北京校工中学2022年高二数学文联考试题含解析

北京校工中学2022年高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数的导函数为，且满足，则（

）A．0

B．6

C．

D．30参考答案：B略2.对于函数,在使成立的所有常数中，我们把的最大值叫做的下确界，则对于，且不全为，的下确界是(

)

A．

B．2

C．

D．4参考答案：A3.直线与曲线的交点的个数A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：C略4.设α∈（0，），β∈[0，]，那么2α﹣的取值范围是（）A．（0，） B．（﹣，） C．（0，π） D．（﹣，π）参考答案：D【考点】不等关系与不等式；角的变换、收缩变换．【分析】从不等式的性质出发，注意不等号的方向．【解答】解：由题设得0＜2α＜π，0≤≤，∴﹣≤﹣≤0，∴﹣＜2α﹣＜π．故选D．5.椭圆是参数的离心率是A．

B．

C．

D．参考答案：B6.已知n=x2dx，若（1+2x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+…+anxn，则a0+a1+a3+a5=（）A．364 B．365 C．728 D．730参考答案：A【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】n=x2dx==6，（1+2x）6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+…+，分别令x=1，x=﹣1，相减即可得出．【解答】解：n=x2dx==6，（1+2x）6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+…+，令x=1可得：36=a0+a1+a2+a3+…+a6，令x=﹣1可得：1=a0﹣a1+a2﹣a3+…+a6，相减可得：a0+a1+a3+a5=（36﹣1）=364．故选：A．7.曲线在点处的切线的方程为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D略8.设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝

()A．4

B．8

C．8

D．16参考答案：B9.同时具有性质“①最小正周期是π”②图象关于对称；③在上是增函数的一个函数可以是（

）A. B.C. D.参考答案：B【分析】利用所给条件逐条验证，最小正周期是得出，把②③分别代入选项验证可得.【详解】把代入A选项可得，符合；把代入B选项可得，符合；把代入C选项可得，不符合，排除C；把代入D选项可得，不符合，排除D；当时，，此时为减函数；当时，，此时为增函数；故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，侧重考查直观想象的核心素养.10.若椭圆上离顶点A(0，a)最远点为(0，-a)，则(

)．(A)0<a<1

(B)≤a<1(C)<a<1

(D)0<a<参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11..有以下四个命题：

①设均为直线，为平面，其中则“”是“”的充要条件;

②若;

③不等式上恒成立;

