2021届高考二轮复习专题八 立体几何与空间向量 学生版

专题8立体几何与空间向*

命题趋势

1.空间几何体结构特征的考查，主要为表面积和体积的求解，一般以选择题和填空题的形式出现.

2.空间点、线、面的位置关系的考查，一般为线线关系、线面关系、面面关系的证明以及表面积、体积的求

解.

3.空间向量通常当作工具来求解空间几何体的问题.

⑥'1

・・••考点清单J....

1.空间几何体的表面积与体积

(1)多面体的表面积

S棱柱表=$棱柱恻+2s底,S棱锥表=S棱锥侧+S底,S棱台表=S棱台侧+S上底+S下底,

(2)旋转体的表面积

①圆柱：S表=2b(r+。，其中r为底面半径，I为母线长；

②圆锥：S表=7rr(r+。，其中r为底面半径，1为母线长；

③圆台：S表=7r(r'2+r2+r，,+M),其中产，「为上、下底面半径分别，，为母线长;

④球体：S球=4兀",其中r为球的半径.

(3)几何体的体积公式

①柱体：％体=5九，其中S为底面面积，九为高；

②椎体：嗓体=；5/2,其中S为底面面积，h为高；

③台体：/体=；(S'+JMM+S)〃，其中S'、S分别为上、下底面面积，h为高；

4

④球体：万厂3,其中r为球的半径.

2.空间点、直线、平面之间的位置关系

(1)平面的基本性质

公理1:如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线在这个平面内.

公理2:过不同在一条直线上的三点，有且只有一个平面.

推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面.

推论2:经过两条相交直线，有且只有一个平面.

推论3:经过两条平行直线，有且只有一个平面.

公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

公理4:平行于同一直线的两条直线平行.

3.直线、平面平行的判定及其性质

(1)直线与平面平行的判定定理

文字语言：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.

符号语言：afta,bua,allb=>alia.

图形语言：如下图.

(2)直线与平面平行的性质定理

文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.

符号语言：aHa,ac/?,an/?=b=allb.

图形语言：如下图.

(3)平面与平面平行的判定定理

文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.

符号语言：au/?,buB,aC\b=P,alia,blla=a//^.

图形语言：如下图.

(4)平面与平面平行的性质定理

文字语言：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.

符号语言：a〃£,yna=a,丫0=b今a/lb.

图形语言：如下图.

4.直线、平面垂直的判定及其性质

(1)直线与平面垂直的判定定理

文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.

符号语言：/la,/lb,aua,bua,anh=P=>Zla.

图形语言：如下图.

(2)直线与平面垂直的性质定理

文字语言：垂直于同一个平面内的两条直线平行.

符号语言：ala,b1a=a//b.

图形语言：如下图.

(3)平面与平面垂直的判定定理

文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.

符号语言：Iu0,/1a=>a1jff.

图形语言：如下图.

(4)平面与平面垂直的性质定理

文字语言：两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.

符号语言：a1B,aC\。=I,aaa,aLla1p.

图形语言：如下图.

5.空间向量的运用

设平面a,S的法向量分别为X=(X］，X，zJ,〃=(%,%*2),直线/的方向向量为丫=(七,%，23)，

则：(1)线面平行

/〃a04_Lv=卒3+%%+z\z3=0

(2)线面垂直

Z±6Z<=>X〃V。玉=3,y二63，Z[=kz3

(3)面面平行

a//p<=>X////<=>X]=Ax2,y1=ky2z、=kz2

(4)面面垂直

a_L,=X_L4=x}x2+yxy2+zxz2=0

精题集训

（70分钟）

❷经典训练题

一、选择题.

