2021年高考数学中“多选题”的类型分析含解析

一、函数的概念与基本初等函数多选题

1—|2x-3|,1-―2

1.已知函数/(%)=11Jx}八，则下列说法正确的是()

在外力＞2

(11}

A.若函数y=/(x)-区有4个零点，则实数k的取值范围为7c

\2476)

B.关于x的方程/(x)—£=0(〃eN*)有2"+4个不同的解

C.对于实数XGIL+O,不等式24.(幻—340恒成立

D.当XG[2"T,2"](〃GN*)时，函数/(x)的图象与x轴围成的图形的面积为1

【答案】AC

【分析】

根据函数的表达式，作出函数的图像，对于A,C利用数形结合进行判断，对于B,D利用

特值法进行判断.

【详解】

33

当—时，/(x)=2x-2；当±<x42时，/(x)=4-2x；

222

r，，尤3//、1龙,

当2<xW3,

3x

当3<xK4,则一<—42,

22

当4<x«6,则2<93,/“)=；/仁］=9一I；

当6<xW8,则3<±W4,=l一;；

22\2)4

对于A,函数y=/(x)-质有4个零点，即y=/(工)与y=丘有4个交点，如图，直线

y="的斜率应该在直线m,n之间，又心=、，故A正确；

对于B,当〃=1时，/(x)=g有3个交点，与2〃+4=6不符合，故B错误；

对于C,对于实数XG[1,+8),不等式2对.。)—340恒成立，即/(%)＜二恒成立，由图

2x

33

知函数/(幻的每一个上顶点都在曲线y=—上，故/(x)4—恒成立，故c正确；

2x2x

对于D,取〃=1,xe[l,2],此时函数f(x)的图像与x轴围成的图形的面积为

-xlx1=—,故D错误；

22

故选：AC

【点睛】

方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画

出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

9

2.对于函数/(x)=X+1,则下列判断正确的是()

A./(X)在定义域内是奇函数

B.函数/(x)的值域是(一8,-6]36，+00)

C.Vx,,x,e(0,3),x尸々，有”.)一〃*2)＞0

%一看

D.对任意石,与e(0,+oo)且X1，有//'笠)＜g[/(xj+/(x2)]

【答案】ABD

【分析】

根据函数奇偶性定义判断“X)的奇偶性，利用基本不等式求/(X)的值域，设

0＜玉＜々＜3,根据解析式判断了(%),/(/)的大小，进而确定‘(")二』("J,。的大

小关系，应用作差、作商法判断2/工^,/(须)+/(/)大小关系，进而确定各项的

正误.

【详解】

o9

A:由解析式知：定义域为XHO，f(--)=-x+—=-(x+-)=-f(x-),即/(x)在定

x-XX

义域内是奇函数，正确；

B：当x〉0时，/(x)=x+2z2,2=6当且仅当x=3时等号成立；当x<0时有

oIg~

—x>0,/(%)=-[(-%)+(--)]<-2J(-x)-(--)=-6当且仅当x=—3时等号成立；

xVx

故其值域(-8,-6]36,+8),正确；

999

C:当0<M<工2<3时，/(%)一/(入2)=玉一X2H----------=(王一工2)(1--------)，而

Xjx2xtx2

x,-x2<0,1--<0,则/(百)_/(赴)>0,所以“")一/(々)<0,错误；

XX

l2Xj—X2

D：若玉>w>0，2/仔1：/]“+々+36,

99

/(*|)+/(*2)=玉+*2-----1----,所以

%々

¥

=(2+2),而得巧■=/1,即

<2Jx]+x2x]x2"+»(玉+冗2)

国x2

/[f+/(/)],正确；

故选:ABD

【点睛】

关键点点睛：综合应用函数奇偶性的证明、对勾函数值域的求法、作差(作商)法比较大

小，判断各选项的正误.

^5d

3.o=^n

11

AQ<B

-b1C.a+—<b+—D.a+ab<b+b"

。ab

【分析】

根据条件求得表达式，根据对数性质结合放缩法得A正确，根据不等式性质得B正

确，通过作差法判断C错，结合指数函数单调性与放缩法可得D正确.

