2021年高考高三理科数学“大题精练”检测题及解析2

2021年高考高三理科数学“大题精练”检测题及解析22

17.在平面四边形ASC0中，ZABC=-,ZADC=-.BC=2

32

(1)若AA6C的面积为上叵，求4C；

2

(2)若人。=2不，ZACB=ZACD+y,求tanZACD.

18.如图，等腰梯形45CO中，AB//CD，AO=A5=5C=1,CD=2,E为CD

中点，以AE为折痕把A4DE折起，使点。到达点P的位置（P2平面A6CE）一

E

(0)证明：AELPB-.

（□）若直线尸8与平面A6CE所成的角为三，求二面角A-PE—C的余弦值.

4

19.为发挥体育核心素养的独特育人价值，越来越多的中学将某些体育项目纳入到学生

的必修课程.惠州市某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，

某数学研窕学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了100人进行调查.

（1）已知在被抽取的学生中高一（1）班学生有6名，其中3名对游泳感兴趣，现在从这

6名学生中随机抽取3人，求至少有2人对游泳感兴趣的概率：

（2）该研究性学习小组在调查中发现，对游泳感兴趣的学生中有部分曾在市级或市级

以上游泳比赛中获奖，具体获奖人数如卜表所示.若从高一（8）班和高一（9）班获奖学生

中随机各抽取2人进行跟踪调查，记选中的4人中市级以上游泳比赛获奖的人数为“

求随机变量4的分布列及数学期望.

班级・・・

⑴（2）（3）（4）（5）⑹⑺（8）（9）(10)

市级

2233443342・・・

比赛获奖人数

市级以上

2210233212・・・

比赛获奖人数

20.在平面直角坐标系xOy中，已知过点。(4,0)的直线/与椭圆C:二+y2=i交于

4

不同的两点B(X2,>-2),其中yj2ro.

(1)若±=0,求的面积：

(2)在x轴上是否存在定点7,使得直线工4、ZB与)，轴围成的三角形始终为等腰三角

形.

21.己知实数设函数〃x)=e"-如.

(1)求函数/(X)的单调区间：

(2)当♦>■!■时，若对任意的n€[-1,+8),均有〃》)2色卜2+1),求。的取值范围.

22

注：e=2.71828・••为自然对数的底数.

22.在平面直角坐标系KOy中，以坐标原点。为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐

标系，曲线M的极坐标方程为夕=2cose,若极坐标系内异于。的三点A(01,。)，

川分夕+落，4自，。一看卜自，自，外＞0)都在曲线”上.

(1)求证：Gp\=pcp3；

(2)若过8,。两点直线的参数方程为I2。为参数)，求四边形OR4c的

1

y--t

r2

面积.

23.已知函数/(》)=k+2卜卜一4|

(1)求不等式/(x)S3x的解集：

(2)若/(x)NA(x-l)时任意xeR恒成立，求我的取值范围.

2021年高考高三理科数学"大题精练”检测题及解析22（答案

解析）

17.在平面四边形A5CD中，ZABC=,ZADC=y,BC=2

(1)若A45C的面积为之叵，求AC；

2

(2)若AD=26,ZACB=ZACD+^,求tanZACD

【解】(1)在柳。中，因为6C=2，ZABC=y,

Sm.=1ABBCsinZABC=-,

w22

所以也AB二空,解得：AB=3

22

在AAfiC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2-2AB?BCcosZABC=7

所以AC="

(2)设ZA8=c，则ZAC6=ZACO+2=a+2

33

如图，

AD

在&A4C£)中,因为AZ）=2JJ，所以AC=

smasina

在MBC中，ZBAC=^-^ACB-ZABC=^-a,

22^3

BCAC

由正弦定理，得

smZBACsinZABC

所以2sin=snia

1

所以2cosa——sina=sina,即JJcosa=2sina

2

所以tana=巫，BPtanZACD=

22

18.如图，等腰梯形AS8中，AB//CD，AD=AB=BC=1.CD=2,E为CD

中点，以AE为折痕把△ADE折起，使点。到达点P的位置（P任平面A8CE）.

