第11讲预备知识十一3.2.1函数的单调性与最大(小)值(精讲)

第11讲预备知识十一：3.2.1函数的单调性与最大（小）值目录TOC\o"1-2"\h\u一、知识衔接 2二、重点题型剖析 4题型一：利用定义法判断或证明函数的单调性 4题型二：求函数的单调区间 6题型三：利用函数的单调性解不等式 9题型四：利用函数的单调性求参数 11题型五：求函数最值（值域） 12题型六：二次函数（含参数）最值问题 15题型七：根据最值（值域）求参数 17题型八：恒成立（能）成立问题 20一、知识衔接知识点一：函数的单调性1、增函数与减函数一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的）特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasingfunction).一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有，那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的）特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasingfunction).2、函数的单调性与单调区间如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间．3、常见函数的单调性函数单调性一次函数（）当时，在上单调递增当时，在上单调递减反比例函数（）当时，在和上单调递减当时，在和上单调递增二次函数（）对称轴为当时，在上单调递减；在上单调递增当时，在上单调递增；在上单调递减知识点二：函数单调性的判断与证明1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为①取值：任取，，且；②作差：计算；③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数；④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数；⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性2、图象法一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性.3、性质法（1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反；（2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同；（3）和的公共定义区间，有如下结论；增增增不确定增减不确定增减减减不确定减增不确定减知识点三：函数的最大（小）值1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足：①，都有②，使得那么称是函数的最大值；2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足：①，都有②，使得那么称是函数的最小值二、重点题型剖析题型一：利用定义法判断或证明函数的单调性典型例题例题1．（2023·高一课时练习）求证：函数在区间上是增函数.【答案】证明见解析【详解】证明：任取，.又，，.∴，则，即.∴在区间上是增函数.例题2．（2023·高一单元测试）已知.(1)用定义证明在区间上是增函数；【答案】(1)见解析【详解】（1）证明：任取，，，且，则．，，而，，，即，在区间，上是增函数；例题3．（2023·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第六十八中学校考期末）已知函数，判断并证明在上的单调性.【答案】单调递增，证明见解析【详解】函数在上单调递增.证明：，任取，，因为，所以，，，所以，即，所以在上单调递增.同类题型归类练1．（2023春·青海西宁·高二校考开学考试）已知函数.(1)判断函数在上的单调性，并证明；【答案】(1)函数在上单调递减，理由见详解【详解】（1）函数在上单调递减；理由如下：取，规定；则因为，所以所以所以函数在上单调递减2．（2023春·新疆乌鲁木齐·高一新疆师范大学附属中学校考开学考试）设函数．（1）用定义证明函数在区间上是单调减函数；【答案】（1）见解析；（2）最大值为3，最小值为.【详解】（1）任取，因为在上是单调减函数3．（2023·全国·高三专题练习）利用定义证明函数在区间上为减函数.【答案】证明见解析【详解】任取且，则，因为且，可得，所以，即，即，所以函数是上的减函数.题型二：求函数的单调区间典型例题例题1．（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）函数的单调递增区间是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由知，函数为开口向上，对称轴为的二次函数，则单调递增区间是.故选：B.例题2．（2023秋·山东枣庄·高一枣庄八中校考阶段练习）函数的减区间是（

）A． B．C．， D．【答案】C【详解】由图象知单调减区间为，故选：.例题3．（2023·高一课时练习）函数的单调递增区间是（

）A． B．和C．和 D．和【答案】B【详解】如图所示：函数的单调递增区间是和．故选：B.同类题型归类练1．（2023秋·高一课时练习）定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题图知：在上的单调递减，在上的单调递增，所以的单调递减区间为.故选：B2．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，则函数在上单调递增，所以函数的单调递减区间是.故选：A3．（2023·高一课时练习）函数的单调减区间为______.【答案】、【详解】解：由知，即的定义域为，作出的图像如图所示：由图可知：的单调递减区间为和.故答案为：、.题型三：利用函数的单调性解不等式典型例题例题1．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知函数是实数集上的减函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由函数是实数集上的减函数，又所以，解得故选：C例题2．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）已知函数是定义在上的减函数，且，则的取值范围是______．【答案】【详解】函数是定义在上的减函数，且，∴，解得．故答案为：例题3．（2023·上海·高一专题练习）已知函数是定义在上的严格单调递减函数，则不等式的解集为__________．【答案】【详解】因为函数是定义在R上的严格单调递减函数，所以当时，，即，解得当时，，即，解得综上，不等式的解集为故答案为：同类题型归类练1．（2023秋·高一课时练习）已知函数是定义在R上的增函数，且，则a的取值范围是（