【详解】

解：；5"=3，8〃=5，

•••a=log：,b=log；,

因为3,<53n3<5=nlog53<log55T=：,

又由54>8'=>5>8；=>logs5>logs8；=[,所以。<0，选项A正确；

0<a=log；<l,0<b=log；<l,则」〉1,->1,所以4+,>2,选项B正确；

ahab

因为Q<b,0<a<b<l则匕一。>0,—>1,此时

fab

Q+▲一(/?+()=(〃-〃)+"：=->0,

所以+1，故选项c不正确；

ab

i33

由5<“<W和W<匕<1知〃x)="'与8(力=均递减，

再由。，Z?的大小关系知a"=d<。"=□+<?<8+/,故选项D正确.

故选：ABD

【点睛】

本题考查了数值大小比较，关键运用了指对数运算性质，作差法和放缩法.

4.己知函数〃力=/-4x+(加2—m)(e—+er+2)(e为自然对数的底数)有唯一零

点，则团的值可以为()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】BC

【分析】

由已知，换元令f=x-2,可得/(f)=/«),从而/⑴为偶函数，f(x)图象关于

x=2对称，结合函数图象的对称性分析可得结论.

【详解】

/(x)=x1-4x+(m2-m)(ex~2+e~x+2)=(x-2)2-4+(/??-m)(ex~2+e~x+2),

令f=X-2,则/«)=/一4+。〃2-m)(e'+e-'),定义域为R,

/(-r)=(-z)2-4+(w2-+e')=/(/),故函数f(f)为偶函数,

所以函数/(x)的图象关于x=2对称，

要使得函数/(%)有唯一零点，则/(2)=0,

即4—8+2(加2-加)=0,解得机=一1或2

①当加=一1时，f(t)=t2-4+2(e'+e-')

由基本不等式有e'+e-'»2,当且仅当，=。时取得

2(e'+e-')24

故f(t)=t2-4+2(e'+e-')>0,当且仅当f=0取等号

故此时fix)有唯一零点x=2

②当加=2时，f(t)=t2-4+2(e'+e~'),同理满足题意.

故选：BC.

【点睛】

方法点睛：①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完

全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴.

②y=/(x)的图象关于直线x对称0/(ar)=/(a+x)<=>/(T)=f(2a+x)

5.设函数则()

A./(x)在单调递增B./(幻的值域为一1怖

C.“X)的一个周期为万D./卜+力的图像关于点对称

【答案】BC

【分析】

根据余弦函数及指数函数的单调性，分析复合函数的单调区间及值域，根据周期定义检验

所给周期，利用函数的对称性判断对称中心即可求解.

【详解】

☆f=cos2x,则>=2'—2T=2'—J,显然函数y=2'—2T=2'—J为增函数，

当时，f=cos2x为减函数，

根据复合函数单调性可知，/(X)在[0,万1单调递减，

因为，=cos2xe[-l,l],

133

所以增函数丁=2'-2T=2'-5在，=852工€[-1』]时，一

'33'

即的值域为一；三；

22

COS2A"

因为/(x+乃)=28s2"+")_2-8S25+")=28s2X_2-=f(x),

所以/(x)的一个周期为乃，

因为/。+7)=2Tg，令h(x)=2Tg_2^2,,

设P(x,y)为h(x)=2rm2,_2.2,上任意一点，

、

则P'(g—X,—y)为P(x,y)关于pO对称的点，

而%_x)=2_sin2<2_A)-21n吗为=2-sin2-v-2sin2x=yw—y，

TT

知点尸(万―x,-y)不在函数图象上，

故〃(x)的图象不关于点对称，即的图像不关于点]?,0)对称.

故选：BC

【点睛】

本题主要考查了余弦函数的性质，指数函数的性质，复合函数的单调性，考查了函数的周

期性，值域，对称中心，属于难题.

