EC

1 1

1

1

110，于是1

BD

是所求答案★证明，△ABC两内角B、CE、F，而ABCDDEF共线解析如图，既然ABCABACABACDBC延长AAFE BDCEAFABBCACDCEA ACABDEF共线ABCAB、CAB、CAA的中BCAB、CAB、C共线.PAP 解析如图，不妨设AAPABC延长线相交，连结AA，则AAAAAA，于是

BAS△ABA△ACA A A AA B△ACA

于是 AC2

BACBAC

CBA

，CB

，于是ACBAC 1，由梅氏逆定理，知A、B

共线★★已知：D是△ABCBC上一点，GAD上一点，E、FAC、AB上，GBMDE与CGN.EFBCMNBC解析AGGFEMN ADGMBF1ADGNCE.DG DGNCGMBFGNCE NCEFBCBFCEGMGNMNBC ★已知△ABC的面积为1DEBCBDDEEC12∶1，点GAC上，AGGC35ADAEBGFHDEHF的面积.AGGFH 解析

，而 1，于是下求 四边形

△

△CBDFAG1，代入已知数值得4DF31DF

5AF12BDFA

FA

CBEHAG14EH31EH5AH4S

12416BEHA

3HA

S△

17 S四边形D

1651 51

35ABCCP、BQPQMN交于E，点OH分别是△ABCAEOH.PMPMEOH 解析AOPQAHBC.PQBCFOAHFAEBCD，于是只需证明△FED△AOHDFAH AH2cosADF2cosADFEF FEQACD1EQACDFABcosACDAB2ENcosA 因EQNBENsinBAC，故上式为2cosA.证毕 sin PA、PBPQRABSFAFQFPAQFABEQEEFQBQBESAFR解析P、QSRPRSR.（ RAFEQSFEPRQSEFAFEQ EQPQ 因 QEEFAOB为O的直径，弦CDABAN与COMCMOMBC解析

，或证明CNCDNBBDNBBCCNBC 设CB与AN交于K，AB与CD交于J.由梅氏定理，BAOMCK1，得KB2，故 ，即2ACCNABBNCN

AB

AOMC BCBC，证毕

△△

2

CNMKCNMKOD★★★证明定理：设△ABC中，D、E分别在AB、AC上，CD、BE交于F，则DEAF、BC的中点在一条直线上（线PEPEDQXYFZRBC解析设EF、CE、CFX、Y、ZPX、Z共线，QX、Y共YZR共线.且YRZPXQEBCADFRZPX BFAE（AB截△ECF所得）.P、QR共线.评注此题亦可由面积证.ABC中，B90D是三角形内一点，ADB90，连结CDE，使AEB90，GAB中点，直线CGAE、ADM、N，求证：GMN的解析AEADBCP、QPBaBQbCQcPCQDAE1QDAEBQ2AB2b2abca2aba2b2bCQDAabbca

DA

AMMEGND Bb BCNQAG1ANaPBNBAPMGAG1CQNA

★★★★设△ABCABNABDAC上一点，满足CDBCP是DNABC的同侧，满足PBCAPCABEBCDP交于T，BCEA QPEPEANBTCDCTBCDaTBADbab1 BCb2

.延长BP与CA交于Q，则QABC，故CQ ，QD a

(ab) ADab，又由梅氏定理，QDANBP1BPDAbaBCCP平分ACBAEACb.2

DANB

b★★★在△ABCABC90FABBC为直径的圆OAC、CF于另一DE.分别过点CE作圆O的切线lC和lE.lC、lEBD共点.解析如图设lCBD于点GlEBDHBBFOEAIDCABC90及圆OBC为直径，可知lCABCDDG 为证l、lBD共点，只需证明GH重合.GBHB

D D利用CBGCD，可知△BCG∽△CDG，故

同理可证

BGBH BCEB

BI

.于是DGHDCDED

△BECS△EDC

IBD与CE的交点对△ABD考虑割线CIF，运 斯定理，可知BFACDI1，结合BFFA，可知BIACBGBH AC 从而

FACD

CDDGBHBG.命题获证

★已知△ABCABDEACFGBCHKDE与直线GFP，DEKH交于QKH与直线GFRAPBQ、CR共点.解析PABCAB、C（图中未画出EGEGADFBC PBPCBA

S矩形ABDES矩形CBS矩形BCHKACS矩形ACFGBACBAC1APBQ、CRA S矩形

S矩形

ACBAB、C均在△PQR内，故平行不可能★已知△ABCPA作一直线l1AP关于ABC分别作直线l2、l3l1、l2、l3交于一点

ABsin

解析如图，设l1与直线BC交于A，

ACsin AC2

BACB2

AC2△BAP △CBP

PAP A'于是BACBAC1， 逆定理，即知l、l、l共点.这个公共点P，称为P的等角共轭点ACBA

★已知△ABC，向外作相似的等腰三角形△BCD、△ACE及△ABF，其中D、E、F是顶角.ADBE、CF交于一点.解析如图，不妨设AD与BC交于A，同理定义B、C.设FABFBA ACE，则BAFFE DCBACS△ABDS△BCES△AFCABsin(B)BCsin(C)ACsin(A)1， 逆定理，BA S△得结论

