2022-2023学年七年级数学上学期期末考试真题汇编04 线段与角的计算满分练（解析版）

专题04线段与角的计算满分练

专题04线段与角的计算..........................................................1

一、关键知识点.........................................................................6

二、经典基础题.........................................................................6

考点1线段的和与差.................................................10

考点2线段中点.....................................................13

考点3几何图形中角度的计算.........................................16

考点4角平分线的有关计算...........................................20

考点5求一个角的余角或补角.........................................25

考点6与余角、补角有关的计算.......................................31

考点7同（等）角的余（补）角相等........................................40

三、优选提升..........................................................................40

关键知识点：

第一节：直线、射线、线段

知识点1：概念

线段：一段拉直的棉线可近似地看作线段，线段有两个端点。

线段的画法：（1）画线段时，要画出两个端点之间的部分，不要画出向任何一方延伸的情

况.（2）以后我们说“连结”就是指画以A、B为端点的线段.

射线：将线段向一个方向无限延长，就形成了射线，射线有一个端点。如手电筒、探照灯射出的光线

等。

射线的画法：画射线一要画出射线端点：二要画出射线经过一点，并向一旁延伸的情况.

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直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线，直线没有端点。如笔直的铁轨等。

直线的画法：用直尺画直线，但只能画出一部分，不能画端点。

知识点2：线段、直线、射线的表示方法：

(1)点的记法：用一个大写英文字母

(2)线段的记法：①用两个端点的字母来表示②用一个小写英文字母表示

如AB图：a

记作线段AB或线段BA,记作线段a,

与字母顺序无关此时要在图中标出此小写字母

温馨提示：线段是直线(或射线)的一部分；2.线段不可向两方无限延伸，但可度量；3.

延长线常化成虚线；4.延长线段AB是指按A到B的方向延长，延长线段BA是指按B到A的方向延长.

(3)射线的记法：用端点及射线上一点来表示，注意端点的字母写在前面

如OM图：

记作射线0M,但不能记作射线M0

温馨提示：1.射线是直线的一部分；2.射线是像一方无限延伸，有一个端点，不能度量，

不能比较大小；3.射线可作反向延长线，不存在射线的延长线。

(4)直线的记法：①用直线上两个点来表示②用一个小写字母来

I

表示

如—1―图：

记作直线AB或直线BA,记作直线1

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与字母顺序无关。此时要在图中标出此小写字母

知识点3：线段、射线、直线的区别与联系：

联系：三者都是直的，线段向一个方向延长可得到射线，线段向两个方向延长可得到直线，故射

线、线段都是直线的一部分，线段是射线的一部分。

区别：直线可以向两方延伸，射线可以向一方无限延伸，线段不能延伸，三者的区别见下表：

延伸、度共同

名称图形表示方法端点长度

量情况点

线段AB（或线段

不能延

ABBA）（字母无序）

线段伸,可度两个有

a

量

线段a

都是

只能向一

直

方无限延

射线0M射线AB（字母有序）一个无线，

伸,不可

非曲

度量

线

直线AB（或直线可像两方

AB

BA）（字母无序）无限延

直线1无无

伸，不可

直线1度量

知识点4：直线的基本性质（重点）

（1）经过一点可以画无数条直线

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（2）经过两点只可以画一条直线

直线的基本性质：经过两点有且只有一条直线（也就是说：两点确定一条直线）

注：“确定”体现了“有”，又体现了“只有”。

如图：\/

经过点K可以画无数条直线经过点A、B只可以画一条直线

温馨提示：两条射线（或线段）未必一定有交点

知识点5:两点的距离

连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。它是线段的长度，是数量，不是线段本身

知识点6:两点的距离

连接所有两点的线中，线段最短，简述为两点之间，线段最短。

知识点7：线段的中点

如图，若点C将线段AB分为线段相等的两条线段AC和BC,则点C为线段AB的中点

温馨提示：L-条线段的中点只有一个；2.某一点要成为线段的中点必须同时满足两个条件：点必

须在这条线段上；它把这条线段分成相等的两条线段。

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知识点8：线段的计数问题

阅读下表:

线段AB上的点数n

图例线段总条数N

（包括A、B两点）

3ACB3=2+1

4ACDB6=3+2+1

5ACDEB10=4+3+2+1

6ACDEFB15=5+4+3+2+1

（1）根据表中规律可得到线段总数N与线段上点数n（包括线段的两个端点）存在着如下的关系

2

第二节：角一一余角、补角

知识点1：角的定义

角是有两条具有公共顶点的射线组成的。两条射线的公共点叫做这个角的顶点。两条射线叫做角的两

边。角也可以看成时一条射线绕它的顶点旋转而成的。

温馨提示：

1.因为射线是向一方无限延伸的，所以角的两边无所谓长短，即角的大小与它的边长无关。

2.角的大小可以度量，也可以比较。

3.根据角的度数，角可以分成锐角、直角、钝角、平角和周角。

锐角：大于0°小于90。；直角：等于90°；钝角：大于90。小于180。；

平角：等于180。（不能说成平角就是一条直线）；周角：等于360°（不能说成周角就是一条射线）

4.两条射线组成的图形叫做角或者角是由一条射线旋转而成的,这两种说法都是错误的

知识点2：角的表示

・通常用三个大写字母表示，表示顶点的字母在中间。•在不引起混淆的情况下，也可以用表示顶点

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的大写字母表示角。•也可以用希腊字母（a,P,Y）或数字表示角。

知识点3:角的度量

概念：以度、分、秒为基本单位的角的度量制，叫做角度制。

1°=60',r=60",1°=3600",1周角=360°,1平角=180°.

温馨提示：1•角的度、分、秒是60进制的。2.在进行度分秒运算时，由低级单位向高级单位转换或者由

高级单位向低级单位转换，要逐级转换，不能越级。

知识点4：角平分线（见课本）

知识点5：角的计数问题

数角与之前数线段是同一类问题，同样可从角的顶点出发引出n条射线，共有角的个数为：巫士3

2

知识点6：余角、补角

余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角，其中一个角是另一个角的余角

补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角

性质：•同角或等角的余角相等。•同角或等角的补角相等。

温馨提示：•钝角没有余角；•互为余角和补角是两个角之间的关系；如：Zl+Z2+Z3=180°,不能

说他们3个角互补。•互为余角、补角只与角的度数有关，与角的位置无关，只要他们的度数等于90°或

者180°,那一定互为余角或者补角。

知识点7:方向角

1.定义:一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角

（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）XX度。

2.度量：方向角系分由南北起算，角度值在零度及九十度之间。

3.表示方式：在角度值之前冠以南北字样，其后则书出东西字样。

正北：北偏东0度或者北偏西0度。正南：南偏东0度或者南偏西0度。

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正东：北偏东90度或者南偏东90度。正西：北偏西90度或者南偏西90度。

东北：北偏东45度。西北：北偏西45度。

东南：南偏东45度西南：南偏西45度

知识点8:时针、分针的夹角

(1)普通钟表相当于圆，其时针或分针走一圈均相当于走过360°角;

(2)钟表上的每一个大格(时针的一小时或分针的5分钟)对应的角度是：幽=30°；

12

(3)时针每走过1分钟对应的角度应为：当上=05，；—一

12x60AT?\

2

(4)分针每走过1分钟对应的角度应为：幽=6、L°\\

60W

图1

总结规律

从上述两例我们可以总结出规律如下：当分针在时针前面，可以先算出分针走过的角度，再减去时针

走过的角度，即可求出时针与分针夹角的度数；当分针在时针后面，可以先算出时针走过的角度，再减去

分针走过的角度，即可求出时针与分针夹角的度数。

用字母和公式表示：当时间为m点n分时，其时针与分针夹角的度数为：

(1)分针在时针前面：〃x6°—(〃?x30'+〃x0.5°)