6.德国著名数学家狄利克雷(D万c〃et,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定

/、fl,xe0

义了一个"奇怪的函数"y=/(x)=《c「C其中R为实数集,Q为有理数集.则关于函

[O,xeCRQ

数“X)有如下四个命题，正确的为()

A.函数/(X)是偶函数

B.也，入2eg。,恒成立

C.任取一个不为零的有理数7j(x+T)=/(x)对任意的xeR恒成立

D.不存在三个点4(%,/(3)),3(工2，/(々))，。(七，/(毛)),使得A4BC为等腰直角三

角形

【答案】ACD

【分析】

根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可.

【详解】

对于A,若xeQ,则-xe。，满足f(x)=/(—x)；若xeC*。，则一XCCR。，满足

/(X)=/(-%)；故函数f(x)为偶函数，选项A正确；

对于B,取士="6/。,工2=—万CCR。,则“石+9)=/(0)=1,

/(%)+/(赴)=0,故选项B错误；

对于C,若xeQ,则x+TeQ,满足/(x)=/(x+T)；若XCCR。，则

X+TGCRQ,满足/(X)=/(X+T),故选项C正确；

对于D,要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：

①直角顶点A在y=l上，斜边在X轴上，此时点8,点C的横坐标为无理数，则中

点的横坐标仍然为无理数，那么点A的横坐标也为无理数，这与点A的纵坐标为1矛盾，

故不成立;

②直角顶点A在y=l上，斜边不在X轴上，此时点3的横坐标为无理数，则点A的横坐

标也应为无理数，这与点A的纵坐标为1矛盾，故不成立；

③直角顶点A在X轴上，斜边在y=l上，此时点3,点C的横坐标为有理数，则8C中

点的横坐标仍然为有理数，那么点A的横坐标也应为有理数，这与点A的纵坐标为0矛

盾，故不成立；

④直角顶点A在X轴上，斜边不在y=1上，此时点A的横坐标为无理数，则点8的横坐

标也应为无理数，这与点8的纵坐标为1矛盾，故不成立.

综上，不存在三个点A(玉,/(玉))，B(X2,./(X2)),C(七，/(%))，使得AABC为等腰

直角三角形，故选项D正确.

故选：ACD.

【点睛】

本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识的运用能力，意在考查学生运用分类讨论思

想，数形结合思想的能力以及逻辑推理能力，属于难题.

7.已知/0)为R上的奇函数，且当X>0时，/(x)=lgx.记

g(x)=sinx+/(x>cosx,下列结论正确的是()

A.g(x)为奇函数

B.若g(x)的一个零点为％,且玉><0,则1g(-Xo)-tanx()=。

C.g(x)在区间(一三,4)的零点个数为3个

D.若g(x)大于1的零点从小到大依次为%,％2,…，则2%<玉+々<37

【答案】ABD

【分析】

根据奇偶性的定义判断A选项；将g(x)=o等价变形为tanx=-/(x),结合/(x)的奇偶

性判断B选项，再将零点问题转化为两个函数的交点问题，结合函数g(x)的奇偶性判断C

选项，结合图象，得出的范围，由不等式的性质得出芯+々的范围.

【详解】

由题意可知g(x)的定义域为R,关于原点对称

因为g(-x)=sin(-x)+/(-x)•cos(-x)=-sinx-/(x)-cosx=-g(x),所以函数g(x)

为奇函数，故A正确;

假设cosx=0,即x=]71+br,Z€Z时，sinx+/(x)•cosx=sinfj=cosk/r^Q

2

jr

所以当x=—+eZ时，g(x)H()

2

当x丰5+k兀，kwZ时，sinx+f(x)-cosA:=0otanx=-/(x)

当与<0,-x0>0,则/(/)=二/1(-■i0)=Tg(f)

由于g(x)的一个零点为x°，则1血%0=-/(%))=炮(一七))=>馆(一天))一1311玉)=0,故B

正确；

当x〉0时，令乂=tanx,%=Tgx，则g(x)大于0的零点为X=tanx,%=-lgx的交

点，由图可知，函数g(x)在区间(0,不)的零点有2个，由于函数g(x)为奇函数，则函数

g(x)在区间(一］,0)的零点有1个，并且g(0)=sin0+/(0>cos0=0

故选:ABD

【点睛】

本题主要考查了判断函数的奇偶性以及判断函数的零点个数，属于较难题.