1.如图所示，在平行六面体48。。-41816久中，M为&G与B/i的交点，若同=a,AD=b,京=

c,则下列向量中与两相等的向量是（）

2.如图，已知四棱锥S-A3co的底面是边长为6的菱形，ZBAD=60°,AC,BD相交于点0,SO_L平面

ABCD,50=4,E是BC的中点，动点P在该棱锥表面上运动，并且总保持PE14C,则动点P的轨迹的长为

()

A.3B.7

3.如图，在直三棱柱ABC-A4G的侧面展开图中，B,C是线段4。的三等分点，且40=3百.若该三棱

柱的外接球。的表面积为12兀，贝必义=（）

A.V2B.2

4.已知正三棱柱ABC-的所有棱长均相等，D、E在上,且BD=DE=EB',则异面直线4D与EC'

所成角的正弦值为（）

7口3回C3用V130

A.—D.---------------D.--------

2020,2020

5.(多选)在正方体48。。一41当6。1中，点「在线段4以上运动，则下列命题正确的是()

A.异面直线GP和C4所成的角为定值B.直线CD和平面BPC相交

C.三棱锥D-BPCi的体积为定值D.直线CP和直线可能相交

二、填空题.

6.小明同学在进行剪纸游戏，将长方体力BCO-&BiCi以剪成如图所示的侧面展开图，其中4&=1,AB=

2,AD=4,已知M,N分别为BC,为劣的中点，则将该长方体还原后直线与B】N所成角的余弦值为

7.在三棱锥P-4BC中，PA=PB=PC=2,△ABC是正三角形，E为PC中点，有以下四个结论:

F5

①若PC工BE,则三棱锥P-4BC的体积为亍

②若PC，BE,且三棱锥P-ABC的四个顶点都在球。的球面上，则球。的体积为历兀；

2C

③若PA1BE,则三棱锥P-2BC的体积为可；

④若P41BE,且三棱锥P-4BC的四个顶点都在球。的球面上，则球。的表面积为127r.

其中结论正确的序号为.

8.在三棱锥P-48C中，P41平面力BC,ABIBC,PA=AB=1,AC=y[2.三棱锥P—4BC的所有顶点

都在球。的表面上，则球。的半径为；若点M是△4BC的重心，则过点M的平面截球。所得截面的面积

的最小值为

三、解答题.

9.如图，在正四面体A-BC。中，点E,F分别是4B,BC的中点，点G,H分别在C。，4。上，且

DH=-AD,DG」CD.

44

(1)求证：直线EH,FG必相交于一点，且这个交点在直线BD上；

(2)若48=2,求点B到平面EFG”的距离.

A

10.如图，已知4BB1%是圆柱。。1的轴截面，。、01分别是两底面的圆心，C是弧4B上的一点，ZABC=

30°,圆柱的体积和侧面积均为4〃.

(1)求证：平面AC&1平面BOB"

(2)求二面角8一必当一。的大小.

7t1

II.如图，四棱锥P-4BC0中，PAl^ABCD,AD//BC,ZABC=—,AB=BC=-AD=2,

22

且24=a,E,尸分别为PC,PB的中点.

(1)若a=2,求证：BPI平面ADEF;

(2)若四棱锥P—ABCD的体积为2,求二面角A-PD-C的余弦值.

12.如图，在四棱锥S-ABC。中，底面A8Q)是菱形，G是线段AB上一点(不含力，B),在平面SGO内过点

G作GP//平面SBC交SD于点P.

(1)写出作点P、GP的步骤(不要求证明);

TT

(2)若=AB=SA=SB=SD=2,P是SO的中点，求平面SBC与平面SGD所成锐二面角的

大小.

B

13.如图，在直角梯形ABC。中，^ADC=90°,AB//CD,AD=-AB=-CD=2,E为48的中点，尸在线

23

段C。上，且EF//AD.将四边形D4EF沿EF折起，使得到的四边形。0EF所在平面与平面BCFE垂直，M为

D'C的中点.连接BA',BM.

(1)证明：CF1BM；

(2)求平面4'D'FE与平面D'BC所成锐二面角的余弦值.

©高频易错题

一、选择题.

1.设小、几为两条直线，匹口为两个平面，则下列命题中假命题是()

A.若7nd.n,mA.a,n10,则aJ.0B.若m〃7l,m1a,n〃/?,则a1/7

C.若mln,m//a,n///?,贝Ija〃夕D.若m〃n,m1a,n1/?,贝Ija〃/?

二、解答题.

