不定积分教案

不定积分教案

教学目的：本章教学旨在让学生理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的基本公式、性质、换元积分法和分部积分法，以及会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。教学重点：不定积分的概念、性质及基本公式、换元积分法和分部积分法。教学难点：换元积分法、分部积分法、三角函数有理式的积分。§4.1不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念定义1：如果在区间I上可导函数F(x)的导函数为f(x)，即对任一x∈I，都有F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数。例如，因为sinx的导函数为cosx，所以sinx是cosx的原函数。又如当x∈(1,+∞)时，因为(x)'=1/2x，所以x是1/2x的原函数。提问：除了cosx和1/2x，还有哪些原函数？原函数存在定理：如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使得对任一x∈I都有F'(x)=f(x)。简单地说就是：连续函数一定有原函数。两点说明：第一，如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x)，那么f(x)就有无限多个原函数，F(x)+C都是f(x)的原函数，其中C是任意常数。第二，f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数，即如果Φ(x)和F(x)都是f(x)的原函数，则Φ(x)-F(x)=C(C为某个常数)。定义2：在区间I上，函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分，记作∫f(x)dx。其中记号∫称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量。根据定义，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即∫f(x)dx=F(x)+C。因而不定积分∫f(x)dx可以表示f(x)的任意一个原函数。例1：因为sinx是cosx的原函数，所以∫cosxdx=sinx+C。例2：求函数f(x)=1/(xlnx)的不定积分。解：当x>0时，(lnx)'=1/x，所以lnx是1/x的原函数。因此，f(x)的原函数为ln|lnx|+C，所以∫f(x)dx=ln|lnx|+C。不定积分的计算方法一、基本积分公式对于基本初等函数，有一些常用的积分公式，这些公式可以大大简化积分的过程。例如：$$\intx^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\neq-1)$$$$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$$$$\inte^xdx=e^x+C$$$$\int\sinxdx=-\cosx+C$$$$\int\cosxdx=\sinx+C$$二、不定积分的性质1.函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和，即$$\int[f(x)+g(x)]dx=\intf(x)dx+\intg(x)dx$$这是因为，$[\intf(x)dx+\intg(x)dx]'=\intf(x)dx+\intg(x)dx=f(x)+g(x)$。2.求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即$$\intkf(x)dx=k\intf(x)dx\quad(k\neq0)$$三、例题例1：计算$\intx(x-5)dx$解：$$\intx(x-5)dx=\intx^2dx-5\intxdx=\frac{x^3}{3}-\frac{5x^2}{2}+C$$例2：计算$\int\frac{1}{x^2}dx$解：$$\int\frac{1}{x^2}dx=-\int\frac{1}{x}d(\frac{1}{x})=-\frac{1}{x}+C$$例3：计算$\int\frac{1}{1+x^2}dx$解：$$\int\frac{1}{1+x^2}dx=\arctanx+C$$例4：计算$\inte^{2x}\sin3xdx$解：$$\inte^{2x}\sin3xdx=\frac{1}{2}\inte^{2x}d(\cos3x)-\frac{3}{2}\inte^{2x}\cos3xdx=\frac{1}{2}e^{2x}\cos3x-\frac{3}{2}\inte^{2x}\cos3xdx$$对于$\inte^{2x}\cos3xdx$，同样可以使用分部积分法，得到：$$\inte^{2x}\cos3xdx=\frac{1}{2}e^{2x}\sin3x+\frac{3}{2}\inte^{2x}\sin3xdx$$将其代入原式，得到：$$\inte^{2x}\sin3xdx=\frac{1}{13}(e^{2x}\sin3x-2e^{2x}\cos3x)+C$$例5：计算$\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$解：$$\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsinx+C$$本文介绍了不定积分中的第一类换元法，即根据复合函数微分法，将被积函数中的变量替换为另一个可导函数的变量，从而将原函数转化为另一个函数的原函数。文章给出了换元公式和应用方法，并通过几个例子来说明具体操作。例子中展示了如何将被积函数转化为f(u)du的形式，进而求出原函数F(u)，再将u替换为原来的变量，得到最终结果。需要注意的是，换元法的成功与否取决于是否能够找到一个合适的替换变量，因此需要观察被积函数的形式，选择合适的u来进行替换。需要注意的是，文章中存在一些排版和格式上的错误，需要进行修正。