2021年中考数学 冲刺：圆的有关性质（含答案）

2021中考数学专题冲刺：圆的有关性质

一、选择题

1.如图，已知直径MN，弦45,垂足为C,有下列结论：®AC=BC；②曲=曲;

@AM=BM；④其中正确的个数为（）

D.4

2.如图，AB是。O的直径，点C,D,E在。O上.若NAED=20。，则NBCD

的度数为（）

A.100°B.110°C.115°D.120°

3.如图所示，AB是。。的直径，C,D是。0上的两点，CD，AB.若NDAB=

65°,则/BOC等于（）

A.25°B.50°

C.130°D.155°

4.2019.赤峰如图，是。。的弦，OCLA8交。。于点C,。是。。上一点,

NAOC=30。，则/80C的度数为（）

D

A.30°B.40°C.50°D.60°

5.如图I,四边形ABCD是半圆O的内接四边形，AB是直径，比=&.若NC=

110°,则NABC的度数为（）

B

A.55°B.60°C.65°D.70°

6.P为。。内一点，若过点P的最长的弦为8cm,最短的弦为4cm,则OP的长

为（）

A.2小cmB.小cmC.3cmD.2cm

7.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m,水面宽AB=L2m,

某天下雨后，排水管水面上升了0.2m,则此时排水管水面宽为（）

A.1.4mB.1.6m

C.1.8mD.2m

8.如图，在。O内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,NA=NB=60。，则

BC的长为（)

B.16C.18D.20

二、填空题

9.如图所示，AB为。。的直径，点C在。。上，J.OCLAB,过点C的弦C。

与线段。8相交于点E,满足NAEO65。，连接A。，则NBAD=度.

10.2018•毕节如图，A8是。。的直径，C,。为半圆的三等分点，CE_LAB于点

E,则NACE的度数为

11.2018•孝感已知。。的半径为10cm,AB,CO是。。的两条弦，AB//CD,

48=16cm,CD=12cm,则弦AB和CO之间的距离是cm.

12.如图，AB为。O的直径，CDJ_AB.若AB=10,CD=8,则圆心O到弦CD

的距离为.

13.如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm,下雨前水面宽为60cm,

一场大雨过后，水面宽为80cm,则水位上升了_______cm.

14.已知：如图，A,B是。。上的两点，ZAOB=120°,C是晶的中点，则四

边形OACB是.（填特殊平行四边形的名称）

15.如图，已知等腰三角形ABC中，NACB=120。且AC=8C=4,在平面内任作

ZAPB=60°,则BP的最大值为

16.如图所示，动点C在。O的弦AB上运动，AB=2小，连接OC,过点C作

CD1OC交。O于点D,则CD的最大值为.

三、解答题

17.如图，在。O中，AC=CB,CDLOA于点D,CE_LOB于点E.求证：AD=

BE.

18.如图，AB是。O的直径，弦CD与AB相交，D为晶的中点.

(1)求/ABD的大小；

(2)若AC=6,BD=5啦，求BC的长.

c

B

D

19.如图，AB为。。的直径，PD切。O于点C,交AB的延长线于点D,且ND

=2ZA.

⑴求ND的度数；

(2)若CD=2,求BD的长.

20.2018•牡丹江如图，在。。中，AB=2AC,ADLOC于点。.求证：AB=2AD.

21.

如图，已知AABC内接于。。，点C在劣弧上(不与点A,8重合)，点。为弦8C

的中点，DELBC,OE与AC的延长线交于点E射线A。与射线E8交于点E,与。

O交于点G.设NGAB=a,ZACB=/3,ZEAG+ZEBA=y.

(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据

a30°40°50°60°

120°130°140°150°

y150°140°130°120°

猜想：口关于a的函数表达式，y关于a的函数表达式，并给出证明;

(2)若y=135。，CD=3,ZXABE的面积为△ABC的面积的4倍，求。。半径的长.

22.(2019•辽阳)如图，BE是。。的直径，点A和点。是。。上的两点，连接AE,

AD,DE,过点A作射线交班的延长线于点C,使NE4C=NEQ4.