2.如图，已知四边形ABC。为菱形，对角线4c与8。相交于O,Zfi4D=60°,平面AOEFCl平面BCEF=直线

EF,F01平面ABC。，BC=CE=DE=2EF=2.

(1)求证：EF//AD-,

(2)求二面角4-EF-B的余弦值.

❷精准预测题

一、选择题.

1.在空间，已知直线/及不在，上两个不重合的点4B,过直线/做平面a,使得点A、B到平面a的距离相等,

则这样的平面a的个数不可能是()

A.1个B.2个C.3个D.无数个

2.日常生活中，有各式各样精美的糖果包装礼盒某个铁皮包装礼盒的平面展开图是由两个全等的矩形，两个

全等的三角形和一个正方形所拼成的多边形（如图），矩形的长为12cm,矩形的宽和正方形的边长均为

8cm.若该包装盒内有一颗球形硬糖的体积为Ucn?,则p的最大值为（)

A.如33272256

B.——71C.32〃D.-----71

333

3.在四面体48C。中，AB=6,BC=3,BD=4,若448。与44BC互余，则瓦？•（正+而）的最大值为

()

A.20B.30C.40D.50

4.如图，在正四棱柱ABCD-AiBiGDi中，底面边长AB=2,高44=4,E为棱的中点.设NB4D=

a、4BED=8、4B]ED=y,则a、/?、y之间的关系正确的是（）

A.a=y>9B.y>a>6C.0>y>aD.a>9>y

二、填空题.

5.若正四棱锥的侧面均是正三角形，且它的表面积是8+8怖，则该四棱锥外接球的体积是____

6.如图，棱长为1的正方体A8CD4B1GD1中，P为线段AR上的动点（不含端点），有下列结论:

B

A

①平面平面&AP；

②多面体劣-CDP的体积为定值;

71

③直线5P与BC所成的角可能为I；

④AAPOi能是钝角三角形.

其中结论正确的序号是___________(填上所有序号).

三、解答题.

7.如图三棱柱4BC-4&G中，底面AZBC是边长为2的等边三角形，E,F分另|为4B,A41的中点，CF1

FBi,AB=y[2AAt=^-EBt.

(1)证明：EF1平面CEB1；

(2)求二面角E—CF—&的平面角大小.

8.已知三棱柱4BC-&B1G，44—平面ABC,/.BAC=90°,AAr=AB=AC=l.

(1)求异面直线4G与所成的角；

(2)求二面角4-的正弦值；

(3)设M为的中点，在△ABC的内部或边上是否存在一点N,使得平面ABC1?若存在，确定点N

的位置，若不存在，说明理由.

9.如图1,扇形。4B的圆心角为60。，半径为3,点C,。分别在线段04,。8上，且。。=2OC=2,

将40C0沿CO折起到△O'CO的位置，如图2所示.

(1)求证：CD1O'A;

(2)若。/=百，求平面O'AC与平面OBD所成角的正弦值.

参考答案

Q经典训练题

一、选择题.

1.【答案】A

【解析】在平行六面体”。。一月出的劣中，M为力传1与当。1的交点，

BM=BB]+BM=g（A£>+6A）+A4]=—；a+g〃+c,故选A.

【点评】本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】取OC,SC的中点G,F,连接GE,FE,

,「E是BC的中点，GE//DB,FE//SB,GEC平面SBD,DBa^SBD,

贝IJGE//平面SBD,

FE（^^SBD,SBu平面SB。，则FE〃平面SBD,

又GEdFE=E,：.平面FEG〃平面SB。,

*/SO_L平面ABC。，：.S01AC,

又四边形ZBCD是菱形，」.DBIAC,

:SOCDB=0,.XCJ■平面SBD,则4C_L平面FEG,

故只要动点P在平面FEG内即总保持PE1AC,

又动点P在棱锥表面上运动，

动点P的轨迹的周长即为△FEG的周长，

,•・四边形48CD是菱形边长为6,且NB4O=60°,，BD=6,

则OB=0D=3,

又SO=4,.'.SB—SD—5,FE-FG=—,GE=3,

2

.•.△FEG的周长为8,故选D.

