2022-2023学年浙江省湖州、衢州、丽水数学高一第二学期期末统考试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知，则三个数、、由小到大的顺序是（）A． B．C． D．2．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20000m，速度为900km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30∘，经过80s后又看到山顶的俯角为75A．5000(3+1)C．5000(3-3)3．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12.设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（）.A． B． C． D．4．已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，时速在的汽车辆数为()A．8 B．80 C．65 D．705．是()A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数6．关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则的取值范围是（）A． B．C． D．7．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A．， B．， C．， D．，8．在等比数列中，，，则（）A． B．C． D．9．设和分别表示函数的最大值和最小值，则等于（）A． B． C． D．10．下列命题正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，，则二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知的一个内角为，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_______________.12．在平面直角坐标系中，圆的方程为．若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取值范围是______．13．设为等差数列的前n项和，，则________.14．若正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的角是45°，则该正四棱锥的体积是________.15．在四面体中，平面ABC，，若四面体ABCD的外接球的表面积为，则四面体ABCD的体积为_______．16．设变量x、y满足约束条件，则目标函数的最大值为_______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式;（2）设，求数列的前项和.18．从含有两件正品和一件次品的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求：（1）一切可能的结果组成的基本事件空间．（2）取出的两件产品中恰有一件次品的概率19．已知数列满足：.（1）求证：数列为等差数列，并求；（2）记，求数列的前项和.20．某科研课题组通过一款手机APP软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表周跑量（km/周）人数100120130180220150603010（1）在答题卡上补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图:注:请先用铅笔画，确定后再用黑色水笔描黑（2）根据以上图表数据计算得样本的平均数为，试求样本的中位数（保留一位小数），并用平均数、中位数等数字特征估计该市跑步爱好者周跑量的分布特点（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如下表:周跑量小于20公里20公里到40公里不小于40公里类别休闲跑者核心跑者精英跑者装备价格（单位：元）250040004500根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元?21．在中，边所在的直线方程为，其中顶点的纵坐标为1，顶点的坐标为.（1）求边上的高所在的直线方程；（2）若的中点分别为，，求直线的方程.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

比较三个数、、与的大小关系，再利用指数函数的单调性可得出、的大小，可得出这三个数的大小关系.【详解】，，，，且，函数为减函数，所以，，即，，因此，，故选C.【点睛】本题考查指数幂的大小关系，常用的方法有如下几种：（1）底数相同，指数不同，利用同底数的指数函数的单调性来比较大小；（2）指数相同，底数不同，利用同指数的幂函数的单调性来比较大小；（3）底数和指数都不相同时，可以利用中间值法来比较大小.2、C【解析】分析：先求AB的长，在△ABC中，可求BC的长，进而由于CD⊥AD，所以CD=BCsin∠CBD，故可得山顶的海拔高度．详解：如图，∠A=30°，∠ACB=45°，

AB=900×80×13600∴在△ABC中，BC=102∵CD⊥AD，=102sin30点睛：本题以实际问题为载体，考查正弦定理的运用，关键是理解俯角的概念，属于基础题．3、B【解析】

根据所给数据，分别求出平均数为a，中位数为b，众数为c，然后进行比较可得选项.【详解】，中位数为，众数为.故选：B.【点睛】本题主要考查统计量的求解，明确平均数、中位数、众数的求解方法是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.4、B【解析】

先计算时速在的汽车频率，再乘200,。【详解】由图知：时速在的汽车频率为所以时速在的汽车辆数为，选B.【点睛】本题考查频率分布直方图，属于基础题。5、A【解析】

将函数化为的形式后再进行判断便可得到结论．【详解】由题意得，∵，且函数的最小正周期为，∴函数时最小正周期为的偶函数．故选A．【点睛】判断函数最小正周期时，需要把函数的解析式化为或的形式，然后利用公式求解即可得到周期．6、C【解析】

首先将原不等式转化为，然后对进行分类讨论，再结合不等式解集中恰有3个整数，列出关于的条件，求解即可.【详解】关于的不等式等价于当时，即时，于的不等式的解集为，要使解集中恰有3个整数，则；当时，即时，于的不等式的解集为，不满足题意；当时，即时，于的不等式的解集为，要使解集中恰有3个整数，则；综上，.故选：C．【点睛】本题主要考了一元二次不等式的解法以及分类讨论思想，属于中档题．7、B【解析】

试题分析：由题意知，样本容量为，其中高中生人数为，高中生的近视人数为，故选B.【考点定位】本题考查分层抽样与统计图，属于中等题.8、B【解析】

设等比数列的公比为，由等比数列的定义知与同号，再利用等比中项的性质可求出的值.【详解】设等比数列的公比为，则，，.由等比中项的性质可得，因此，，故选：B.【点睛】本题考查等比中项性质的应用，同时也要利用等比数列的定义判断出项的符号，考查运算求解能力，属于中等题.9、C【解析】

根据余弦函数的值域，确定出的最大值和最小值，即可计算出的值.【详解】因为的值域为，所以的最大值，所以的最小值，所以.故选：C.【点睛】本题考查余弦型函数的最值问题，难度较易.求解形如的函数的值域，注意借助余弦函数的有界性进行分析.10、C【解析】