(2)分针在时针后面：(MJX30°+/7x0.5°)-nx6°

依据此公式可以求出任意时刻时针与分针夹角的度数，计算起来非常便捷。如果题目中涉及到秒，我

们可以先把秒换算为分，再套用上述规律和公式进行计算即可。

第三节：相交线与平行线

知识点L直线的位置关系

在同一平面内直线与直线的位置关系只有两种：相交与平行。

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知识点2：垂直

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做

另一条直线的垂线，他们的交点叫做垂足。

知识点3：垂直的性质

平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直。（必须强调在同一平面内）

知识点4：垂线段最短

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简述为垂线段最短。

注：直线外一点到这条直线的垂线段只有一条。

知识点5：点到直线的距离

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

知识点6：相交线中的角一一对顶角

概念见课本

知识点7：对顶角性质

对顶角相等

温馨提示：

•判断两个角是否互为对顶角关键是看这两个角是否有公共顶点，一个角的两边是否为另一个角的两

边的反向延长线。

•对顶角也是成对出现的

・两条直线相交所构成的四个角中，有两两对顶角。

•若两个角互为对顶角，那么这两个角一定相等。反之若两个角相等，不一定是互为对顶角。

知识点8：平行线

在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行符号“〃二

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知识点9：平行公理

公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

钱勇泉砒题

考点1线段的和与差

例题：1.（2022•江苏无锡•七年级期末）如图，C、。是线段Z8上两点，且C〃=3/JO-28C,则工。与

8。的关系是（）

111t

ACDB

A.AC=BDB.2AC=BDc.3AC=2BDd.4AC=3BD

【答案】C

【分析】先分别表示出/C和80,即可求出两者的关系.

【详解】解：■■■AC=AD-CD=AD-3AD+2BC=2BC-2AD=2（BC-AD）,

BD=BC-CD=BC-3AD+2BC=3BC-3AD=3（BC-AD）,

AC2（BC-AD）_2

,~BD~3（BC-AD）-3

■■3AC=2BD,

故选：C.

【点睛】本题考查线段的计算，熟练掌握线段的和差是解题的关键.

2.（2022•江苏淮安•七年级期末）线段48=3cm,延长N8至点C,使BC=2AB,则NC=cm.

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【答案】9

【分析】先求出8c的长，再根据/C=NB+BC即可求解.

【详解】解：••,线段/8=3cm,延长至点C,使8c=248,

.••SC=6cm»

；./lC=Z8+8C=9cm,

故答案为：9.

【点睛】本题考查线段的和差倍分，解题关键是理清线段之间的和差关系.

3.（2022•江苏淮安•七年级期末）如图，C为线段工。上一点，8为C。的中点，/O=20cm,AC=12cm.

I111

ACBD

⑴图中共有条线段；

⑵求8。的长；

⑶若点E在线段8。上，且8E=3cm,求NE的长.

【答案】⑴6

（2）8。的长是4cm

（3）/£的长是19cm.

【分析】（1）根据线段的定义找出线段即可；

（2）先根据点8为8的中点，求出线段。的长，再根据ZC=4D-C。即可得出结论：

（3）根据48=4）-8。求出线段的长，再根据85=48+/£即可得出结论.

（1）

解：图中共有1+2+3=6条线段.

故答案为：6；

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⑵

VJ£)=20cm,AC=12cm.

.\CD=AD-JC=8cm.

•・・8为8的中点.

VBD=2CD=4cm,

(3)

AB=AD-BD=2Q-4=16(cm),

AE=AB-^BE=16+3==19(cm).

故4E的长是19cm.

【点睛】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是详解此题的关键.

-AB

训练：1.(2022•江苏苏州•七年级期末)如图，BC=2,。为ZC的中点，DC=3cm,则的长是

()

•------------•----•---------•

ADBC

79

A.2cmB.4cmC.2cmD.5cm

【答案】B

【分析】先根据已知等式得出AB与AC的等量关系，再根据线段的中点定义可得出AC的长，从而可得出

答案.

BC=-AB

【详解】V2

132

AC=AB+BC=AB+—AB=—ABAB=-AC

・・.22,即3

・・・D为AC的中点，DC=3cm

AC=2CD=6cm

22/

AB=-AC=-x6=4(cm)

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故选：B.

【点睛】本题考查了线段的和差倍分、线段的中点定义，掌握线段的中点定义是解题关键.

2.（2022•江苏南京•七年级期末）已知4。、ZE分别是△Z8C的高和中线，若BD=2,CD=1,则。上的

长为.

【答案】0.5或1.5

【分析】根据题意作出草图，分类讨论即可求解.

【详解】解：/。、/E分别是△/8C的高和中线，BD=2,CD=\,

如图，当》8c是钝角三角形时，

,BC=BD-CD=1

113

DE=BD—BE=BD——BC=2——=-

・•.222

当“3C是锐角三角形时，

・•・BC=BD+DC=2+\=3

13

...BE=-BC=-

22

3I

:.DE=BD-BE=2——=-

22

当“/BC是直角三角形时，CZ)=0,不合题意,

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12

故答案为：2或2

【点睛】本题考查了三角形的高线，中线的定义，线段的和差关系，分类讨论是解题的关键.