8.狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一，狄利克雷函数

:（Q是有理数集）的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化，

[O,x^Q

从研究"算"到研究更抽象的"概念、性质、结构关于/（x）的性质，下列说法正确的是

（）

A.函数/（X）是偶函数

B.函数/（X）是周期函数

C.对任意的玉eR,x2eQ,都有/（玉+%2）=/（玉）

D.对任意的斗€<,x2eQ,都有%）

【答案】ABC

【分析】

利用函数奇偶性的定义可判断A选项的正误；验证/（X+1）=/（X）,可判断B选项的正

误；分王£。、七任。两种情况讨论，结合函数/（X）的定义可判断C选项的正误；取

々=0,王任Q可判断D选项的正误.

【详解】

对于A选项，任取xeQ,则-xeQ,/(x)=l=/(-%)；

任取x任。,则一xeQ,/(x)=0=/(-x).

所以，对任意的xeR,/(一x)=/(x),即函数/(x)为偶函数，A选项正确；

对于B选项，任取xe。，则x+lwQ,则/(x+l)=l=/(x)；

任取xeQ,则％+1仁。，则/(x+l)=O=/(x).

所以，对任意的xeR,/(X+1)=/(X),即函数〃x)为周期函数，B选项正确；

对于C选项，对任意X|G。，x2eQ,则Xi+we。，/(玉+马)=1=/(玉)；

对任意的XeQ,々eQ,则为+/金。，/(玉+々)=。=/(玉)•

综上，对任意的王^/?,X2GQ,都有/(石+工2)=/(石)，C选项正确；

对于D选项，取々=0,若当任。，贝I/&•£)="0)=1。/(xj,D选项错误.

故选：ABC.

【点睛】

关键点点睛：本题解题的关键在于根据已知函数的定义依次讨论各选项，分自变量为无理

数和有理数两种情况讨论，对于D选项，可取罚任Q,々=0验证.

【答案】AD

【分析】

根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性.当左=1时，/(x)=e7+e，为偶函数,

当％=—1时，/(x)=er-e*为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案.

【详解】

由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性.

当后=1时，/(x)=e7+e”为偶函数，

当x»0时，r=且单调递增，而>=，+1在fe]”)上单调递增，

t

故函数/(x)=eT+e*在xe|0,+c。)上单调递增，故选项C正确，。错误；

当我=一1时，/(无)="'一靖为奇函数，

当x20时，/=e'Nl且单调递增，而y=1—f在fe|1,心)上单调递减，

t

故函数/(x)=e7-优在xe[0,物)上单调递减，故选项8正确，4错误.

故选:AD.

【点睛】

关键点点睛：本题考查函数性质与图象，本题的关键是根据函数图象的对称性，可知攵=1

或左=一1,再判断函数的单调性.

xx+]x+2

io.已知函数/(幻="^+——+——，下列关于函数/(幻的结论正确的为()

x+lx+2x+3

A.在定义域内有三个零点B.函数Ax)的值域为R

C./(x)在定义域内为周期函数D."X)图象是中心对称图象

【答案】ABD

【分析】

将函数变形为/0)=3------+—-+--L求出定义域，结合导数求函数的单调性

\x+1x+2x+3J

即可判断BC,由零点存在定理结合单调性可判断A,由/(x)+/(Y-x)=6可求出函数

的对称点，即可判断D.

【详解】

解：由题意知，-1-----+1-----+1------=3—|-H-----------I,

x+1x+2x+3x+2x+3)

定义域为(―oo,-3)<J(—3,—2)u(—l,+oo),

r(%)=―+―+—>o

(x+l)2(X+2)2(X+3)2'

