2021-2022学年四川省成都市彭州金光通济中学高三数学理模拟试题含解析

2021-2022学年四川省成都市彭州金光通济中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.偶函数f（x）满足f（x﹣1）=f（x+1），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x，则函数g（x）=f（x）﹣lgx在x∈（0，10）上的零点个数是（）A．10 B．9 C．8 D．7参考答案：B【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【分析】根据已知条件推导函数f（x）的周期，再利用函数与方程思想把问题转化，画出函数的图象，即可求解．【解答】解：∵f（x﹣1）=f（x+1）∴f（x）=f（x+2），∴原函数的周期T=2．又∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x）．又当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x，∴x∈[0，1]时，f（x）=x，函数的周期为2，∴原函数的对称轴是x=1，且f（﹣x）=f（x+2）．设y1=f（x），y2=lgx，x=10，y2=1函数g（x）=f（x）﹣lgx在（0，10）上的零点的个数如图：即为函数y1=f（x），y2=lgx的图象交点的个数为9个．函数g（x）=f（x）﹣lgx有9个零点故选：B．2.函数，若，则实数a取值范围是(

)A．

B．[-1,0]

C．[0,1]

D.[-1,1]参考答案：D略3.设，则二项式展开式中常数项是（）A．160B．﹣160C．180D．﹣180参考答案：B考点：二项式定理；微积分基本定理．专题：计算题．分析：根据微积分基本定理求得a的值，求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．解答：解：由于=（sinx﹣cosx）=2，则二项式即，它的展开式的通项公式为Tr+1=?（﹣1）r?（2x）6﹣r?x﹣r=?x6﹣2r．令x的幂指数6﹣2r=0，解得r=3，故二项式展开式中常数项是=﹣160，故选B．点评：本题主要考查微积分基本定理，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．4.已知A={（x，y）|x2+y2≤π2}，B是曲线y=sinx与x轴围成的封闭区域，若向区域A内随机投入一点M，则点M落入区域B的概率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】CF：几何概型．【分析】先求构成试验的全部区域为圆内的区域的面积，再利用积分知识可得正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M的面积，代入几何概率的计算公式可求．【解答】解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为π3，正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M，根据图形的对称性得：面积为S=2∫0πsinxdx=﹣2cosx|0π=4，由几何概率的计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率P=，故选：D．5.执行如图所示的程序框图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：D【考点】EF：程序框图．【分析】根据已知中的程序框图可得：该程序的功能是计算并输出分段函数y=的函数值，分段讨论满足y=x的x值，最后综合讨论结果可得答案．【解答】解：根据已知中的程序框图可得：该程序的功能是计算并输出分段函数y=的函数值当x≤1时，y=x3=x，解得x=﹣1或x=0或x=1，这三个x值均满足条件；当1＜x≤3时，y=3x﹣3=x，解得x=，满足条件；当x＞3时，=x，解得x=﹣1或x=1，这两个x值均不满足条件；综上所述，满足条件的x值的个数是4个．故选D【点评】本题考查的知识点是程序框图，分析出程序的功能是解答的关键．6.若loga2＜0，2b＞1，则（

）A．0<a<1，b＞0B．a＞1，b＜0C．a>1，b＞0D．0＜a＜1，b＜0参考答案：A7.已知复数z满足z（1+i）=1（其中i为虚数单位），则z的共轭复数是(

)A． B． C． D．参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：∵z（1+i）=1，∴==，∴=．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．8.已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是(

)A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．1参考答案：A【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】首先画出平面区域，z=﹣2x+y的最大值就是y=2x+z在y轴的截距的最大值．【解答】解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线y=2x+z经过A时使得z最大，由得到A（1，1），所以z的最大值为﹣2×1+1=﹣1；故选：A．【点评】本题考查了简单线性规划，画出平面区域，分析目标函数取最值时与平面区域的关系是关键．9.已知直线、,平面，则下列命题中：

①．若，,则

②．若，,则③．若，,则④．若，,,则，其中真命题有（

）A．0个

B．1个

C．2个

D．3个参考答案：B10.如图，正六边形ABCDEF中，A. B. C. D.参考答案：D因为,所以,选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的图像恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0(mn>0)上，则的最小值为___________.参考答案：4略12.已知实数满足，如果目标函数的最小值为-1，则实数

.