【点评】本题主要考查了线面平行以及面面平行的判定定理，考查了线面垂直的判定定理以及性质定理;

解决本题的关键是通过证明平面FEG〃平面SBD,得到AC，平面FEG,进而得到动点P在平面FEG内即总保持

PE1AC.

3.【答案】D

【解析】由展开图可知，直三棱柱ABC-A4cl的底面是边长为次的等边三角形,

其外接圆的半径满足2-嬴布=2,所以r=L

由4TTR2=127T,得R=J5.

由球的性质可知，球心。到底面4BC的距离为d=W?2一产=V2,

结合球和直三棱柱的对称性可知，44=2d=2V2,故选D.

【点评】本题考查直正三棱柱的判定与性质，球面的性质，球的表面积，属基础题，关键是由侧面展开图得

到几何体的形状，并注意球心到球的截面圆心距离与球的半径，截面圆半径之间的关系.

4.【答案】C

【解析】如下图所示，设4。=3,取BC的中点。，B'C'的中点M,连接。4、0M,

在正三棱柱ABC-A'B'C'中,BB7/CG且BB'=CC,

则四边形BB'C'C为平行四边形，BC"B'C旦BC=B'C,

由于0、M分别为BC、B'C'的中点，则且。B=MB',

所以，四边形OBB'M为平行四边形，贝且。M=

•；8夕1平面ABC,则。M_L平面ABC,

为等边三角形，且。为BC的中点，贝IJ041BC,

以点。为坐标原点，。4、OB、0M所在直线分别为小y、z轴建立空间直角坐标系,

则A半。，0、力,|'2)

40=卜竽,|,1,EC=(O,-3,1),

ADEC7

cos<AD,EC>=

MJEC]-715x71520

因此，异面直线4。与EC'所成角的正弦值为,故选C.

【点评】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归

为共面直线问题来解决，具体步骤如下：

(1)平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

(2)认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

(3)计算：求该角的值，常利用解三角形；

(4)取舍：由异面直线所成的角的取值范围是[(),3,当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面

直线所成的角.

5.【答案】AC

【解析】对于A,因为在正方体4BC0-4iBiCiDi中，B】C1

又BGnC1D1=G，BC\,C1D1u平面ABC/i，所以&C1平面4BGD],

而C/u平面,所以81c1CrP,

故这两个异面直线所成的角为定值90。，所以A正确；

对于B,因为平面8PG与面ABCWi是同一平面,

DC//AB,ABu平面CO仁平面四期,

故CD〃平面力BG5,即CC〃平面8PG，故B错误;

对于C,三棱锥D-BPG的体积等于三棱锥P-DBG的体积,

而平面DBG为固定平面，且AOBG大小一定，

又因为P6401，

因为ADi〃BCi，A。仁平面BOQ,BGu平面BOG，所以人名〃平面。,

所以点A到平面DBG的距离即为点P到该平面的距离，为定值，

所以三棱锥。-BPG的体积为定值，故C正确；

对于D,直线CP和直线是异面直线，不可能相交，故D错误，

故选AC.

【点评】本题考查线面平行的判定，线面垂直的判定及性质，异面直线所成的角，直线与平面所成的角，空间

中的距离，正确理解判定定理和性质是解题的关键.

二、填空题.

6.【答案】粤

【解析】连接4N,因为M,N分别为BC,4名的中点，所以4N〃C】M,

故所求角的大小等于/BiNA或其补角，

22

又AN=412+22=V5,B]N=&2+22=2近，ABr=V1+2=6,

8+5—5VIo

所以由余弦定理及勾股定理，|COS/4NA|=

2x2^2x75一号'

故所求角的余弦值为半，故答案为平.

【点评】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归

为共面直线问题来解决，具体步骤如下:

(1)平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

(2)认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

(3)计算：求该角的值，常利用解三角形；

(4)取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,5，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面

直线所成的角.