3.（2022・江苏盐城•七年级期末）已知：如图，4、B、C三点在同一条直线上，8c=3/8,。为/C中点，

E为BC中点.若线段/C的长为8,求线段。E的长.

iiii।

ABDEC

【答案】DE=1.

【分析】根据中点定义求出/。的长度，根据8c=348和/。=8,求出/8、8c的长度，由中点定义求出

8E的长度，由线段的和差即可求解.

【详解】解：•••/）为4C中点，AC=8,

・•・/£>=24。=4,

；BC=34B,4C=8,

:.AB=2,BC=6,

:.BD=AD—AB=4—2=2,

■■E为8C中点，

；.BE=5BC=3,

:.DE=BE-BD=3-2=l.

【点睛】本题考查两点间的距离，灵活运用中点定义、线段的和差倍数关系是解题的关键.

考点2线段中点

例题：1.（2022•江苏扬州•七年级期末）已知点M在线段上，点N是线段A/B的中点，若AN=6,则

的值为（）

A.10B.8

C.12D.以上答案都不对

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【答案】C

【分析】画出图形，设NM=x,根据点N是线段A"的中点，得MN=BN=x,进而表示出4A/、的

长，然后求和即可.

【详解】解：如图所示：设NM=x,

•••点N是线段的中点，

：.MN=BN=x,

,:AN=6

••.ZA/=ZNELMN=6取，AB=AN+BN=6+x,

•^AM+AB=6取+6+x=12.

故选：C.

A~~5NB

【点睛】本题主要考查了线段的和差，熟练掌握线段中点定义的应用，线段之间的数量转化是解题关键.

2.（2022・江苏盐城•七年级期末）已知点C在直线上，线段/8=8cm,8c=2cm,点。是线段NC的

中点，则线段5。的长为cm.

【答案】5或3

【分析】分为两种情况，画出图形，结合图形求出ZC和DC,即可求出答案.

【详解】解：分为两种情况：

①点C在线段N8上，如图所示：

ADCB

vjB=8cni,BC=2cm,

-t-AC=AB^BC=6cm,

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一点。是线段4。的中点,

CD24C—3cnt,

:,BD=CD+BC=3+2=5cm；

②点C在线段的延长线上，如图所示:

—I-------------------1-------1------------1

ADBC

・：AB=8cm,BC=2cm,

・・・4C=4B+BC=10cm,

•・•点。是线段4c的中点，

■.ADAC—5cm,

：.BD=C/X\BC=502=3cw；

即线段BD的长是5cm或3cm.

故答案为：5或3.

【点睛】本题考查线段和差计算，根据题意作出图形，把握线段间的关系，熟练掌握线段重点定义是解决

问题的关键.

3.（2022・江苏扬州•七年级期末）如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成

长度相等的两部分，这点叫做这条折线的"折中点”.如图，点。是折线的"折中点"，请解答以下问

题：

⑴当NO5C时，点。在线段上；当ZC=8C时，点£>与______重合；当NC<8C时，点。在线

段______上；

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(2)当4CV2C时，若E为线段ZC中点，EC=8cm,CD=6cm,求C8的长度.

【答案】⑴/C,点C,BC

(2)28cm

【分析】(1)由"折中点"的定义判断

(2)由"折中点"的定义判断。在8c匕列式计算即可

(1)

解：当4O8C时，由"折中点"的定义可知点。在线段/C上;

当/C=8C时，点。与点C重合

当XC<8C时，点。在线段8c上

(2)

如下图，•・•£：为线段4C中点

.•・^£=£C=8cm

i?D=z4E+EC+CZ)=8+8+6=22(cm)

-CB=BD+DC=22+6=28(crY\)

【点睛】本题考查了线段的加减，理解新定义"折中点"并画出图形是解题关键.

训练：1.(2022•江苏・兴化市大垛中心校七年级期末)下列说法：①对顶角相等；②如果0>0、6<0,

那么而<0；③两点之间，线段最短；④若AB=BC,则点8是线段/C的中点，其中错误的是()

A.①B.②C.③D.④

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【答案】D

【分析】根据基础几何图形的概念即可判断.

【详解】解：A、对顶角相等；此项正确；

B、如果a>0、b<0,那么ab<0；此项正确；

C、两点之间，线段最短；此项正确；

D、若AB=BC,当点8在线段ZC上时，则点8是线段ZC的中点；故此项错误；

故选D.

【点睛】本题考查常见图形的相关概念与性质，理解并细致掌握其定义是解题的关键.