）A． B．(2，3)C．(1，2) D．(1，3)【答案】A【详解】∵是定义在R上的增函数，且，∴，解得，则a的取值范围为．故选：A．2．（2023秋·四川达州·高一校考阶段练习）已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为（

）A．（0，1） B．（-2，1） C．（0，） D．（0，2）【答案】A【详解】因为在定义域上是减函数，所以由，故选：A3．（2023·上海·高一专题练习）设是定义在区间上的严格增函数．若，则a的取值范围是______．【答案】.【详解】由题意，函数是定义在区间上的严格增函数，因为，可得，解得，所以实数a的取值范围是.故答案为：.题型四：利用函数的单调性求参数典型例题例题1．（2023春·四川泸州·高一泸县五中校考阶段练习）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围为（

）．A． B．C．或 D．或【答案】C【详解】函数的对称轴为，因为函数在上具有单调性，所以或，即或.故选：C例题2．（2023春·上海嘉定·高一校考开学考试）已知在区间上是严格增函数，则的取值范围是______．【答案】【详解】，因为在区间上是严格增函数，所以，即.故答案为：.例题3．（2023·高一课时练习）已知函数是上的严格减函数，则的取值范围是______．【答案】【详解】因为函数是上的严格减函数，所以，即.故答案为：.同类题型归类练1．（2023秋·四川达州·高一校考阶段练习）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是______【答案】【详解】二次函数的图像开口向上，单调增区间为，又函数在区间上是增函数，则，解之得，则实数的取值范围是故答案为：2．（2023春·青海西宁·高二校考开学考试）已知在上是增函数，则a的取值范围是________．【答案】【详解】由于在上是增函数，所以，所以的取值范围是.故答案为：3．（2023秋·吉林·高一吉林市田家炳高级中学校考期末）若函数在区间上单调递增，则的最小值为____________．【答案】【详解】因为在区间上单调递增，所以，即，因为，所以的最小值为.故答案为：.题型五：求函数最值（值域）典型例题例题1．（2023·云南·高二统考学业考试）已知函数，则函数的最大值为（

）A．15 B．10 C．0 D．【答案】A【详解】函数在上单调递增，则，所以函数的最大值为15.故选：A例题2．（2023·高一课时练习）函数在区间上的最大值、最小值分别是（