7.【答案】①②④

【解析】取4c中点F,连接BF,以F为坐标原点，FB为x轴，FC为y轴，过F点作平面力BC的垂线为z轴，

建立空间直角坐标系F一孙z,如图所示，

所以VP_ABC=；PD.S.BC=W

由/M=PB=PC=2,△ABC是正三角形，得三棱锥P-4BC为正三棱锥,

设外接球球心为。，半径为R,则0P=O4=R,且。P〃z轴,

I例=J(*a)2+($2+(,4一？一R)2=R,

-R),

若PC_L8E,则尸C=(―^^。，一幺,一J4—J2),BE=(―5Ga1

-----a、——

62V312---42

42a~a~_

所以尸=+彳~-2+L=0,解得a=2,

2586

j222^/2

所以匕＞_ABC=_jyx2"xJ4——=--一,故选项①正确;

手，所以味O=g乃卜=振万，故选项②正确;

又R

a

若PA1BE,则PA

2,

所以PA-8E=±/—]-2+1=0,解得a=2或,故选项③错误;

2586

又R=।==百，所以S球°=4乃R?=12乃,故选项④正确，

故答案为①②④.

【点评】本题主要考了空间几何体——三棱锥为背景设计问题，要求学生能理解空间几何体的结构特征的基

础上，利用基础知识探究新的问题，涉及了球的几何性质以及球的体积公式、表面积公式的应用，解决空间

问题的一个常用方式是——空间向量法，解题的关键是建立空间直角坐标系，准确求出所需点的坐标，然后

将空间问题转化成向量问题进行处理，对于学生的运算能力有较高的要求.

_y/34乃

8.【答案】—,—

【解析】(1)PA1平面4BC,BCu平面力BC,PA1BC,

又：AS1BC,S.PAdAB=A,:.BC1平面24B,PBu平面PA8，二8clp8,

所以PC是两个直角三角形P4C和PBC的斜边，

取PC的中点。，点。到四点P,A,B,C的距离相等,

=西

即点。是三棱锥P-ABC的外接球的球心,

(2)当点M是截面圆的圆心时，此时圆心到截面的距离最大，那么截面圆的半径最小，即此时的面积最小,

点N是4c的中点，”是△ABC的重心,

:.MN=-BN=-AC=—,ON=-PA=-,

36622

所以CM=（。解+MN2=号,截面圆的半径「='尺2一（0例）2=g.

所以Smin=+=§・

故答案为李，y-

【点评】本题考查了球与几何体的综合问题，考查空间想象能力以及化归和计算能力.

（1）当三棱锥的三条侧棱两两垂直时，并且侧棱长为a,b,c,那么外接球的直径2R=7a2+炉+c2.

（2）当有一条侧棱垂直于底面时，先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，球心在垂线上，根据垂直

关系建立R的方程.

（3）而本题类型，需要过两个平面外接圆的圆心作面的垂线，垂线的交点就是球心.

三、解答题.

9.【答案】（1）证明见解析；（2）-y.

【解析】（1）因为^GH//-AC,所以G"〃，班

=2=4=2

故E,F,G,H四点共面，且直线EH,FG必相交于一点，

设EHCFG=M,

因为MGEH,EH平面力BD,所以M6平面ABD,

同理：MW平面8C0,

而平面48。n平面=BD,故M6BD,

即直线EH,FG必相交于一点，且这个交点在直线BD上.

（2）连结EG,BG,点4到平面EFGH的距离为d,正四面体的棱长为2,

2=半，所以E到平面BFG的距离为乎,

则该正四面体的高为、22-

3

在中，C『=l,CD=±,

2

由余弦定理可得FG=VCF2+CG2-2XCFXCGXCOS60°=—,

2

在等腰梯形EFG”中可得：G到EF的距离为

aan

而G到BF的距离为点。到BF的距离的;，也为言

44

所以△BFG的面积与4BFG的面积相等，由/_BFG=%-EFG可得〃

故点B到平面EFGH的距离为乎.

【点评】求解空间中点尸到平面的距离常用的方法:

(1)空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出平面的法向量根，以及一条斜线的方向向量可,

\PA-m\

根据4=1।।」,即可求出点到面的距离；

(2)等体积法：先设所求点到面的距离，选几何体不同的顶点，求出该几何体对应的体积，列出等量关系,

即可求出点到面的距离.

10.【答案】(1)证明见解析；(2)60。.