2.（2022・江苏盐城•七年级期末）如图，若点C是直线48上的点，点。是线段8c的中点，若48=30,

AC=16,贝ljCD=.

________■■________

AB

【答案】7或23

【分析】由题意可知，分两种情况进行讨论：①点C在AB之间，②点C在A点左侧.

【详解】解：分两种情况：

①如图，点C在AB之间时，

ACDB

■.■AB=30,AC=16,

...BC=AB-AC=30-16=\4,

•・•点。是线段8c的中点，

CD=-BC=-x\4=7

22.

②如图，点C在A点左侧时,

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cADB

■■AB=30,AC=16,

•.•BC=AB+AC=30+\6=46，

•••点。是线段8C的中点，

CD=-BC=-x46=23

22,

.-.CD=7或23

【点睛】本题考查两点间的距离计算，熟练掌握线段中点的概念和性质是解题的关犍，注意分两种情况进

行讨论.

BC=-AB

3.(2022•江苏扬州七年级期末)如图，已知线段/B=18cm,延长Z8至C,使得3.

ADEBC

⑴求/C的长；

(2)若。是的中点，E是/C的中点，求。£的长.

【答案】⑴24cm

(2)3cm

【分析】(1)根据2c与48的关系可得8C,由4C=48+8C可得答案；

(2)根据线段中点的定义分别求出力£和NO的长度，再利用线段的和差得出答案.

(1)

解：■■-BC=AB,48=18cm,

■■BC=3xl8=6(cm).

■,■AC=AB+BC=24(cm),

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故/C的长为24cm；

⑵

•・•。是的中点，E是4C的中点，

■•■AD=2JS=9cm,AE=2/(C=12cm,

.■.DE=12-^3(cm),

故。E的长为3cm.

【点睛】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键.

考点3几何图形中角度的计算

例题：1.(2022•江苏扬州•七年级期末)若乙408=60。，ZSOC=20°,则乙40c的度数为()

A.40°B.80°C.40°或80°D.60°

【答案】C

【分析】考虑两种情形①当OC在208内部时，乙80c=60。-20。=40。，②当OC在乙408外

部时，乙40。=乙408+N80c=60°+20°=80°.

【详解】解：如图

当0c在乙4。8内部时，ZJOC=408-Z50C=60°-20°=40°,

当OC在乙外部时，乙40。=々08+480。=60。+20。=80。，故答案为40。或80。.

故选C.

【点睛】本题考查角的计算，解决本题的关键是正确画出图形，熟练根据角的和差关系进行计算.

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2.（2022•江苏常州•七年级期末）如图,Zl=133°25,,AOLOB于点、O,点、C、O、2在一条直线上,则42

的度数等于

【答案】43°25'

【分析】根据平角定义先求出乙40。的度数，再根据垂直定义求出"108=90。，从而求出42的度数.

【详解】解：•.•41=133°25',

.♦4。。=180。1=46°35',

"AOLOB,

山08=90°,

•••乙2=乙4。氏，0。=43°25',

故答案为:43°25'.

【点睛】本题考查/垂线，度分秒的换算，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键.

3.（2022•江苏南京•七年级期末）如图，乙408=100。，OC,0。是两条射线，射线OD平分N8OC,乙BOD

=20°.

⑴图中共有个角;

（2）求"/OC的度数;

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⑶作射线0E.若N8OE=50。，则功OE的度数为

【答案】⑴6

(2)60°

(3)30或70

【分析】(1)数出角的个数即可；

(2)利用角平分线的性质求出480C的度数，即可求出乙4OG

(3)分类讨论，分为OE在4108的内部或外部，即可求出NOOE.

(1)

解：一个小角组成的角：3个；两个小角组成的角：2个；三个小角组成的角：1个，共：3+2+1=6个:

故答案为：6：

(2)

解：-OD平分N80C,乙BOD=20。,

:/BOC=2乙BOD=40°.

■■■^03=100",

-.AAOC=AAOB-乙BOC=60°；

(3)

解：当OE在乙4。8的内部时，如图1：

•"。£=50°,£>=20°

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：.U)OE=/.BOE--)=50°-20°=30°；

当OE在乙408的内部时，如图2：

,2BOE=50°,4800=20°

:UOE=乙BOE+乙BOD=50°+20°=70°

故答案为：30或70.

【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的和差运算，灵活应用知识是本题的关键.