所以函数在(3,-3),(-3,-2),(-2,-1),(-1,+8)定义域上单调递增，c不正确；

(3、3712

当x>T时，/--=-3+—+—<0,/(0)=-+->0,则(_l,+co)上有一个零点,

\I-J111JM

当xe(-2,-1)时，/^-―^<0,/^-―^>0,所以在xe(—2,-1)上有一个零点，

当xw(-3,-2)时，g)>°，所以在XG(-3,-2)上有一个零点，

当x<—3,/(x)>0,所以在定义域内函数有三个零点，A正确；

当九<0,x—>—1+时，/(%)~~00,当％—时，f(x)—>+00,

又函数在(一1,笆)递增，且在(-1,+8)上有一个零点，则值域为R,B正确；

/(^_%)=3+|—1=6-3-|+=6-/3,

(x+1x+2x+3)[_(x+1x+2X+3JJ\'

所以/(x)+/(T—x)=6,所以函数图象关于(—2,3)对称，D正确；

故选:ABD.

【点睛】

结论点睛：

1、y=/(x)与y=-/(x)图象关于x轴对称；

2、丁=/(力与y=/(一力图象关于丫轴对称；

3、>=J。)与〉=/(2a-x)图象关于x=a轴对称；

4、丁=/(力与卜=2。一/(%)图象关于丁=。轴对称；

5、y=/(x)与y=lb-f[2a-x)图象关于(4力)轴对称.

二、导数及其应用多选题

11.己知a>0，h>0,下列说法错误的是()

A.若优〃=1,则。+/?之2

B.若e"+2a=/+38，贝1]。>匕

C.a(lna-lnb)之恒成立

D.色—恒成立

eae

【答案】AD

【分析】

对A式化简，通过构造函数的方法，结合函数图象，说明A错误；对B不等式放缩

ea+2a>eh+2b，通过构造函数的方法，由函数的单调性，即可证明B正确；对C不等

式等价变型a(lna-lnb)2a_801n@21-2,通过Vx>0/nx>1—L恒成立，可得

bax

a=l

C正确；D求出二-bln。的最大值，当且仅当I,1时取等号，故D错误.

eb=—

、e

【详解】

A.a"8=loalna+MnZ?=0

设/(x)=xInx,.•./(〃)+/S)=0

由图可知，当时，存在a30+,使.f(a)+/S)=O

此时。+6-1,故A错误.

B.ea+2a^eh+3b>eh+2b

设/(x)=e*+2x单调递增，，。>力，B正确

C.a(lna-ln/?)>a-Z?<=>ln^>1--

又Vx>0,Inx>1—,In-21,C正确

xba

x1

D.y=—=>ymax=-当且仅当x=l；

ee

y=x\nx=>ym.n=一，当且仅当元=，；

ee

a=l

所以二-blnbV—,当且仅当彳1时取等号，D错误.

eeb--

.e

故选：AD

【点睛】

本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化的数学思想和数

形结合的数学思想，属于难题.

X|

12.已知函数/(x)=/,g(x)=l〃5+e的图象与直线y=m分别交于48两点，则()

A./(x)图像上任一点与曲线g(x)上任一点连线线段的最小值为2+/n2

B.3m使得曲线g(x)在8处的切线平行于曲线/(x)在A处的切线

C.函数/(x「g(x)+m不存在零点

D.3m使得曲线g(x)在点B处的切线也是曲线/(x)的切线

【答案】BCD

【分析】

利用特值法，在/(x)与g(x)取两点求距离，即可判断出A选项的正误；解方程

f\lnm)=g\2e'"^)-可判断出8选项的正误；利用导数判断函数V=+加的单

调性，结合极值的符号可判断出C选项的正误；设切线与曲线y=g(x)相切于点C(〃，

g(八)),求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出。选项

的正误.进而得出结论.

【详解】

在函数f(x)=e*,g(x)=b^+；上分别取点P(0,l),Q(2,；),贝I」|PQ|=MZ,而

，，22

—<2+ln2(注ln2a0.7),故A选项不正确；

2

v11

Q/(x)=ex,g(x)=ln-+-,则/■'(x)=e*,g'(x)=一,

22x

曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为fVnm)=m,

tn--1

曲线y=g(x)在点8处的切线斜率为g(%为=一r,

m—

2e2

।_1]1_1

令人加M=g'(2eF)，即机=二，即2〃?e%=l,则加=5满足方程2版"瓦=1,

2e22

.•三加使得曲线y=/(x)在A处的切线平行于曲线y=g(x)在3处的切线，3选项正确;

x1,1

构造函数尸(X)=/(X)-g(X)+/77="-/，2-+m——,可得尸(X)=ex—,

22x

函数厂(x)="——在(0,+8)上为增函数，由于F(l)="-2<0,F'(I)=e-l>0,

xe

则存在使得FQ)=e'-；=0,可得仁-/加，

当0cXV，时，F'(x)v0；当时，F\x)>0.