【解析】⑴••.441是圆柱的母线，「平面4BC,

因为BCu平面力BC,所以4411BC,

又C是弧AB上的一点，且4B是圆。的直径，:/CIBC,

A4tAC=A,BC1平面4C&,

又BCu平面BCB],平面ACA]_L平面

(2)设圆柱的底面半径为r,母线长为L

2万〃=47r

••.圆柱的体积和侧面积均为4万，」.《，，，，解得r=2,/=1,

rcr"l=47r

即4B=4,=1,

■：AABC=30°,：.AC=2,BC=2圾,

设圆柱过C点的母线为CD,以C为原点，CA,CB,CD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系

C-xyz,如图所示:

则C(0,0,0),B(0,2V3,0),&(2,0,1),B.(0,26，1),

.•.可=(2,0,1),珂=(0,2V3,1),矶=(2,-2V3,1),BB1=(0,0,1),

,、n-CA=02x+z=0

设平面a4的法向量为〃=(x,y,z),由｛=>〈厂，

V-7[〃@=0[2Gy+z=0

取z=2V3,贝ijx=-V3,y=-1,

二平面CA4的一个法向量为〃=(一百,一1,26);

2a-2#>b+c=0

设平面B&B]的法向量为帆=(a/,c),由<=><

m-BB,=0c=0

取b=l,则Q=V5,c=0,

,平面BA/i的一个法向量为机=(6,1,0),

n-m-3-1

COS〈"〃〉=

H-H,3+1+12•J3+12

由图中可看出二面角B-&Bi-C是锐角，故二面角B一4当一C的值为60°.

【点评】证明面面垂直的方法

(1)利用面面垂直的判定定理，先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另外一个平面内或与另

外一个平面内的一条直线平行即可；

(2)利用性质：a耶,01y=aly(客观题常用);

(3)面面垂直的定义(不常用);

（4）向量方法：证明两个平面的法向量垂直，即法向量数量积等于0.

V2

II.【答案】（1）证明见解析；（2）一.

6

【解析】（1）当。=2时，4P=48,点尸是BP的中点，・・・/尸，BP,

又•・•4P1平面ABC。，：.ADLAP,且40148,APC\AB=A,

••・，平面P4B,BPu平面PAB,AADA.BP,

又AFC\AD=A,BPJL平面4DEF.

（2）%-A3。=；XSA8CZ）XAP=；xgx（2+4）x2xAP=2,解得“p=l,

如图，以/为原点，48,AO,AP,为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系,

4（0,0,0）,P（0,0,1）,C（2,2,0）,D（0,4,0）,PC=（2,2,-1）,PD=（0,4,-1）,

m•PC-02x+2y-z=0

设平面PC。的法向量机=（x,y,z）,则

m-PD=Q4y-z=0

令y=l,PJiJx=1,z=4,/./n=（1,1,4）;

显然48，平面PAD,设平面PAD的法向量〃=（1,0,0）,

mn1V2

cos<m,n>=

网同71+1+426

V2

•••二面角4-PD-C是锐二面角，二二面角4-PD-C的余弦值是一

6

【点评】本题考查线面垂直判断，以及利用空间向量求解二面角的余弦值，属于中档题.

12.【答案】（1）答案见解析；（2）

4

【解析】（1）第一步：在平面ABC。内作GH〃3C交C。于点”；

第二步：在平面SCQ内作HP〃SC交S。于点P;

第三步：连接GP,点尸、GP即为所求.

（2）因P是SC的中点，HP//SC,所以H是CD的中点,

而GH//BC,所以G是的中点.

连接AC,GC交于0,连接SO,设S在底面ABC。的射影为M,

因为S4=SB=S。，所以AL4=MB=M。，即M为△4B0的外心,

所以M与。重合,

因为。。=乎，SD=2,

所以50=咨"=2=殍，

过。作。E//GB交BC于点E,以赤，0E,历分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

所以S8=

⑺百工2V6

n-SB=——x+y--------z=0n

设平面SBC的法向量为〃=(x,y,z),贝卜33

n-BC=-y/3x+y=0

取2=&,则尤=1,y-V3,所以〃=（1,6,血）,

又GB1平面SG。，故GB=(O,1,0)为平面SGD的法向量,

设平面SBC与平面SGD所成锐二面角的大小为0,

\nGB_6—夜

则cos®=一FF

|»||GB

TT

因为'所以—

TT

故平面SBC与平面SGD所成锐二面角的大小为“

【点评】本题在建立空间直角坐标系前，首先利用垂直关系得到。。=竽，5。=孚

OC=：AC=£*,否则建立坐标系后不能写出向量坐标，因此建系之前需要证明垂直关系，寻求数量关

系.