训练：1.（2022•江苏苏州•七年级期末）如图所示，射线0，，OB,OC,OD,点4,O,。在同一直线

上.其中点。为量角器半圆的圆心，则从图中可读出N8OC的度数为（）

A.60°B.70°C.80°D.90°

【答案】C

［分析］根据量角器上的读数可知408=50。,4400=130。，根据NBOC=4OC_4IO5即可求得

/2OC的度数

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【详解】解：根据量角器上的读数可知4°8=50。，/"℃=130。,

ABOC=ZAOC-ZAOB=\30°-50°=80°

故选C

【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，根据=求解是解题的关键.

2.（2022・江苏无锡•七年级期末）如图，将一副三角板的直角顶点O叠放在一起，（BOC=飞乙AOD,则

（BOD=°.

【答案】70

【分析】根据已知求出乙40。+乙8。。=180。，再根据480。=同-10。求出410拉，即可求出答案.

【详解】解：•.,乙408=4。0。=90°,

；OD包BOC

=Z-AOB+乙DOB+乙BOC

=〃U)B+cCOD

=90°+90°

=180°,

"BOC=8UOD,

J_

山。0+828=180。，

••.—)=160°,

“BOD=£AOD0ZJOB=160°团90°=70°,

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故答案为：70.

【点睛】本题考查了余角和补角的应用，能求出2OD+480c=180。是解此题的关键.

3.（2022•江苏淮安•七年级期末）如图，直线Z8与直线MN相交，交点为O,OC1AB,04平分

若乙BON=25。，求NCO。的度数.

【答案】4co。的度数是65°

【分析】利用对顶角相等可得乙431的度数，再利用角平分线的定义和垂线定义进行计算即可.

【详解】解：•.N8ON=25°,

■■■OA平分4例0。，

/LAOD=/-MOA=25°,

■：OCLAB,

.-./.AOC=90°,

.■■/.COD^90°325°^65°.

答：NCO。的度数是65。.

【点睛】此题主要考查了垂线，关键是掌握对顶角相等，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直

角时;就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线.

考点4角平分线的有关计算

例题：1.（2022・江苏无锡•七年级期末）如图，直线“8、8相交于点0,OE平分/BOD,。尸LOE且

乙40C:NC。/=2:3,则/。。尸的度数为（）

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F

A.105。B,112.5°c,120°D.135°

【答案】B

【分析】因为ZJOC：ZCOF=2：3,所以设乙40c=2x,贝此C»=3x,所以乙8OZ>=4OC=2x,由角平分线和

垂线定义，得乙BOE=x,乙BOF=90°-x,再根据乙8OF+NCOF+乙40c=180°,则90°-x+3x+2x=180°,求得x,

则由/J)OF=^BOD+ABOF求解即可.

【详解】解："^AOC：NCO尸=2：3,

•••设乙40c=2x,贝l」NCO尸=3x,

：./.BOD=/-AOC=2x,

•：OE平分乙8OC,

二.乙BOE=3乙BOD;X,

-OF1OE

.•.zlEOF=90o,

.-.Z^OF=90°-x,

vZ^OF+zC(?F+zJOC=180o,

••・90°-x+3工+2r=180°,

解得：x=22.5°,

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•••N8O/)=2r=45°,NBOF=90°-x=67.5°,

.•.ZDOF=Z_BOZ）+48。尸=45。+67.5。=112.5。.

故选：B.

【点睛】本题考查角的和差运算，角平分线的定义，对顶角的性质：对顶角相等，垂线的定义，设

^AOC=2x,用x表示出其它角，利用乙SOF+4c0尸+乙1。。=180。建立关于x的方程，求出x值是解题的关

键.

2.（2022•江苏盐城七年级期末）如图，直线48、CO相交于点O,OE平分乙BOD,48（加=24。13,48",

则乙40C=

【答案】48.46

【分析】根据角平分线的定义可得N8OD=2N8OE,再根据对顶角相等解答.

【详解】解：平分N8OO,

ZBOD=2ZBOE=2x24°!3'48"=48°27'36'=48.46°,

ZAOC=NBOD=48.46°.

故答案为:48.46.

【点睛】本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键.

3.（2022•江苏淮安•七年级期末）

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B

~~04~~~~O4

图3备用图

【阅读理解】

射线。。是乙4。8内部的一条射线，若乙4。。=万48。。，则称射线OC是射线。I在々108内的一条“友好

1_

线”.如图1,若乙408=75。，ZJOC=25。，则乙40C=万48OC,所以射线0C是射线04在乙405内的一

条"友好线".