F(x).=F(r)=ef-In--i-m--=er-Int+m+Iril--

、/inin'，222

1…1.…137c八

=-+t+m+In2——>2Jr--+ZH+ln2——=—+Ini+w>0,

/2V/22

•1•函数尸(X)=/(X)-g(x)+“没有零点，C选项正确；

设曲线y=/(%)在点A处的切线与曲线y=g(x)相切于点c(〃，g(〃))，

则曲线y=/(x)在点A处的切线方程为=y=mx+m(1-lnm),

1n1

同理可得曲线y=g(x)在点C处的切线方程为y=-x+ln---,

n22

1

"i=一

<n,¥肖去〃得"2—(m―1)/〃相+历2+—=0,

机(/1I-I7nm)\=I7n-〃-----1-2

.22

1Y-11

令G(x)=x-(x-V)lwc+ln2+—,贝！JG'(x)=1----------lnx=——bvc,

2xx

函数y=G'(x)在(0,+oo)上为减函数，QG'(1)=1>0,G'(2)=；—例2<0,

则存在se(l,2),使得G'(s)=」-跖=0,且

当0＜x＜s时，G(x)＞0,当x＞s时，G'(x)＜0.

函数y=G(x)在(2,+oo)上为减函数，

517

QG(2)=]＞0,G(8)=万一20/〃2＜0,

由零点存定理知，函数y=G(x)在(2,+0。)上有零点，

即方程m-(m-+/〃2+,=0有解.

2

:3m使得曲线y=f(x)在点A处的切线也是曲线y=g(x)的切线.

故选：BCD.

【点睛】

本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，考查了转

化思想和数形结合思想，属难题.

2

13.关于函数〃x)=—+lnx,下列判断正确的是()

A.X=2是/(%)的极大值点

B.函数y=/(》)-x有且只有1个零点

C.存在正实数攵，使得/(X)＞丘恒成立

D.对任意两个正实数项，x,,且々＞玉，若/(石)=/(々)，则玉+々＞4

【答案】BD

【分析】

对于A,利用导数研究函数/(X)的极值点即可；

对于B,利用导数判断函数y=/(x)-X的单调性，再利用零点存在性定理即得结论；

对于c,参变分离得到左＜2+叱，构造函数g(x)=W+处，利用导数判断函数

XXX入

g(无)的最小值的情况；

对于D,利用“X)的单调性，由/&)=/(%)得到0＜玉＜2＜々，令，=手。＞1),

由/(西)=/(工2)得再所以要证玉+々＞4，即证25-2-4Hnr＞0，构

造函数即得.

【详解】

21r—2

A：函数/(X)的定义域为(0,+?),r(^)=--^+-=—,当x«0,2)时，

/(x)单调递减，当xe(2,+s)时，用勾＞0,“X)单调递增，所以

x=2是/(x)的极小值点，故A错误.

B：y=/(x)—x=^+lnx-x,y=_捻+:-1=一^^<0,所以函数在(0,+?)

上单调递减.又/(1)一l=2+lnl-1=1>0,/(2)-2=l+ln2—2=In2—1<0,所以

函数y=/(x)-x有且只有1.个零点，故B正确.

oOY0]nv

C：若/(x)>Ax,即一+lnx>6,则左<-y+——.令g(x)=-y+——，贝IJ

XXXXX

g，(x)=a+Xjxlnx.令〃(x)=_4+x—xln无，则〃'(x)=-lnx,当xe(0,l)n寸，

〃'(x)>0,单调递增，当X€(l,+8)时，〃'(x)<0,/z(x)单调递减，所以

〃(x)W〃⑴=-3<0,所以gqx)<0,所以g(x)=：+"在(0,+?)上单调递减，

函数无最小值，所以不存在正实数%,使得/(%)>"恒成立，故C错误.