S△

ABsin(A

BCsin(B△ABCADBE、CF是角平分线，则BAC120DEDFKKGAHFE 解析当BAC120CAKKAB60BADFAKF距离；又CF平分ACBFAKFBCDF平分ADBDE平分ADCDEDF.反之若DEDF过A作GH∥BC与DF、DE延长线分别交于G、H则由定理知AGBD AKADBCAF平分KAD，于是BAC120★★已知△ABCDEABACDEBCBE、CDFAF延长后交BCSSDBE交于GSE与CDHAGAHBCMPBM∶MPPC.ADDEGFH S 解析由定理易知BSCS，又由梅氏定理BCPHAD1CPHASCPHAESPHAADAEBC2SC，得CP2SP.易得CP1BCBM1BC BM∶MP∶PC1∶1∶1AM是锐角△ABCMEABEMFACFCEBF交PAPBC.DEDEGFH ADBC，易知△BEM△BDA△MCF△ACDBEBMCDACBECDACBMBD AB又由AEAF，故由逆定理知AD、BF、CE共点.于是APBC

★★锐角△ABC△ABE和△ACFABBE，ACCF，EABCAFBFCEPAPBCMPMPNEF 解析为证明结论，我们干脆作△ABCADADBF与CE共点由EACFABAEAF S△AECS△ABF设CEABMBFACNAMBDCNBMCDS△ACEABcosB

ACcosCS△ABcosBBCsin(90C)CFACcosCBCsin(90B)ABCF1AC于是由逆定理，结论成立，最后一步用到的仍是△ABE∽△ACF△ABCD、E、FBC、CAABAD、BE、CFPDDDBCEF.ADBE、CF也共点解析 定理和逆定理，注意到BDDC等，立得结果 评注P互为等边共轭点★★★设△ABCAB、BC、CAF、D、EAD、BE、CF共点，又△DEFDEEFFDZX、YDXEYFZAXBY、CZ共点.解析AXBCX（为简洁起见，图中未图出，同理定义YZ.于是BX

ABS△AXBAF△

ABAEFXCY

BCBFYD，AZ

ACCDEZX S△

AC

ACAF

AY

ABBD

BCCEAE△BXCYAZ1AXBY、CZ共点XCAYBZA YZ 解析不一定.不妨设△ABCADBE、CFAECE线交于一点，则 定理（此处设ABc，BCa，CAb，知有BDBFBCa BDCDaBD2CD2AB2AC2c2b2

BDa2c2b2 a2b2

a2c2b2a2b2

aba3b3ab2ac .a3b3ab2aABACAPQAMNPN、MQ交于一点APMPMBQN解析本题无疑是要运用逆定理，比如在△PQC中，知只需S△BPCS△PQNS△QMC1S△BQCS△PCNBPPCPQQNQCMC1BPQNMCBQQCPCCNPQ由△ABPAQB、△APMANQ及△AMC△ACNBPAP

BQCNAN，MCACBPQNMCACBQCN

14.2.14★★设△ABCBC、CAABD、E、FDMEFMBMFDPCMDE交于点QMDFQPE共点FMFMEPQ 解析FPDQPDS△FMB BFFMsinAFECDMDsinMDCFM， 逆定理，知三线共点BDMDsinMDBCEMEsin 评注此处MDEFMD平分BMC.证明如下：设△ABCA、B、C，于是易知FDM1C，EDM1B，故FM 2BF，又由BFM

EDsin 2901ACEM，故△FMB△EMC，于是命题得证2ABCD，BACDAC，PACBP、DP，分别交CDCB于QRQACRAC解析如图，分别作CMABCNADMRAN、QABDAC交J.RJRJCQMAND 定理及角平分线性质定理，有ADBRCQ1.但CMCRAB，CNCQAD，于是ABRC CMCN.又ACM180BAC180DACACNACAC，故△ACM△ACNQACRACA1、B1分别是△ABCBCACD、EAA1BB1、A1B1与CD的交点.证明：若A1EC90ABA1EAA1BA1.AEBCFAA1BA1，只需证明ABA1A1AB.A、B、A1、E故A1EFABA1A1ABBEA1EA1为BEF的平分线DDBA1C对△AA1C的割线BDB1及其内一点E分别利用斯定理和定理，CB1ADA1B1B1ADA1CB1ADA1FB1A