【解决问题】

⑴在图1中，若作乙B0C的平分线。£）,则射线0D（填"是"或"不是"）射线08在"108内的一条

"友好线”；

⑵如图2,乙4。8的度数为〃，射线是射线08在乙405内的一条"友好线"，ON平分乙4OB,贝吐A/ON

的度数为（用含〃的代数式表示）：

⑶如图3,射线05先从与射线04重合的位置出发，绕点O以每秒1。的速度逆时针旋转；10秒后射线

OC也从与射线0/重合的位置出发，绕点。以每秒5。的速度逆时针旋转，当射线0C与射线0/的延长

线重合时，运动停止.问：当射线OC运动时间为多少秒时，射线04,OB,0C中恰好有一条射线是余

下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条"友好线"？

【答案】（1）是

\_

（2）6„

520710340

⑶7或13或15或11或7秒

【分析】（1）根据“友好线”定义即可作出判断；

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（2）根据“友好线”定义即可求解：

（3）利用分类讨论思想，分别作出图形，分情况进行计算即可.

【详解】（1）解：...08是N8OC的平分线，

：.4BOD=2COD,

工

■:NC0A=3NBOC,

：.4B0D=3NAOD,

射线0D是射线0B在N4O8内的一条“友好线”.

故答案为：是.

（2）:射线0M是射线在NNO8内的一条“友好线”，的度数为〃，

，NBOM=3N/OB=3小

〈ON平分NA0B,

・・・ZB0N=2N40B=2〃，

ill

/.ZMON=ZBON-ZBOM=2W-3〃=6〃.

故答案为：6n.

（3）设运动时间为x秒时，射线。4、08.OC中恰好有一条射线是其余两条射线中某条射线的“友好

线”.

•■1当射线0C与射线04的延长线重合时，运动停止

X国=72

5

ZAOC=-ZBOC

如图，当射线0C是射线0/在内的一条“友好线”时•，当2时，

根据题意可得（）,'40C—5%,贝U（）（）

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B

OA

5x=-^(10-4x)

5

x=—

解得7

-ZAOC=ZBOC

如图，当射线OC是射线03在N408内的一条“友好线”时，当2时,

ZAOB=(iO+x)°ZA0C=5x°^<7C=Z^05-zL40C=(10+x)0-5x0=(10-4x)°

□

—x5x=10-4x

2

20

x=—

解得13

20

即运动时间为13秒时，射线0C是射线的“友好线”.

上

③如图，当射线OB是射线0A在ZAOC内的一条“友好线”时，则ZAOB=2ACOB,

4O8=(10+x)。ZAOC=5x°^BOC=ZAOC-ZAOB=5x°-(\0+x)o-5x°=(4x-\0)°

所以10+x=：（4x-l°）,

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解得x=15（符合题意）,

即运动时间为15秒时，射线OB是射线04的“友好线”.

④如图，当射线08是射线0。在NZOC内的一条“友好线”时，则5/力O6=NCO8,

o

ZBOC=ZAOC-ZAOB=5x-(10+x)°-5x°=(<4x-10)°

10

x=—

解得3

40C=(360-5x)。

ZAOC=-ZAOB

当2时

360-5x=1(10+x)

710

X=-----

解得：11

-ZAOC=ZAOB

当2时

；(360—5*)=10+x

340

x=-----

解得：7

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520710340

综上所述，当运动时间为亍或13或15或7F或〒秒时，符合题意要求.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，解决本题的关键是利用分类讨论思想.

训练：1.（2022・江苏・射阳县第六中学七年级期末）有下列说法：①射线48与射线比4表示同一条直

线；②若AB=BC,则点8是线段/C的中点；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④两点之

ZAOC=-ZAOB

间，线段最短；⑤已知三条射线04OB,OC,若2,则射线OC是的平分线：⑥

在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有两种：相交或平行.其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】根据射线的定义，线段中点的定义，平行公理，线段的性质以及直线的位置关系分别判断即可.

【详解】解：①射线与射线A4不是同一条直线，故错误；

②若4B=BC,当4、B、C不在同一条直线上时，点8不是线段/C的中点，故错误；

③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误；

④两点之间，线段最短，故正确；

ZAOC=-ZAOB

⑤已知三条射线CM,OB,OC,若2,则0C不一