13.【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】(1)证明：因为EF/A4D,乙1DC=9O。，所以NCFE=90。，

则EF_LDF,即EF1Z/F.

又平面D'AEF1平面EFCB,

^D'A'EFC\^EFCB=EF,所以D'F1平面BCFE,所以D'FlCF,

又由NCFE=90。，可知EF-LCF,且D'FnEF=F,

所以CF_L平面。'4EF.

取CF的中点。，连接MQ,BQ,

依题意可得四边形EFQB为平行四边形，则BQ//EF.

因为M为0工的中点，所以MQ〃。/，

又BQCMQ=Q,所以平面BMQ//平面44EF,所以CF_L平面BMQ,

因为BMu平面BMQ,所以CF1BM.

（2）解：如图，分别以FE,FC,FD'为x,y,z轴建立空间直角坐标系产一型，

则D'(0,0,2),8(2,2,0),C(0,4,0),0^=(2,2,-2),BC=(-2,2,0).

.、=2x+2y-2z=0

设平面Z/BC的法向量/=(x,y,z),贝"，

niBC=-2x+2y=0

令x=1,得〃i=(1,1,2);

易知平面AD'FE的一个法向量吗=尸。=(0,4,0),

且",〉=靖=福邛’

故平面与平面D'BC所成锐二面角的余弦值为一.

6

【点评】本题考查证明线线垂直，考查用空间向量法求二面角，解题方法是建立空间直线坐标系，求出二面角

的两个面的法向量，由法向量夹角的余弦值得出二面角的余弦值.这种方法把立体几何中的证明转化为计算,

便于学生思考.

©高频易错题

一、选择题.

1.【答案】C

【解析】A.若mJLn,mla,nip,相当于两平面的法向量垂直，两个平面垂直，A正确；

B.若m//n,m1a,则n1a,

又n〃凡则平面口内存在直线c〃m所以cla,所以al/?,B正确；

C.若mln,m//a,n〃氏则a,£可能相交，可能平行，C错；

D.若m〃n,mla,nl£,则a,。的法向量平行，所以a〃凡D正确，

故选C.

【点评】本题考查两平面平行与垂直的判断，掌握两平面平行与垂直的和性质定理是解题关键.另外从空间

向量角度出发，利用平面的法向量之间的关系判断两平面平行与垂直也是一种行之有效用较简单的方法.

二、解答题.

3

2.【答案】（1）证明见解析；（2）j.

【解析】（1）因为四边形ABCD为菱形，所以4D〃BC,

"ADC平面BCEF,BCu平面BCEF,.-.AD//平面BCEF,

因为平面ADEFn平面BCEF=直线EF,/Wu平面ADEF,所以EF〃40.

（2）因为四边形4BCD为菱形，所以AC1BD,

因为。Fl平面ABCD,所以以。为坐标原点、OA,OB,OF为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

取CO中点连接EM,0M,

V^BAD=60°,BC=2,OA=OC=遮，OB=OD=1,

•••BC=CD=CE=DE=2,.•・△CDE为正三角形，EM=V3,

OM//BC,OM=、BC,EF//BC,EF’BC,

22

：.EF//OM,EF=OM,：.OF//EM,OF=EM,

-孚-；，百，

从而A(G,0,0),3(0,1,0),C(-V3,o,o),D(0,-l,0),E

7

6x+y=0

,、m-DA=0

设平面4DEF一个法向量为机=(x,y,z),则｛,即〈

一号+；y+>/3z=0

令x=l,y=-V3,z=l,m=(1,-V3,1);

-y/3x-y=0

n-BC=。

设平面BCEF一个法向量为n=(x,y,z),贝叫，即《一旦+4-Gz=0

n-EC^O

令x=l,y=-V3,z=-1,n=(1,-V3,-1),

ti33

:.cos<m,n>=।~j-j—।=—,因此二面角A—EF—B的余弦值为一.

|/n|-|n|55

【点评】求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向

量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.