D：因为/(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+?)上单调递增，

・・.x=2是〃x)的极小值点.

:对任意两个正实数占，%2，且％2>%，若/(%|)=/(9)，则0<罚<2<々.

22

令.=0x(/>1),则*2=比1，由/(玉)=/'(与)，得一+lnX|=_+111々，

X[X]"12

•••—--=lnx2-In^,即变?_')=]n垣，即2(’一1)％=仄，,解得网=2(‘一L),

x

用2X(X2X占3tint

2z(r-l)2产—2

々=tX[=-']f,所以&+赴=—[--.

故要证%+%>4,需证玉+々一4>0,需证幺_^一4>0,需证〃'."nr〉。

tinttint

；，=土>1,贝hint>0,

.1.证2产-2-4rlnf>0.令H⑺=2产—2-4rlnf(r>1),H'(r)=4-41nf-4(f>1),

””。)=4一；=丝｝9>°(r>1)，所以”①)在(i，+?)上是增函数.

因为.一>1时，〃'(r)fO,则H'(f)>0,所以〃(。在(1,+?)上是增函数.

因为ff1时，则〃(/)>0,所以2广-2-4"n/>0,

''rlnr

xl+x2>4,故D正确.

故选：BD.

【点睛】

关键点点睛：利用导数研究函数的单调性、极值点，结合零点存在性定理判断A、B的正

误；应用参变分离，构造函数，并结合导数判断函数的最值：由函数单调性，应用换元法

并构造函数，结合分析法、导数证明D选项结论.

14.已知函数/(x)=sinx+%3一办，则下列结论正确的是()

A.7(x)是奇函数B.当。=一3时，函数“X)恰有两个零点

C.若/.(X)为增函数，则aWlD.当。=3时，函数“X)恰有两个极值点

【答案】ACD

【分析】

利用函数奇偶性的定义可判断A选项的正误；利用导数分析函数/(X)的单调性，可判断

B选项的正误；利用导数与函数单调性的关系可判断C选项的正误；利用导数以及零点存

在定理可判断D选项的正误.

【详解】

对于A选项，函数/(x)=sinx+x3—ar的定义域为R,

f(-JC)=sin(-J；)+(-.v)3+ax=-sinx-x3+ax=-/(x),函数/(x)为奇函数，A选

项正确；

对于B选项，当a=—3时，/(X)=sinx+d+3%,则/"(x)=cosx+3x2+3>0,

所以，函数/(可在R上为增函数，又/(0)=0,所以，函数/(x)有且只有一个零点，

B选项错误；

对于c选项，/,(X)=COSJC+3X2-a,

由于函数为增函数，则r(x)20对任意的xeR恒成立，即aW3f+cosx.

令g(x)=3x?+cosx,则g'(x)=6x—sinx,则g"(x)=6—cosx>。,

所以，函数g'(x)在R上为增函数，

当x<0时,g'(x)<g'(O)=O,此时，函数g(x)为减函数；

当x〉0时，g'(x)>g'(O)=O，此时，函数g(x)为增函数.

所以，g(x)n,n=g(O)=l,:.a<\,C选项正确；

对于D选项，当a=3时，/(x)=sinx+x3-3x,则/”(%)=85彳+3£-3.

由B选项可知，函数/'(X)在(—,0)上单调递减，在(0,+。)上单调递增，

•••r(-1)=r(i)=cosi>o,r(o)=-2<o,

由零点存在定理可知，函数/(X)在(一1,0)和(0,1)上都存在一个零点，

因此，当。=3时，函数/(x)有两个极值点，D选项正确.

故选：ACD.