参考答案：13.若点满足线性约束条件的取值范围是

．参考答案：[﹣2,0)略14.已知中，，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，点D在边BC上，AD=l，且BD=2DC，∠BAD=2∠DAC，则__________.参考答案：由及∠BAD=2∠DAC，可得，由BD=2DC，令DC=x，则BD=2x，因为AD=1，在△ADC中，由正弦定理得，所以，在△ABD中，所以.15.等差数列{an}的公差为2，且成等比数列，那么

，数列{an}的前9项和

．参考答案：2，90∵成等比数列,∴，∴(a1+3×2)2=(a1+2)(a1+7×2)，解得a1=2.∴则.

16.已知函数，若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围是

.参考答案：

【知识点】函数的零点与方程根的关系B9解析：∵函数g（x）=f（x）﹣x﹣b有且仅有两个零点，∴函数f（x）=与函数y=x+b的图象有且仅有两个交点，作函数f（x）=与函数y=x+b的图象如下，当b=0时，有一个交点，是一个临界值，当直线y=x+b与f（x）=相切时，f′（x）==；故切点为（1，1）；故b=1﹣=；结合图象可得，0＜b；故答案为：．【思路点拨】由题意可转化为函数f（x）=与函数y=x+b的图象有且仅有两个交点，从而作图求解即可．17.执行右图所示的程序框图，则输出的结果是（

）A．

B．

C． D．参考答案：C略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）从总体中抽取容量为50的样本，数据分组及各组的频数如下：分组［22.7，25.7）［25.7，28.7）［28.7，31.7）［31.7，34.7）［34.7，37.7）频数4230104（Ⅰ）估计尺寸在［28.7，34.7）的概率；（Ⅱ）从样本尺寸在［22.7，28.7）中任选2件，求至少有1个尺寸在［25.7，28.7）的概率.参考答案：解：（Ⅰ）尺寸在［28.7，34.7）中共有40个，所以所求的概率为--------4分（Ⅱ）设尺寸在［22.7，25.7）中的产品编号为，在［25.7，28.7）中产品编号为，从样本中尺寸在［22.7，28.7）中任选2件共有：，15种情况；

-------------------7分其中至少有1个尺寸在［25.7，28..7）中的有：9种情况-----------------------------10分因此所求概率为

--------------------------------12分

略19.[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C．若，求BC的长．参考答案：证明：连结OC．因为PC与圆O相切，所以OC⊥PC．又因为PC=，OC=2，所以OP==4．又因为OB=2，从而B为Rt△OCP斜边的中点，所以BC=2．

20.（本小题满分12分）

某单位为了丰富职工的业余生活，迎接“春节文艺汇演”，组织了10人参加“生活小百科”

知识竞赛，每人回答2个问题，答对题目的个数及对应人数统计结果如下表根据以上信息解答以下问题：(I)从10人中任选3人，求3人答对题目个数和为4的概率；(Ⅱ)从10人中任选2人，用X表示2人答对题目个数之和，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)．参考答案：21.（本小题满分15分）已知椭圆的右焦点为F，离心率为，过点F且与长轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，O为坐标原点．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设经过点M（0，2）作直线AB交椭圆C于A、B两点，求△AOB面积的最大值；（Ⅲ）设椭圆的上顶点为N，是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，使点F为△PQN的垂心?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．参考答案：（Ⅰ）设，则，知.过点且与轴垂直的直线方程为，代入椭圆方程，有，解得.于是，解得.又，从而.所以椭圆的方程为．

…………（5分）（Ⅱ）设，.由题意可设直线的方程为.由消去并整理，得.由，得.由韦达定理，得.点到直线的距离为，，.设，由，知.于是.由，得.当且仅当时等号成立.所以△面积的最大值为.…………（10分）（Ⅲ）假设存在直线交椭圆于，两点，且为△的垂心.设，因为，，所以.由，知．设直线的方程为，由得．由，得，且,．由题意，有.因为，所以，即，所以．于是．解得或．经检验，当时，△不存在，故舍去．当时，所求直线存在，且直线的方程为．……………（15分）22.已知定义在R上的函数是奇函数（1）求a，b的值；（2）判断f（x）的单调性，并用单调性定义证明；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t﹣2t2）+f（﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．【分析】（1）由f（x）是定义在R上的奇函数，知，故b=1，，，由此能求出a=b=1．（2），f（x）在R上是减函数．证明：设x1，x2∈R且x1＜x2，=﹣，由此能够证明f（x）在R上是减函数．（3）不等式f（t﹣2t2）+f（﹣k）＞0，等价于f（t﹣2t2）＞f（k），由f（x）是R上的减函数，知t﹣2t2＜k，由此能求出实数k的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函