（□）若直线P6与平面46CE所成的角为三，求二面角A—PE—C的余弦值.

4

【解】（I）证明：在等腰梯形ABCD中，连接BD,交AE于点O,

-AB||CE,AB=CE,匚四边形ABCE为平行四边形，ZAE=BC=AD=DE,

□iZADE为等边三角形，口在等腰梯形ABCD中，ZC=AADE=y,

ZDAB=ZABC=—

3

口在等腰△AD6中，ZADB=ZABD=-

6

□ZDBC=—--=—,BPBDZBC,

362

□BDZAE,

翻折后可得：OP二AEQB二AE,又：OPu平面PO6.O8u平面尸。6。尸口。6=O,

AE_L平面尸OS,

PBu平面尸08,.•.人E_LP8：

(ID解：在平面POB内作PQ二OB,垂足为Q,

因为AE二平面POB,ZAEZPQ,

因为OBU平面ABCE,AEU平面ABCE,AEnOB=O

口PQn平面ABCE,□直线PB与平面ABCE夹角为=®,

4

又因为OP=OB,ZOPZOB,

□6Q两点重合，即OP二平面ABCE,

以。为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得,

各点坐标为

P(0,0,E(—,Q,Q),C(0,,0),/.PE=(―,0,-^-),EC=,

设平面PCE的一个法向量为1=(x,y,z).

16_n

J屉司=02X~TZ=

EC〃i=01小

-X4--y=0

122­

设*=价，则y=・l,z=l,

由题意得平面PAE的一个法向量足=（0,1,0）,

设二面角A-EPC为a,|coscr|=—同i一4

Mil元「不一5

易知二面角A-EPC为钝角，所以cosa=-正

5

19.为发挥体育核心素养的独特育人价值，越来越多的中学将某些体育项目纳入到学生

的必修课程.惠州市某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生时游泳的兴趣，

某数学研究学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了100人进行调查.

（1）已知在被抽取的学生中高一（1）班学生有6名，其中3名时游泳感兴趣，现在从这

6名学生中随机抽取3人，求至少有2人对游泳感兴趣的概率：

（2）该研究性学习小组在调查中发现，对游泳感兴趣的学生中有部分曾在市级或市级

以上游泳比赛中获奖，具体获奖人数如下表所示.若从高一（8）班和高一（9）班获奖学生

中随机各抽取2人进行跟踪调查，记选中的4人中市级以上游泳比赛获奖的人数为g,

求随机变量J的分布列及数学期望.

班级・・•

(1)(2)⑶(4)⑸（可⑺⑻(10)

市级

2233443342.・・

比赛获奖人数

市级以上

2210233212

比赛获奖人数

【解】（1）记事件A，=｛从6名学生抽取的3人中恰好有1人有兴趣，1=0,1,2,3｝：

则A?与A］互斥，故所求概率为

P（至少2人感兴趣）=P（A?+A3）=P（A2）+P（A3）=管+隼5=*=；：

JJ2U2

（2）由题意知，随机变量匕的所有可能取值有0,1,2,3；

C；C；_9

P(4=O)=

C；C；-50

c；cc+c；c_12

Pg)=

C；C；25

GC+c；c；c_3

P(D=

CGio

GC_i

P(4=3)=

Cpcf-25

则&的分布列为:

0123

91231

P

50251025

数学期望为E（q）=0x2+ix2+2x"+3xZ=Q

'/505050505

20.在平面直角坐标系xOy中，已知过点0（4,0）的直线/与椭圆C：二+,，2=1交于

4

不同的两点6（毛,力），其中）；）'俨0

（1）若占=0,求A048的面积;

（2）在x轴上是否存在定点T,使得直线工4、73与y轴围成的三角形始终为等腰三角

形.