(1)求证：AC是。。的切线；

(2)若CE=AE=26,求阴影部分的面积.

2021中考数学专题冲刺：圆的有关性质-答案

一、选择题

1.【答案】D

2.【答案】B［解析］连接AC.〈AB为。O的直径，.,.ZACB=90°.VZAED=

20°,.,.ZACD=20°,.•.NBCD=NACB+NACD=110。.故选B.

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】A［解析］如图，连接AC.

•••四边形ABCD是半圆的内接四边形,

二ZDAB=180°-ZBCD=70°.

VDC=CB,

ZCAB=|ZDAB=35°.

VAB是半圆O的直径，

，NACB=90。，

，ZABC=90°-ZCAB=55°.

故选A.

6.【答案】A［解析］设。O中过点P的最长的弦为AB,最短的弦为CD,如图

所示，则CD_LAB于点P.根据题意，得AB=8cm,CD=4cm,

VCD1AB,

/.CP=^CD=2cm.

在Rt^OCP中，根据勾股定理，得

OP=4OC2—CP2=、42—22=2小(cm).

7.【答案】B［解析］如图，过点O作OE_LAB于点E,交CD于点F,连接OC.

VAB=1.2m,OE_LAB,OA=1m,AE=0.6m,OE=0.8m.

•..排水管水面上升了0.2m,

.*.OF=0.8-0.2=0.6(m).

由题意可知CD//AB.

VOE±AB,.*.OE±CD,

.,.CF=、OC2-OF2=0.8m,CD=2CF,

.•.CD=l,6m.故选B.

8.【答案】D［解析］如图，延长AO交BC于点D,过点。作OELBC于点E.

VZA=ZB=60°,.'.△DAB是等边三角形，,AD=DB=AB=12,ZADB=

ZA=60°,

.•.OD=AD—OA=12—8=4.在Rt△ODE中，^.•NDOE=90。-NADB=30°,.•.

DE=；OD=2,，BE=DB-DE=12—2=10.由垂径定理，知BC=2BE=20.

二、填空题

9.【答案】20［解析］如图，连接O。，'：CO±AB,

：.ZCOB=90°,VZAEC=65°,：.ZC=25°,

VOD=OC,：.ZODC=ZC=25°,，N000=130。，：.ZDOB=40°,'：2ZBAD=

/DOB,

，ZBAD=20°.

10.【答案】30°［解析］如图，连接是。。的直径，A^=CD=BD,

：.ZAOC=ZCOD=ZDOB=60°.

'：OA=OC,.•.△AOC是等边三角形，

AZA=60°.

VCE±OA,/.ZAEC=90°,

/.ZACE=90°-60°=30°.

11.【答案】2或14［解析］①当弦AB和CO在圆心同侧时，连接OA,OC,过

点。作OE_LC。于点F,交A8于点E,如图①，

16cm,CD=12cm,

.\AE=Scm,CF=6cm.

OA=OC=10cm,

AEO=6cm,OF=8cm,

/.EF=OF—OE=2cm；

图①图②

②当弦AB和CD在圆心异侧时，连接。4OC,过点O作OELCD于点E并

反向延长交4?于点F,如图②，'：AB=16cm,CD=12cm,

.*.AF=8cm,CE=6cm.

•・・OA=OC=10cm,

OF=6cm,OE=8cm,

：.EF=OF+OE=\^cm.

：.AB与CD之间的距离为2cm或14cm.

12.【答案】3

13.【答案】10或70［解析］作0。LAB于C,。。交。。于点。，连接08

由垂径定理得：BC=以8=30cm.

2

在RtAOBC中，OC=VOB2_Bc2=40(cm).

当水位上升到圆心以下且水面宽80cm时,

圆心到水面距离=V502-402=30(cm),

水面上升的高度为:40-30=10(cm).

当水位上升到圆心以上且水面宽80cm时，水面上升的高度为:40+30=70(cm).

综上可得，水面上升的高度为10cm或70cm.

故答案为10或70.

14.【答案】菱形［解析］连接OC.

•..c是a的中点，

/.ZAOC=ZCOB=60°.