对每一个选项进行判断，选出正确的答案.【详解】A.若，则，取不成立B.若，则，取不成立C.若，，则，正确D.若，，则，取不成立故答案选C【点睛】本题考查了不等式的性质，找出反例是解题的关键.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

试题分析：设三角形的三边长为a-4,b=a,c=a+4,(a<b<c),根据题意可知三边长构成公差为4的等差数列，可知a+c=2b,C=120,，则由余弦定理，c=a+b-2abcosC，,三边长为6,10,14，,b=a+c-2accosB,即（a+c）=a+c-2accosB,cosB=，sinB=可知S==.考点：本试题主要考查了等差数列与解三角形的面积的求解的综合运用．点评：解决该试题的关键是利用余弦定理来求解，以及边角关系的运用，正弦面积公式来求解．巧设变量a-4,a,a+4会简化运算．12、【解析】试题分析：记两个切点为，则由于，因此四边形是正方形，，圆标准方程为，，，于是圆心直线的距离不大于，，解得.考点：直线和圆的位置关系.13、54.【解析】

设首项为，公差为，利用等差数列的前n项和公式列出方程组，解方程求解即可.【详解】设首项为，公差为,由题意，可得解得所以.【点睛】本题主要考查了等差数列的前n项和公式，解方程的思想，属于中档题.14、【解析】

过棱锥顶点作,平面，则为的中点，为正方形的中心，连结，设正四棱锥的底面长为，根据已知求出a=2,SO=1,再求该正四棱锥的体积.【详解】过棱锥顶点作,平面，则为的中点，为正方形的中心，连结，则为侧面与底面所成角的平面角，即，设正四棱锥的底面长为，则，所以，在中，∵∴，解得，∴∴棱锥的体积.故答案为【点睛】本题主要考查空间线面角的计算，考查棱锥体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.15、【解析】

设,再根据外接球的直径与和底面外接圆的一条直径构成直角三角形求解进而求得体积即可.【详解】设,底面外接圆直径为.易得底面是边长为3的等边三角形.则由正弦定理得.又外接球的直径与和底面外接圆的一条直径构成直角三角形有.又外接球的表面积为,即.解得.故四面体体积为.故答案为：【点睛】本题主要考查了侧棱垂直于底面的四面体的外接球问题.需要根据题意建立底面三角形外接圆的直径和三棱锥的高与外接球直径的关系再求解.属于中档题.16、3【解析】

可通过限定条件作出对应的平面区域图，再根据目标函数特点进行求值【详解】可行域如图所示;则可化为,由图象可知,当过点时，有最大值，则其最大值为:故答案为:3.【点睛】线性规划问题关键是能正确画出可行域，目标函数可由几何意义确定具体含义（最值或斜率）三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】

（1）由递推公式，再递推一步，得，两式相减化简得，可以判断数列是等差数列，进而可以求出等差数列的通项公式;（2）根据（1）和对数的运算性质，用裂项相消法可以求出数列的前项和.【详解】解：（1）由知所以，即，从而所以，数列是以2为公比的等比数列又可得，综上所述，故.（2）由（1）可知，故，综上所述，所以，故而所以.【点睛】本题考查了已知递推公式求数列通项公式问题，考查了等差数列的判断以及等差数列的通项公式，考查了用裂项相消法求数列前项和问题，考查了数学运算能力.18、(1)和；(2)【解析】

（1）注意先后顺序以及是不放回的抽取；（2）在所有可能的事件中寻找符合要求的事件，然后利用古典概型概率计算公式求解即可.【详解】（1）每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即和其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品（2）用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则∴事件A由4个基本事件组成，因而，=．【点睛】本题考查挂古典概型的基本概率计算，难度较易.对于放回或不放回的问题，一定要注意区分其中的不同.19、（1）证明见解析，；（2）．【解析】

（1）由等差数列的定义证明，利用等差数列通项公式可求得；（2）用裂项相消法求数列的和．【详解】（1）证明：∵，∴，即，∴是等差数列，公差为，，∴，∴；（2）由（1），所以．【点睛】本题考查用定义证明等差数列，考查等差数列的通项公式，考查用裂项相消法求数列的前项和．掌握等差数的定义是解题关键．数列求和时除掌握等比数列的求和公式外还要掌握数列的几种求和方法：裂项相消法，错位相减法，分组（并项）求和法，倒序相加法等等．20、(1)见解析；(2)中位数为29.2，分布特点见解析；(3)3720元【解析】

（1）根据频数和频率之间的关系计算，即可得到答案；（2）根据频率分布直方图利用中位数两边频率相等，列方程求出中位数的值，进而得出结论；（3）根据频率分布直方图求出休闲跑者，核心跑者，精英跑者分别人数，进而求出平均值．【详解】（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图，如下：（2）中位数的估计值：由，所以中位数位于区间中，设中位数为，则，解得，因为，所以估计该市跑步爱好者多数人的周跑量多于样本的平均数．（3）依题意可知，休闲跑者共有人，核心跑者人，精英跑者人，所以该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要元．【点睛】本题主要考查了平均数、中位数的求法，以及频率分布