复变函数积分基本定理

复变函数积分基本定理第1页，课件共29页，创作于2023年2月定理12-2(柯西-古莎定理)

如果f(z)是单连说明:该定理的主要部分是Cauchy于1825年建立的,它是复变函数理论的基础.通区域D上的解析函数，则对D内的任何一条闭曲线C,都有12.2.1Cauchy积分定理第2页，课件共29页，创作于2023年2月解因为函数例1计算积分在上解析,所以根据Cauchy积分定理,有第3页，课件共29页，创作于2023年2月解根据Cauchy积分定理得例2计算积分因为和都在上解析,所以第4页，课件共29页，创作于2023年2月第5页，课件共29页，创作于2023年2月12.2.2解析函数的原函数1原函数的概念2Newton-Leibniz公式第6页，课件共29页，创作于2023年2月一.原函数的概念原函数之间的关系:定义1设f(z)是定义在区域D上的复变函数,若存在D上的解析函数F(z)使得在D

内成立，则称F(z)是f(z)在区域D上的原函数.如果f(z)在区域D上存在原函数F(z),则f(z)是解析函数，因为解析函数的导函数仍是解析函数.定理1设F(z)和G(z)都是f(z)在区域D上的原函数,则(常数).第7页，课件共29页，创作于2023年2月那么它就有无穷多个原函数,一般表达式为根据以上讨论可知:证明设F(z)和G(z)都是f(z)在区域D上的所以,为常数.原函数,于是如果F(z)是f(z)在区域D上的一个原函数，(其中C是任意复常数).第8页，课件共29页，创作于2023年2月证明可利用定理2设f(z)是单连通区域D上的解析函数,z0是D内的一个点,C是D内以z0为起点,z为终点的分段光滑(或可Cauchy积分定理证明求长)曲线,则积分只依赖于z0与z,而与路径C无关.Cauchy积分定理来证明.第9页，课件共29页，创作于2023年2月设C1与C2都是以D内以z0为起点,z为终点的分段光滑曲线,又不妨设C1与C2都是简单曲线.如果C1与C2除起点和终点之外,再没有其他重点,则是简单闭曲线,根据Cauchy定理有第10页，课件共29页，创作于2023年2月如果C1与C2除起点和终点之外,还有其他重点,在D内再做一条以z0为起点,z为终点,除起点和终点之外,与C1与C2没有其他重点的分段光滑曲线则由已证明的情形,第11页，课件共29页，创作于2023年2月如果f(z)在单连通区域D内解析,则f(z)在以z0为起点,z为终点的D内的分段光滑曲线C上积分,积分值与积分路径无关，即可记为于是确定了D内的一个单值函数第12页，课件共29页，创作于2023年2月定理3设f(z)是单连通区域D上的解析函数,z0和z是D内的点,则是f(z)在D上的一个原函数.与微积分学中对变上限积分求导定理相同.第13页，课件共29页，创作于2023年2月二.

Newton-Leibniz公式定理4设f(z)是单连通区域D上的解析函数,F(z)是f(z)在D上的原函数,z0和z1是D内的两点,则证明因为也是f(z)在D上的原函数,根据其中C为常数,易见第14页，课件共29页，创作于2023年2月说明:

有了上述定理,复变函数的积分就可以用与微积分学中类似的方法去计算.第15页，课件共29页，创作于2023年2月GeorgeGreen(1793.7.14-1841.5.31)自学而成的英国数学家、物理学家.出色地将数学方法应用到电磁理论和其他数学物理问题.1928年出版了出版了小册子《数学分析在电磁学中的应用》,其中有著名的Green公式.40岁进入剑桥大学学习,1839年聘为剑桥大学教授.他的工作培育了数学物理学者的剑桥学派,其中包括G.Stokes和C.Maxwell.第16页，课件共29页，创作于2023年2月IsaacNewton

(1642.12.25-1727.3.20)伟大的英国物理学家和数学家.1661年,进入剑桥大学三一学院学习.大学毕业后,在1665和1666年期间,Newton做了具有划时代意义的三项工作:微积分、万有引力和光的分析.1687年发表《自然哲学之数学原理》.1669年任剑桥大学教授,1703年当选为皇家学会会长,1705年被英国女王授予爵士称号.他还担任过造币厂厂长.第17页，课件共29页，创作于2023年2月Natureand

Nature’slawslayhidinnight,Godsaid,“LetNewtonbe!”andallwaslight.Newton说:“我不知道世人怎样看我,我只觉得自己好象是在海滨游戏的孩子,有时为找到一个光滑的石子或比较美丽的贝壳而高兴,而真理的海洋仍然在我的前面未被发现.”我是站在巨人的肩上.——I.Newton英国诗人A.Pope赞美Newton的:第18页，课件共29页，创作于2023年2月GottfriedWilhelmLeibniz(1646.6.21-1716.11.14)德国数学家.他还是外交家、哲学家、法学家、历史学家、语言学家和先驱的地质学家,他在逻辑学、力学、光学、数学、流体静力学、气体学、航海学和计算机方面做了重要的工作.1666年他撰写了一般推理方法的论文《论组合的艺术》,获得哲学博士学位,并被任命为教授.在第19页，课件共29页，创作于2023年2月1672年因外交事务出使法国,接触到一些数学家,开始深入地研究数学,特别是1673年开始研究微积分,从1684年起发表微积分论文.他是历史上最大的符号学者之一,所创设的微积分符号,远优于Newton的符号,很多一直沿用至今.Leibniz多才多艺,他在1671年左右制造出一种手摇计算机,甚至研究过中国古代哲学.Newton和Leibniz是微积分的奠基者,从那时起,数学乃至几乎所有科学领域开始了新纪元.第20页，课件共29页，创作于2023年2月12.2.2复合闭路定理定理1设是多连通区域D内函数,那么其中C和Ck(1kn)取正向.如果f(z)是D上的解析的简单闭曲线,都在C的内部,它们边界的闭区域含于D内.互不包含也互不相交,并且以为第21页，课件共29页，创作于2023年2月A1A2A3A4C1C2EFGIH证明不妨设n=2.作两条辅助线(如图).这样由作为边界G,围成单连通区域.第22页，课件共29页，创作于2023年2月f(z)在G

所围的区域内解析,由第23页，课件共29页，创作于2023年2月当n为其它值时，可同样证明.在公共边界(辅助线)上,积分两次,方向相反,积分值之和等于0.所以第24页，课件共29页，创作于2023年2月典型例题解显然函数

例1计算积分其中G为包含圆周在内的任意分段光滑正向简单闭曲线.在复平面有两个奇点0和1,并且G包含了这两个奇点.第25页，课件共29页，创作于2023年2月在G内作两个互不包含也互不相交的正向圆周C1和C2,使得C1只包含奇点0,C2

只包含奇点1.根据,第26页，课件共29页，创作于2023年2月解显然C1和C2围成一例2计算积分其中G由正向圆周和负向圆周组成.个圆环域.函数在此圆环域及其边界上解析,并且圆环域的边界构成复合闭路,所以根据