【点睛】

结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：

(1)函数/(X)在区间O上单调递增在区间。上恒成立；

⑵函数/(x)在区间O上单调递减Q/'(x)«0在区间O上恒成立；

(3)函数/(x)在区间O上不单调O/'(x)在区间D上存在极值点；

(4)函数“X)在区间Q上存在单调递增区间。玉eO,使得了'(x)>0成立;

(5)函数/(x)在区间O上存在单调递减区间oBxeO,使得了'(x)<0成立.

15.下列不等式正确的有()

A.V31n2<ln3B.lnn<C.2后<15D.3eIn2<472

【答案】CD

【分析】

构造函数/(x)=Y，利用导数分析其单调性，然后由/(2)>/(6)、

6)>/(〃)、/(JiW)>/(4)、/(我)</(e)得出每个选项的正误.

【详解】

令〃x)=(，贝了〈劝=上詈，令/'(x)=0得无=e

易得/(x)在(O,e)上单调递增，在(e,+。。)上单调递减

所以①/(2)>/(6)，即殍>1!^,即百In2>21n6=ln3,故A错误；

②即彳^〉苧^所以可得In万〉故B错误；

(3)/(V15)>/(4),即1^^〉等=竽，即lnl5=21nA>Aln2

所以Inl5>ln2厉，所以2作<15，故C正确；

3

④/(我)<f(e)，即电整〈叱,即2”、，1,即应ln2<2收

龙e三方12

所以3eln2<4近，故D正确；

故选：CD

【点睛】

关键点点睛：本题考查的是构造函数，利用导数判断函数的单调性，解题的关键是函数的

构造和自变量的选择.

16.下列说法正确的是()

A.函数/(x)=sin2x+6cosx——尤e的最大值是1

B.函数/(x)=sin

C.函数/(x)=；sin2x+a-cosx在(0,乃)上单调递增，则。的取值范围是

D.函数，/、2"一十&"111卜+J+”的最大值为叫最小值为"，若。+0=2,

/(%)=---------------------

2x+cosx

则f=l

【答案】ACD

【分析】

(回丫

化简函数解析式为/(力=-COSX-Xy+1,利用二次函数的基本性质可判断A选项的

3f-/3

正误；令.=sinx+cosx，可得/(x)=g«)=?-,利用导数法可判断B选项的正

t—1

误：利用导数与函数单调性的关系可判断c选项的正误：计算出/(x)+/(-x)=2r,利

用函数的对称性可判断D选项的正误.

【详解】

A选项，

/(X)=1-cos*2x+V3cosx-^=-cos2x+1

COSXd--=-COSX---+--1

42J

又0,y可得：cosxe[0,1],则当cosx=¥时函数取得最大值1，A对;

c、4rHxsin2xcos2xsin?x+cos3x

B选项，.\f(x)=-----+———=—---------

cosxsinxsi;nx-cosx

(sinx+cos祖sin2x+cos2x-sinx-cosx\

sinx-cosx

(sinx+cosx)[(sinx+cosx)2-3sinx-cosx

sinx-cosx

设/=sinx+cosx=+,则/=(sinx+cosx)?=l+2sinxcosx,则

tz-\

sinx-cosx=----，

2

...g(。在区间(1,应］上单调递减，g(%『(&)=(6)=垃,

所以，函数.“X)的值域为［JI+8),B错；

C选项，,/f(x)=；sin2x+a-cosx在区间(。,乃)上是增函数,

/,(x)=cos2x-6!-sinx>0,BPl-2sin2x-a-sinx>0.

☆f=sinx,tG(0,1],即一2/一w+lNO，

ci<—2f+—,令g(r)=—2r+—,则g'(f)=—2—^<0,g(f)在fe(0,1]递减,

=c对；

、卬工2tx2+V2z|-sinx+^-cosx+x

D选项，，、22

/(%)=-------------J-----------------

2x2+cosx

_Z(2x2+cosx)+(/-sinx+x)_t-sinx+x

2x2+cosx2x2+cosx

_z、?sin(-x)-xtsinx+x,.,.

所以，/(—x)=f+1、—一,1”-------,:.f(x)+f(-x^2t,

2•(-%)■+cos(-x)2x2+cosx八/八7

所以，函数/(x)的图象关于点(0")对称，所以，a+b=2t=2