同时，有一些段落表述不够清晰，需要进行改写。例19.求$\int_{-a}^{a}\frac{a^2-x^2}{a^2+x^2}dx(a>0)$。解：设$x=asint,-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2}$，则$\frac{a^2-x^2}{a^2+x^2}=cos^2t$，$dx=acostdt$，于是$\int_{-a}^{a}\frac{a^2-x^2}{a^2+x^2}dx=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}a^2cos^2tdt=a^2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+cos2t}{2}dt=\frac{a^2}{2}[\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}sin2t]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=a^2\pi$。因此，$\int_{-a}^{a}\frac{a^2-x^2}{a^2+x^2}dx=a^2\pi$。高等数学课程建设组9高等数学教案第四章不定积分例20.求$\int\frac{dx}{x^2+a^2}$。解法一：设$x=a\tant,\-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2}$，则$x^2+a^2=a^2\sec^2t$，$dx=a\sec^2tdt$，于是$$\int\frac{dx}{x^2+a^2}=\int\frac{\sec^2t}{a\tant}\dt=\int\frac{\cost}{\sint}\dt=\ln|\sint|+C.$$因为$\sint=\frac{x}{a},\\cost=\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{a}$，所以$$\int\frac{dx}{x^2+a^2}=\ln\left|x+\sqrt{a^2+x^2}\right|+C_1.$$解法二：设$x=a\operatorname{arcsinh}t$，则$$\int\frac{dx}{x^2+a^2}=\int\frac{\operatorname{cosh}t}{a\operatorname{sinh}t}\dt=\ln\left|\frac{x}{a}+\sqrt{\left(\frac{x}{a}\right)^2+1}\right|+C_2.$$例23.求$\int\frac{dx}{x^2-a^2}$。当$x>a$时，设$x=a\operatorname{sec}t\(0<t<\frac{\pi}{2})$，则$x^2-a^2=a^2\tan^2t$，$dx=a\sect\tantdt$，于是$$\int\frac{dx}{x^2-a^2}=\int\frac{\sect\tant}{a\sect}\dt=\int\frac{\sint}{\cost}\dt=\ln|\cost|+C.$$因为$\cost=\frac{a}{x},\\sint=\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x}$，所以$$\int\frac{dx}{x^2-a^2}=\ln\left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|+C_3.$$由于$\tant=\frac{x-a}{\sqrt{x^2-a^2}},\sect=\frac{1}{\cost}=\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}$，所以$$\int\frac{1}{x^2-a^2}dx=\ln|\sect+\tant|+C=\ln\left|\frac{x}{a}+\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}\right|+C=\ln\left|\frac{x+\sqrt{x^2-a^2}}{a}\right|+C_1,$$其中$C_1=C-\lna$。当$x<a$时，令$x=-u$，则$$\int\frac{1}{x^2-a^2}dx=-\int\frac{1}{u^2-a^2}du=-\ln|u+\sqrt{u^2-a^2}|+C=\ln\left|\frac{-x+\sqrt{x^2-a^2}}{a}\right|+C_2,$$其中$C_2=C-2\lna$。综上所述，$$\int\frac{1}{x^2-a^2}dx=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C_1\quad(x>a),$$$$\int\frac{1}{x^2-a^2}dx=\ln|x-\sqrt{x^2-a^2}|+C_2\quad(x<-a).$$补充公式：$$\int\tanxdx=-\ln|\cosx|+C,$$$$\int\cotxdx=\ln|\sinx|+C,$$$$\int\secxdx=\ln|\secx+\tanx|+C,$$$$\int\cscxdx=\ln|\cscx-\cotx|+C,$$$$\int\frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C,$$$$\int\frac{1}{ax^2+bx+c}dx=\begin{cases}\frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}\arctan\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}+C_1,&(4ac>b^2)\\-\frac{1}{a}\ln|ax^2+bx+c|+C_2,&(4ac<b^2)\end{cases}$$其中$C,C_1,C_2$为常数。