。精准预测题

一、选择题.

1.【答案】C

【解析】(1)如图，当直线与，异面时，则只有一种情况;

//Z

(2)当直线4B与，平行时,则有无数种情况，平面a可以绕着।转动；

B

(3)如图，当/过线段4B的中垂面时,有两种情况.

A・-B

/J/

/

故选C.

【点评】本题考查空间向量直线与平面的位置关系的应用,平面的基本性质的应用，是中档题.

2.【答案】A

【解析】根据题意作出礼盒的直观图如下图所示：

1

由图可知该几何体为直三棱柱，

设等腰三角形的内切圆半径为R,

又因为等腰三角形的高为'122-42=8V2,

12+12+8D8x8侦

所以根据等面积法可知:----------------R=----------所--以R=2a,

22

又因为正方形的边长为8,所以H=20〈的=4,

2

所以球形硬糖的半径最大值为2&,所以体积V的最大值为g万),

故选A.

【点评】解答本题的关键是通过分析等腰三角形的内切圆的半径以及半径与正方形边长的大小关系，确定出

球形的最大半径，由此完成求解.

3.【答案】B

1T

【解析】设乙4BD=a,可得NABC=u—a，则a为锐角，

2

在四面体ABC。中，AB=6,BC=3,BD=4,

则BA.(8C+町=BA-BC+BA-BD=\B^BC\cos[^--a\+\B^BD\cosa

=18sina+24cosa=3Osin(a+0),

4

其中9为锐角，且tan°=§.

0<a<—1则夕<二+夕<,+9，

所以，当a+0=］时，次瓯+而)取得最大值30,故选B.

【点评】在计算向量的数量积时，要确定好基底向量，作为基底向量的向量，长度以及向量间的夹角需已

知.

4.【答案】B

7T

【解析】由题意可得

2

TT

连接BD,则4BDE为等边三角形，所以N5E0=e=w，

连接当。，贝1J&D=722+22+42=2^6,BE=DE=V22+22=2企，

取Bi。的中点。，连接E0,则当。=①，E0=V8^6=V2,

r2

所以tan/g£O=W=百，所以/4£。=三，即/片即=7=皇

所以y>a>8,故选B.

【点评】本题主要考查了棱柱的结构特征，属于中档题.

二、填空题.

「­4、32万

5.【答案】--

3

【解析】设该正四棱锥为P-4BC。，该正四棱锥的棱长为a,取正方形ABCO的中心E,连接PE,

由于该正四棱锥的表面积为/+4'/2疝60。=(6+1)/=8+86，解得。=2企,

所以，AC=\[2a=4,AE=—AC=2,

2

•••E为正四棱锥P-力BCD底面的中心，则PE，平面4BCD,

"ACu平面ABCD,PE_L平面ABCD,PE=VP/12-AE2=2,

所以，EA=EB=EC=ED=EP=2,

所以，点E为四棱锥P-ABCD的外接球球心，则球E的半径为2,

AaGQG

因此，该四棱锥外接球的体积是丫=；乃x2'=一故答案为一

333

【点评】求空间多面体的外接球半径的常用方法：

①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去

求解;

②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径;

③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球

心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.

6.【答案】①②④

【解析】对于①，正方体4BCD-aB1GD1中，IA4,,\DX^AB,

A4tAB=A,力也1平面44P,

_L平面AAP,••・平面24P_L平面4遇P,故①正确；

对于②，54皿=gxlxl=g,P到平面CDD1的距离BC=1,

•・・三棱锥Di-CDP的体积：VD「CDP=%的=；xgxl=：,为定值，故②正确;

对于③，以。为原点，。力为x轴，0C为y轴，0A为z轴，建立空间直角坐标系，

。(0,0,1),B(l,1,0),C(0,1,0),

设P(l,