【解】（1）当演=0时，代入椭圆方程可得A点坐标为（0,1）或（0,-1）

若A点坐标为（0*1），此时直线1：x+4y-4=0

x+4y-4=0

联立《消x整理可得5）产一8丁+3=0

x2+4y2=4

4/83

解得y1=i或％=：，故B

5133

184

所以ACMS的面枳为一xlx-=-

255

若A点坐标为（0,-1）,由对称性知^OAB的面积也是1,

4

综上可知，当苍=0时，AOAS的面积为二.

(2)显然直线1的斜率不为0,设直线1：x=my+4

联立〈:+,消去X整理得(加+4)y2+8切+12=0

由△=64〃/-4x12(〃/+4)>0,得〃/>12

8m12

则Ji+y=-^―-.=­r—

2nr+4m~+4

因为直线14、窃与y轴围成的三角形始终为等腰三角形,

所以=0

设T&0),则

y\+_22_=%(，—)+为(3T)=2%识+(4一)(弘+兄)

%人+%+

xl-tx2-tU-/)(%,-r)

24/n8/n(f-4)8〃巾一1)

即2〃叫X+W—WM+yJ：—;---•----;----=---;----

"+4m~+4nr+4

解得/二L

故x轴上存在定点r(i*o),使得直线工人门与)，轴围成的三角形始终为等腰三角形.

21.已知实数。00,设函数〃x)=e尔-aj

(1)求函数/(x)的单调区间：

⑵当时，若对任意的工€卜1,+8),均有〃》)以卜2+1),求。的取值范围.

注：e=2.71828…为自然时数的底数.

【解】(D由f\x)=ae^-a=一1)=0,解得x=0.

口若。>0,则当xe(0,+6)时,/'(x)>0,故/(X)在(0,+6)内单调递增:

当XG(YO,0)时J'(x)<0,故/(X)在(-℃,0)内单调递减.

口若a<0,则当xe(0,-K»)时,/"(x)>0,故/(x)在(0,〜)内单调递增：

当xe(TO,0)时J'(x)<0,故/(x)在(-O0,0)内单调递减.

综上所述J(x)在(-8,0)内单调递减，在(0,+s)内单调递增.

⑵/⑶N3/+1),即*>^(x+l)2.

令x=0,得12^,则L<a«2.

22

当x=-l时,不等式e"Nq(x+lf显然成立，

当xe(-l,+oo)时,两边取对数，即arN21n(x+l)+ln]恒成立.

令函数尸(x)=2ln(x+1)-ax+In1，即F(x)40在(-l,+oo)内恒成立.

士厂/、22-a(x+l)八归21[

由F(x)=-----a=--------=0，得x=—]>-1.

x+1x+1a

2

故当x£1)时,F\x)>0,F(x)单调递增；

a

2

当xw(一—1,~)时,尸⑴<0,F(x)单调递减.

a

因此尸(x)<尸(——1)=2hi——2+a+lnj=a—2—In色.

aa22

令函数g(a)=a-2-ln',其中

22

1a-1

则g'(a)=l—=---=0、得。=1,

aa

故当ae(；/)时,g'(a)<0,g(a)单调递减；当aG(1,2]时,g\a)>0,g(a)单调递增.

又g(；)=h]4-j<0,g(2)=0,

故当g<a42时,g（a）<0恒成立，因此尸（x）40恒成立，

即当;<a42时，对任意的xe[-L+00），均有/（x）>|>（x:+1）成立.

22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐

标系，曲线用的极坐标方程为夕=2COS6»,若极坐标系内异于0的三点A（g，e）,

5M，夕+JC自,。一看卜分分色>。）都在曲线加上.

（1）求证：q=02+03；

L_20

（2）若过8,C两点直线的参数方程为I2。为参数），求四边形084c的

1

Iy=-2t

面积.

【解】（1）由月=2COSQ,0=2呵。+看,2=2cos(0一看[贝I]

nj=25/3co