二、三角函数有理式的积分三角函数有理式是由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数。其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算。由于各种三角函数都可以用sinx及cosx的有理式表示，故三角函数有理式也就是sinx、cosx的有理式。为了求三角函数有理式的积分，可以采用将sinx、cosx表示成tanx的函数的方法，然后进行变换u=tanx。变换后，原积分变成了有理函数的积分。例如，对于求积分$\int\frac{1+\sinx}{2\sinx(1+\cosx)}dx$，我们可以先将sinx和cosx表示成tanx的函数，然后进行变换u=tanx。最终得到的积分为$\int\frac{1}{1+u^2}du$，可以通过简单的代数运算得到结果为$\tan^{-1}u+C=\tan^{-1}\tanx+C=x+C$。说明：并非所有的三角函数有理式的积分都需要通过变换化为有理函数的积分。三、简单无理函数的积分无理函数的积分一般需要采用第二换元法，将根号消去。例如，对于求积分$\int\frac{x-1}{x}dx$，我们可以设$x-1=u^2$，然后进行代数运算得到结果为$x=u^2+1$，从而得到$\int\frac{x-1}{x}dx=\int\frac{u^2}{u^2+1}du=u-\tan^{-1}u+C=\sqrt{x}-\tan^{-1}\sqrt{x}+C$。需要注意的是，有些无理函数的积分可能需要采用其他的方法来求解。§4.5积分表的使用为了方便实用，常用的积分公式被汇集成表，这种表被称为积分表。积分的计算比导数的计算更加复杂和灵活。在求积分时，可以根据被积函数的类型，直接或经过简单变形后，在表内查找所需的结果。一、含有$ax+b$的积分1.$\int\frac{1}{ax+b}dx=\frac{1}{a}\ln|ax+b|+C$2.$\int(ax+b)^{\mu}dx=\frac{1}{a(\mu+1)}(ax+b)^{\mu+1}+C,(\mu\neq-1)$3.$\int\frac{1}{(ax+b)^{\mu+1}}dx=\frac{1}{a\mu(ax+b)^{\mu}}+C,(\mu\neq-1)$4.$\int\frac{x}{(ax+b)^2}dx=-\frac{1}{a(ax+b)}+C$5.$\int\frac{1}{x(ax+b)}dx=-\frac{1}{b}\ln|ax+b|+C$6.$\int\frac{1}{x^2(ax+b)}dx=-\frac{1}{b}\int\frac{1}{ax+b}dx-\frac{1}{ab}\ln|ax+b|+C$二、含有$ax^2+bx+c$的积分1.$\int\frac{1}{ax^2+bx+c}dx=\begin{cases}\frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}\arctan\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}+C,&4ac>b^2\\\frac{1}{\sqrt{b^2-4ac}}\ln\left|\frac{2ax+b-\sqrt{b^2-4ac}}{2ax+b+\sqrt{b^2-4ac}}\right|+C,&4ac<b^2\end{cases}$2.$\int\frac{x}{ax^2+bx+c}dx=\frac{1}{2a}\ln|ax^2+bx+c|-\frac{b}{2a}\int\frac{1}{ax^2+bx+c}dx+C$3.$\int\frac{1}{ax^2+bx+c}dx=\begin{cases}\frac{1}{\sqrt{ac}}\ln\left|\frac{\sqrt{a}x+\sqrt{c}}{\sqrt{a}x-\sqrt{c}}\right|+C_1,&4ac>b^2\\\frac{2}{\sqrt{b^2-4ac}}\arctan\frac{2ax+b}{\sqrt{b^2-4ac}}+C_2,&4ac<b^2\end{cases}$4.$\int\frac{1}{(ax^2+bx+c)^2}dx=\frac{1}{4ac-b^2}\left[\frac{2ax+b}{ax^2+bx+c}+\frac{2a}{\sqrt{4ac-b^2}}\ln\left|\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}+\frac{2a}{b}x+\frac{b}{\sqrt{4ac-b^2}}\right|\right]+C$5.$\int\frac{x}{(ax^2+bx+c)^2}dx=-\frac{1}{2(ax^2+bx+c)}+\frac{1}{2(a^2-c)}\ln\left|\frac{ax^2+bx+c-a(ax^2+bx+c-b)}{ax^2+bx+c+a(ax^2+bx+c-b)}\right|+C$6.$\int\frac{1}{x(ax^2+bx+c)}dx=\begin{cases}\frac{1}{b}\ln|x|-\frac{1}{b}\ln|ax^2+bx+c|+C_1,&b^2>4ac\\\frac{1}{2\sqrt{ac}}\ln\left|\frac{\sqrt{a}x+\sqrt{c}}{x}\right|+\frac{1}{\sqrt{4ac-b^2}}\ln\left|\frac{2ax+b+\sqrt{b^2-4ac}}{2ax+b-\sqrt{b^2-4ac}}\right|+C_2,&b^2<4ac\end{cases}$例1求$\int(3x+4)^2dx$解：这是含有$3x+4$的积分，根据积分表的公式，得到$$\int(3x+4)^2dx=\frac{1}{9}(3x+4)^3+C$$高等数学课程建设组201.这是一个含有$x^2+a^2$的积分，可以使用积分表中的公式$\int\frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C$。因此，$\int\frac