XVOA=OC=OB,

/.△OAC和^OCB都是等边三角形，

.•.OA=AC=BC=OB,

...四边形OACB是菱形.

15.【答案】8［解析］由题意可得A,P,B,。在同一个圆上，所以当为圆

的直径时，BP最大,此时N出8=90°.过点。作于点。，可求得A8

=4仍，进而可求得8P的最大值为8.

16.【答案】小［解析］如图，连接OD,过点。作OHLAB于点H,则AH=BH

=^AB=y/3/：CD10C,，7匚0。为。。的半径，.,.当OC最

小时，CD最大.当点C运动到点”时，。。最小，此时即CD

的最大值为小.

三、解答题

17.【答案】

证明：如图，连接OC.

VAC=CB,

-,.ZAOC=ZBOC.

•.•CD_LOA于点D,CELOB于点E,

/.ZCDO=ZCEO=90o.

在^COD^ACOE中，

(NAOC=NBOC,

INCDO=NCEO,

lco=co,

/.ACOD^ACOE(AAS),/.OD=OE.

又'"0=80,

.".AO-OD=BO-OE,即AD=BE.

18.【答案】

解：⑴:D为翁的中点，

.•.Ab=BD.

VAB是。O的直径，

.,.ZADB=90°,

•,.ZABD=ZDAB=45°.

(2)由(1)知⑪=6b,，AD=BD=5\[2.

又•.•NADB=90°,

AB=2AD2+BD2=10.

VAB是OO的直径，

.,.ZACB=90°,

/.BC=dAB2—AC2K102—62=8.

19.【答案】

解：⑴连接oc.

VOA=OC,/.ZA=ZOCA,

，ZCOD=ZA+Z0CA=2ZA.

VZD=2ZA,.，.ZCOD=ZD.

•••PD与。O相切于点C,

AOCIPD,即NOCD=90°,

ZD=1x(180°-90°)=45°.

(2)由(1)可知NCOD=ND,，OC=CD=2.

由勾股定理，得OD=d22+22=2小,

/.BD=OD-OB=272-2.

20.【答案】

证明：如图，延长交。。于点£,

■:OCLAD,

：.AE=2AC,AE=2AD.

"：AB=2AC,：.AE=AB,

：.AB=AE,：.AB=2AD.

21.【答案】

【思维教练】⑴观察表格可猜想|3=90。+01,y=18(r—a.连接BG,由直径所对

的圆周角为90。和圆内接四边形的对角和为180。即可得出(3=90。+(1；由题干条

件易知4EBD丝AEGD,ZEBC=ZECB,再由三角形的外角和定理和。=90。

+a,利用角度之间的转化即可得出结论；(2)由(1)的结论可以得出。=/8人6=

45°,p=ZACB=135°,.,./ECB=45。，ZCEB=90°,AECD.ZXBEC、AA

BG都是等腰直角三角形，由CD的长，可得出BE和CE的长，再由题干条件4A

BE的面积是AABC的面积的4倍可得出AC的长，利用勾股定理在4ABE中求出

AB的长，再利用勾股定理在4ABG求出AG的长，即可求出半径长.

B

\G0

（l）®p=90°+a,y=180°-a

证明：如解图①，连接BG,

YAG是。。的直径，•，.ZABG=90°,

...a+NBGA=90°,（1分）

又•••四边形ACBG内接于。O,

.•.p+ZBGA=180°,

.*.p-a=90o,

即P=90°+a；（3分）

②；口是BC的中点，且DEJ_BC,

.'.△EBD^AECD,.".ZEBC=ZECB,

VZEAG+ZEBA=y,

NEAB+a+NEBC+NCBA=y,

VZEAB+ZCBA=ZECB,

.,.2ZECB+a=y,（4分）

.,.2（18O°-p）+a=y,

由①p=9O°+a代入后化简得，y=18（r—a；（6分）

（2）如解图②，连接BG,

Vy=135°,y=180°-a,

，a=45。，p=135°,

/.ZAGB=ZECB=45°,（8分）

...△ECD和AABG都是等腰直角三角形，

又「•△ABE的面积是aABC的面积的4倍，

，AE=4AC,，EC=3AC,（9分）

V