④设有四个函数，其中在R上是增函数的函数有3个.其中真命题的序号是

.（漏填、多填或错填均不得分）参考答案：②③12.已知抛物线的焦点为F，准线为直线l，过抛物线上一点P作于E，若直线EF的倾斜角为150°，则|PF|=

．参考答案：

由抛物线y2=4x方程，可得焦点F(1,0)，准线的方程为x=-1,∵直线EF的倾斜角为150°，∴，∴直线EF的方程为，联立，解得，∵EF⊥l于E，∴代入抛物线的方程可得，解得，，故答案为.13.已知经过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B两点，则直线AB的方程为__________.参考答案：14.直线3x+4y+3=0与直线6x+8y+11=0间的距离是．参考答案：【考点】两条平行直线间的距离．【专题】计算题；方程思想；演绎法；直线与圆．【分析】把两条平行直线的方程中x、y的系数化为相同的，再由条件利用两条平行直线间的距离公式计算求得结果．【解答】解：两直线3x+4y+3=0，6x+8y+11=0，即两直线6x+8y+6=0，6x+8y+11=0，故它们之间的距离为=．故答案为．【点评】本题主要考查两条平行直线间的距离公式的应用，注意未知数的系数必需相同，属于基础题．15.在三角形ABC中，角A,B,C所对应的长分别为a，b，c，若a=2，B=，c=2，则b=__________.参考答案：2略16.记等差数列的前项的和为，利用倒序求和的方法得：：类似地，记等比数列的前项的积为，且，试类比等差数列求和的方法，将表示成首项，末项与项数的一个关系式，即________________．参考答案：17.设x，y∈R，a＞1，b＞1.若ax＝by＝5，a＋b＝10，则的最大值为________．参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（1）求与双曲线﹣=1有相同焦点，且经过点（3，2）的双曲线的标准方程．（2）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，求该双曲线的方程．参考答案：【考点】双曲线的简单性质；双曲线的标准方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设所求双曲线方程为：﹣=1，（﹣4＜λ＜16），利用待定系数法能求出双曲线方程．（2）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为，圆心C（3，0），半径r=2，由此利用点到直线距离公式能求出双曲线方程．【解答】解：（1）∵双曲线与双曲线﹣=1有相同焦点，∴设所求双曲线方程为：﹣=1，（﹣4＜λ＜16），∵双曲线过点（，2），∴+=1，∴λ=4或λ=﹣14．（舍）∴所求双曲线方程为．（2）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为，即一条渐近线方程为bx﹣ay=0，∵圆C：x2+y2﹣6x+5=0可转化为（x﹣3）2+y2=4，∴圆心C（3，0），半径r=2，∴c2=9，∴=2，解得a2=5，b2=4，∴双曲线方程为．【点评】本题考查双曲线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意待定系数法和点到直线距离公式的合理运用．19.某校为了解学生的视力情况，随机抽查了一部分学生视力，将调查结果分组，分组区间为（3.9，4.2]，（4.2，4.5]，…，（5.1，5.4]．经过数据处理，得到如下频率分布表：分组频数频率（3.9，4.2]30.06（4.2，4.5]60.12（4.5，4.8]25x（4.8，5.1]yz（5.1，5.4]20.04合计n1.00（Ⅰ）求频率分布表中未知量n，x，y，z的值；（Ⅱ）从样本中视力在（3.9，4.2]和（5.1，5.4]的所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率．参考答案：【考点】等可能事件的概率；频率分布表．【分析】（I）根据题意，由（5.1，5.4]一组频数为2，频率为0.04，可得，解可得n的值，进而由，可得x的值，由频数之和为50，可得y的值，由频率、频数的关系可得z的值；（II）设样本视力在（3.9，4.2]的3人为a，b，c，样本视力在（5.1，5.4]的2人为d，e；由题意列举从5人中任取两人的基本事件空间Ω，可得其基本事件的数目，设事件A表示“抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5”，由Ω可得基本事件数目，由等可能事件的概率，计算可得答案．【解答】解：（I）由表可知，样本容量为n，由（5.1，5.4]一组频数为2，频率为0.04，则，得n=50由0；y=50﹣3﹣6﹣25﹣2=14，，（II）设样本视力在（3.9，4.2]的3人为a，b，c；样本视力在（5.1，5.4]的2人为d，e．

由题意从5人中任取两人的基本事件空间为：Ω={（a，d），（a，e），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（a，b），（a，c），（b，c），（d，e）}，共10个基本事件；设事件A表示“抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5”，则事件A包含的基本事件有：（a，b），（a，c），（b，c），（d，e），共4个基本事件；P（A）==，故抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5的概率为．20.（本小题满分12分）已知函数(I)求的单调区间。(Ⅱ．)求[-2，1]上的最大值和最小值．参考答案：21.已知函数.（1）求的单调区间；（2）设为函数的两个零点，求证：.参考答案：(1)的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)见证明，【分析】（1）利用导数求函数单调区间的一般步骤即可求出；（2）将零点问题转化成两函数以及图像的交点问题，通过构造函数，依据函数的单调性证明即可。【详解】解：（1）∵，∴.当时，，即的单调递减区间为，无增区间；当时，，由，得，当时，；当时，，∴时，的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）证明：由（1）知，的单调递减区间为，单调递增区间为，不妨设，由条件知即构造函数，则，由，可得.而，∴.知在区间上单调递减，在区间单调递增，可知，欲证，即证.考虑到在上递增，只需证，由知，只需证令，则.所以为增函数.又，结合知，即成立，所以成立.【点睛】本题考查了导数在函数中的应用，求函数的单调区间，以及函数零点的常用解法，涉及到分类讨论和转化与化归等基本数学思想，意在考查学生的逻辑推理、数学建模和运算能力。22.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，其中PA=PD=AD=2，∠BAD=60°，Q为AD中点．（1）求证：AD⊥PB；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，且M为PC的中点，求四棱锥M﹣ABCD的体积．（3）在（2）的条件下，求二面角P﹣AB﹣D的正切值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）根据线面垂直的性质定理先证明AD⊥平面PQB即可．（2）连接QC，作MH⊥QC与H，根据棱锥的体积公式进行求解即可．（3）根据二面角的定义作出二面角的平面角，得到∠POQ即为二面角P﹣AB﹣D的平面角，利用三角形的边角关系进行求解．【解答】证明：（1）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，又PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，又∵PB?平面PQB，∴AD⊥PB；（2）连接QC，作MH⊥QC与H∵PQ⊥AD，PQ?平面PAD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴平面PAD⊥平面ABCD∴PQ⊥平