上海松江区叶榭中学 2021年高三数学理期末试卷含解析

上海松江区叶榭中学2021年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知A，B，C，D四点均在以点为球心的球面上，且，.若球在内且与平面BCD相切，则球直径的最大值为（

）A.1 B.2 C.4 D.8参考答案：D如图所示:取CD的中点O,连接AO,BO,如图，因为BC=BD=，,所以因为，所以AO⊥CD,且AO=2，又因为OD=4，BO=4，所以故AO⊥OB，又BO∩CD=O,所以AO⊥平面BCD,所以在AO上，连接,设则即解之得R=5，球的直径最大时，球与平面BCD相切且与球内切，A,O,四点共线，此时球的直径为R+=8.故选D.点睛：本题是一个难题，只有通过计算，认清以A,B,C,D为顶点的三棱锥的图形特征，正确判断球心的位置，借助方程求出球的半径，直观判断球心的位置，才能迎刃而解.2.设A、B是非空集合，定义，已知，，则等于A．

B．

C．[0，1]

D．[0，2]参考答案：答案：A3.已知，向量在向量方向上的投影为，则=（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B4.已知函数在上满足，则曲线在点）处切线的斜率是

（

）A．2

B．1

C．3

．D．参考答案：A5.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是（

）A．2 B． C．

D．3参考答案：D6.过点M(1，)向抛物线C:y2=ax的准线作垂线，垂足为D，若|MD|=|MO|(其中O是坐标原点)，则a=A.8

B.4

C.6

D.-8或8参考答案：A7.已知为任意非零向量，有下列命题：①；②；③，其中可以作为的必要不充分条件的命题是A.①②③

B.②③

C.①②

D.①参考答案：答案：A8.设等差数列的前项和为，在同一个坐标系中，及的部分图象如图所示，则（

）A.当时，取得最大值 B.当时，取得最大值C.当时，取得最小值 D.当时，取得最小值参考答案：【分析】本题是综合考察等差数列及其前项和性质的问题，其中对逻辑推理的要求很高。首先，考生需要对于图象中三个点具体表示的含义有做出具体详尽的分析，三个点的含义是处理这个问题的前提和基础，要分析清楚含义，考生要有有条理清晰的分析能力及较好的数列基础。当分析出三个点的含义之后，对于前项和的最值问题也存在两种做法，第一种可以直接利用题目中点的坐标完成数列通项公式的求解，第二种方法就是直接利用等差数列的性质进行处理。本题的难度较高，对学生的数学思维能力提出了挑战，十分符合北京高考的命题思路和方向，熟悉的知识点，但是给出了不同于以往的题目特征。【解】A.首先分析图象中三个点各自的含义，若横坐标为的点表示，那么的情况分为两种：（1），在这种情况下，根据图象可知，必然小于，但我们可以根据图象发现，，，等差数列为单调递减的，说明数列从第一项至第七项应该都是大于的，那么前7项和，与图象给出的信息矛盾，故不成立；（2），在这种情况下，根据图象可以推理出前7项和，但是，，说明数列单调递增，且从第一项至第八项均小于，那么前7项和必然大于，又产生矛盾。说明横坐标为处的点表示的是数列的前8项和，此时需要分析横坐标为处的两个点各自的含义，若，则，说明数列单调递减，那么可知数列在第一项至第8项均为正数，那么，与图象信息矛盾，故，，，可以解得，可知等差数列公差为，接下来可以有两种基本思路去处理。方法一：直接求解数列通项，根据公差，解得，那么可以解得前项和的表达式为，可知其对称轴，距它最近的整数为，故其在时取最大值，故选A.方法二：从前项和的最值性质可以看出，数列本身正负发生改变的地方是产生最值的地方，根据分析可知，，那么，，可见，数列从第一项至第四项均是正数，此时前项和越加越大，最大值在第四项取到，故选A.9.已知为抛物线上不同两点，且直线倾斜角为锐角，为抛物线焦点，若

则直线倾斜角为

A．

B.

C.

D.

参考答案：D10.已知双曲线的右焦点也是抛物线的焦点，与的一个交点为，若轴，则双曲线的离心率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A本题主要考查双曲线和抛物线的性质.根据题意,,设双曲线的另一个焦点为,则,因为为直角三角形,所以,根据双曲线的定义,,所以,所以双曲线的离心率为=,故选A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设，则的内角=___________.参考答案：12.已知函数f(x)=x2(ax+b)(a,b∈R)在x=2时有极值，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线3x+y=0平行，则函数f(x)的单调减区间为__________________.参考答案：略13.函数的导函数为__________.参考答案：略14.已知集合M={﹣1，1}，，则M∩N=

．参考答案：{﹣1}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：把集合N中的不等式变形后，利用指数函数的单调性列出关于x的不等式，求出解集中的整数解即可得到集合N的元素，然后利用求交集的法则求出M与N的交集即可．解答： 解：集合N中的不等式可化为：2﹣1＜2x+1＜22，因为2＞1，所以指数函数y=2x为增函数，则﹣1＜x+1＜2即﹣2＜x＜1，由x∈Z得到x的值可以是﹣1和0所以N={﹣1，0}，则M∩N═{﹣1，1}∩{﹣1，0}={﹣1}故答案为：{﹣1}点评：本题属于以函数的单调性为平台，求集合的交集的基础题，是2015届高考常会考的题型．15.．不等式的解集为

．参考答案：略16.设a=(1,1),b=(1,2),c=b+ka，若a⊥c,则k=

.参考答案：17.在的展开式中，常数项为．参考答案：60略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数．（1）求证：；（2）解不等式．参考答案：（1），------------------3分又当时，，

∴-----------------------------------------------5分（2）当时，；

当时，；

当时，；-------------------------8分

综合上述，不等式的解集为：．-------------------10分19.已知数列的各项均为正数，前项和为，且（Ⅰ）求证数列是等差数列；（Ⅱ）设求．参考答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【知识点】数列的求和；等差数列的通项公式；等差关系的确定．D2D4（Ⅰ）

①

②①-②得：整理得：数列的各项均为正数，时，数列是首项为公差为的等差数列

6分（Ⅱ）由第一问得

12分【思路点拨】（Ⅰ）首先由递推式求出a1，把递推式两边同时乘以2后用n﹣1替换n，两式作差后可断定数列是等差数列；（Ⅱ）求出等差数列的通项公式，代入bn后运用错位相减法求数列{bn}的前n项和Tn．20.(本小题12分)已知函数.（1）求的最小正周期；（2）在中，分别是A、B、C的对边，若，，的面积为，求的值.参考答案：（1）

（2）由，，又的内角，，，，，，，21.已知函数的图象在处的切线l过点.（1）若函数，求的最大值（用a表示）；（2）若，证明：.参考答案：(1)；(2)证明见解析.试题分析：(1)由题意可得：.结合导函数研究函数的单调性可得.(2)由题意结合(1)的结论有，构造函数，结合函数的特征即可证得题中的结论.试题解析：（1）由，得，的方程为，又过点，∴，解得.∵，∴，当时，，单调递增；当时，，单调递减.故.（2）证明：∵，∴，，∴令，，，令得；令得.∴在上递减，在上递增，∴，∴，，解得：.22.在椭圆中，称过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆所截得的弦为椭圆的“通径”．已知椭圆的左、右焦点分别为、，其离心率为，通径长为3．（1）求椭圆的方程；（2）如图所示，过点的直线与椭圆交于、两点，、分别为、的内心，延长与椭圆交于点，求四边形的面积与的面积的比值；（3）在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：解：（1）由题