A1FCF 在射线CBB，使得BEA1A1EF，则由A1EC90EC为BEF的外角平分线，BA1BECB

A1FA1B A1BA1BBBAE为BEF的角平分线 ★★★给定△ABCM为△BAC内一点，使得MABMCAMACMBAN△ABC内一点，使得NBANCBNBCNABP为△ACB内一点，使得PCAPBCPCBPAC.AMBN和CP三线共点，且该公共点在△MNP的外接圆上MAM 解析延长AMBCA1，则BMA1MABMBAMACMCACMA1BAC，即1MA为BMCBA1BM.而由条件，易知△ABM∽△CAM1

AMAB BM c

b（这里a、b、c为△ABC的三边长，从而MC ，AM b c 1 b a b

1A

1B

BBNAC的交点，C为CPAB（Nca ca P未画出）.BA1CB1AC11A1CB1A于是，由定理的逆定理可知AM、BN、CP三线共点K，O为△ABC的外心，则BMC2BACBOCB、M、O、C四点共圆.MA1A2A2BC的中点.结合OBOC，可知OA2BM、O、C共圆的直径.OMA2OMK90ONK90OPK90.MNP在以OK为直径的圆上 ★求证：已知△ABCPBC上一点，则有sinBAPsinCAPsinBAC 式成立，且BAPCAPBAC（AP不是“反方向”的BP、C共线解析S

S△

S△

1ABAPsinBAP1ACAPsinPAC1ABACsinBAC 1ABACAP，即得结论2A SABPSACPSABCBP、C共线★★已知△ABC及直线lA在lAABCAB和C、CAABB和CC共点解析AB2AC2BC2BA2CA2CB20（B、C未画出ABBCAB2AC2AB2AC2AB2BB2AC2CC2BC2BA2BC2CC2BA2AA2CA2CB2CA2AA2CB2BB2，于是三式相加，便知结论成立14.3.3.ABC中，BAC45，BE、CF是两条高，H为△ABC的垂心，M、KBCAH的中点.MKEF和OH共点，这里O为△ABC的外心解析如图，由条件BAE45，可知△AEB和△AFC都是等腰直角三角形，而OAB、BC的中EF与OHEF的中点.EHEHKOFB另一方面，MKBCAH的中点，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知EMMF1BCEKKF1AH.EKFMEFKMEF的中点 从而命题获证SPNMPFETSP、TNPFMTSESMTA，点TSEBAPB共线 AAE解析ABSTP，又设ATSTSE.于是由ASBATB180SPS△ASB S△

ASBSAT

tancotMSSTMSSPST PP重合KMLN的交点OBD上O OLN 解析连结OB、ODKLMNKMLN相交于O，所以△KLO△MNO，可得KLLOKLOMNO BCAD，所以BLODNO，则BLKDNM；因此Rt△BLKRt△DNMBL

LOBLODNO，所以△BLO△DNO，可得BOLDONB、O D共线n（2）n个点共线ABCDBA、CDE.PnPEBEC于点GH，使得△EGH为等腰三角形（EGEHADADGQHPC设Qn个点中的另一个点，我们证明Q在直线GH上由条件QEGEHPEGEH的距离和.若QAGHDS△EQGS△EQH

，从而EGd(Q

EG)EHd(Q

EH)EGd(P

EG)EH(P

，这里d(X,YZX到直线YZ的距离.EGEHd(QEGd(Q

EH)d(P

d(P

EH)，.类似地，若Q在四边形BGHC内，则d(Q

EG)d(Q

EH)d(P

EG)d(PEH)，亦.故Q段GH上ABCD中，B90ABCEBEACBDBC的中垂线GPDE中垂线上，故而结论成立.DFDFP ABCDABCD.将△ABC绕点C旋转一个角度，得一个新的△ABC.证明：线ADBCBC的中点共线.AD、BC、BCXY、Z，W为CA的中点.并设ACA，ABCZWAB，WXCD

ZW1AB1AB1CDWX△XWZ 等于180AB与CD所成的角 XA注意到，

，所以，

，从而XZW1(180XWZ90. CZXXZW902YZBBCBB1(18090，故CZY90 CZXCZY.X、YZ共线ABCAB是斜边，CHA为圆心、AC为半径作⊙A.作⊙A的割线，交⊙ADECHF（DBF之间）.在⊙A上取一点GABGABD，且GDAB的同一侧.EH、G三点共线ECECFDAEH交⊙A于点G，我们证明G与G重合，即证GBADBA由ACB90BC为⊙ABC2BDBE.Rt△ABCCH为高，从而由身影定理BC2BHBABDBEBHBAE、D、H、A共圆，因此EDAEHABHG.EADA，故EDADEADHB（E、D、H、A共圆可知BHDBHG.由圆的对称性，即得HBGHBDABCADBE、CFHMNBFAEMHFNHEBM、CNBC上解析如图，若设BMCN中垂线分别交BCKK（KK在图中未画出，只要证明BKCKBC，即知结论成立AFMHFMH BK

2cos

，CK

2cos

BCBCBC

或cos

cos

即可由条件知△MFH△NEHMFFHAHsin