）A．， B．，1 C．， D．1，【答案】D【详解】易知函数在区间是单调递减函数，因此当时，函数的最大值为，当时，函数的最小值为.故选：D.例题3．（2023秋·高一单元测试）已知.(1)用定义证明在区间上是增函数；(2)求该函数在区间上的最大值.【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）证明：任取，，，且，则．，，而，，，即，在区间，上是增函数；（2）解：由(1)知，在区间，上是单调增函数，．例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的值域为__________.【答案】【详解】令，则函数变为，，该函数在单调递增，在单调递减，故当时，取最小值，所以值域为，故答案为:同类题型归类练1．（2023秋·高一课时练习）函数（）的最大值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】函数在上单调递减，所以最大值为故选：A2．（2023春·新疆乌鲁木齐·高一新疆师范大学附属中学校考开学考试）设函数．（1）用定义证明函数在区间上是单调减函数；（2）求函数在区间得最大值和最小值．【答案】（1）见解析；（2）最大值为3，最小值为.【详解】（1）任取，因为在上是单调减函数（2）由（1）得函数在上是单调减函数，所以函数在上为单调减函数，所以3．（2023秋·浙江杭州·高一杭州市长河高级中学校考期末）若，则函数在上的值域是______________．【答案】【详解】，任取，，且，则，所以，所以函数在上单调递增，则，，所以函数在上的值域是.故答案为：.4．（2023秋·山东枣庄·高一枣庄八中校考期末）若二次函数的图像经过点，则函数在上的最小值为________.【答案】【详解】由题知，，解得则，所以当时，有最小值.故答案为：.题型六：二次函数（含参数）最值问题典型例题例题1．（2023·内蒙古赤峰·高一赤峰二中校考期末）已知二次函数（，且），，若函数的最小值为.(1)求的解析式；(2)已知，讨论在上的最小值；(3)当时，恒成立，求的取值范围.【答案】(1)；(2)．(3)．【详解】（1）由题意且，解得，∴；（2）由（1），当，即时，，当时，在上单调递增，，当即时，在上单调递减，，综上，．（3），恒成立，即，，易知出函数在上是增函数，当时，取得最小值，所以．例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，（1）若恒成立，求的范围．（2）求的最小值．【答案】（1）；（2）．【详解】解：（1），，，，，当且仅当时成立，∴，．（2）当即时，；当即时，，综上，．同类题型归类练1．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数满足，且．(1)求的解析式；(2)求函数在区间，上的最大值．【答案】(1)(2)【详解】（1）设，则，因为，所以，故，解得：又所以，所以；（2）由（1）得，图象开口向上，对称轴为．当时，，所以此时函数的最大值为；当时，，所以此时函数的最大值为；综上：．2．（2023·高一课时练习）已知函数的表达式，若，求函数的最值．【答案】答案见解析【详解】解：函数的图像的对称轴为直线．①当，即时，，；②当，即时，，；③当，即时，，；④当，即时，，．∴，题型七：根据最值（值域）求参数典型例题例题1．（2023·高一课时练习）若函数在区间上的最大值是4，则实数的值为（

）A．-1 B．1 C．3 D．1或3【答案】B【详解】解：当时，在区间上为增函数，则当时，取得最大值，即，解得；当时，在区间上为减函数，则当时，取得最大值，即，解得舍去，所以，故选：B例题2．（2023秋·四川泸州·高一统考期末）函数在时有最大值为，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：因为时，，当且仅当，即时取“”，所以函数，解得，，所以．故选：C．例题3．（多选）（2023秋·高一课时练习）设函数，存在最小值时，实数的值可能是（

）A． B． C．0 D．1【答案】ABC【详解】解：因为，若，当时在上单调递增，当时，此时函数不存在最小值；若，则，此时，符合题意；若，当时在上单调递减，当时，二次函数对称轴为，开口向上，此时在上单调递增，要使函数存在最小值，只需，解得，综上可得.故选：ABC例题4．（2023·全国·高一专题练习）函数在区间上有最小值-1，则实数的取值范围是______．【答案】【详解】，要想取到最小值-1，则，所以.故答案为：.同类题型归类练1．（2023·高一课时练习）若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值为（

）A．2 B．2或 C．3 D．3或【答案】B【详解】依题意，当时，，不符合题意；当时，在区间上单调递增，所以，得；当时，在区间上单调递减，所以，得．综上，a的值为故选:B.2．（2023秋·高一课时练习）已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.【答案】36【详解】f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在(0，]上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝时取得最小值，由题意知＝3，∴a＝36.故答案为：3．（2023秋·上海浦东新·高一上海南汇中学校考期末）设若是的最小值，则的取值范围是.【答案】【详解】由题意，当时，的极小值为，当时，极小值为，是的最小值，则.4．（2023秋·江西宜春·高一校考期末）已知函数.(1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；(2)若在区间上有最大值3，求实数的值.【答案】(1)；(2)或.【详解】（1）的对称轴，要满足题意，只需，故实数的取值范围为.（2）当时，在单调递减，则在上的最大值为，令，解得；当时，在单调递增，在单调递减，则在上的最大值为，令，解得或，都不满足，故舍去；当时，在单调递增，则在上的最大值为，令，解得；综上所述，或.题型八：恒成立（能）成立问题典型例题例题1．（2023秋·高一课时练习）已知函数，对于任意的恒成立，则实数的最小值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【详解】对于任意的使恒成立，令（），则，即，