第二节二维连续随机变量

第二讲二维连续型随机变量一二维连续型随机变量定义

二维均匀分布，二维正态分布三边缘分布四条件分布五随机变量的独立性四随机向量函数的分布则称(X,Y)是连续型的二维随机变量，f(x,y)称为X和Y的联合概率密度一、二维连续型随机变量P61对于二维随机变量(X,Y

)，如果存在

f(x,y)≥0使得对于任意的

x，y

（1）定义yx(x,y)（2)概率密度的性质：

P6240设G是平面上的一个区域，点(X,Y

)落在

G内的概率为：分布函数与密度函数的关系式！30在f

(x,y)连续点处例1

随机向量的概率密度（1）求c=?(2)(X,Y)的联合分布函数

(3）P{0<X<1,0<Y<2}(4)P{X+Y}>1

解yx(1)求c例1

随机向量的概率密度（1）求c=?(2)(X,Y)的联合分布函数

(3）P{0<X<1,0<Y<0}(4)P{X+Y}>1

解yx(2)求联合分布函数当x<0或y<0时F(x,y)=0当x>0且y>0时yx(x,y)(x,y)例1

随机向量的概率密度（1）求c=?(2)(X,Y)的联合分布函数

(3）P{0<X<1,0<Y<2}(4)P{X+Y}>1

解yx(3)P{0<X<1,0<Y<2}12例1

随机向量的概率密度（1）求c=?(2)(X,Y)的联合分布函数

(3）P{0<X<1,0<Y<2}(4)P{X+Y}>1

解yx(4)P{X+Y}>111练习P62

随机向量的概率密度（1）求(X,Y)的联合分布函数

(2）P{Y<X}

解

解yx(1)求联合分布函数当x<0或y<0时F(x,y)=0当x>0且y>0时yx(x,y)(x,y)练习P62

随机向量的概率密度（1）求(X,Y)的联合分布函数

(2）P{Y<X}

解

解yx(2)求P{Y<X}练习2

随机向量的概率密度(1)求k(2）P{X<1,Y<3}(3)P{X<1.5}(4）P{X+Y<4}

解yx2024(1)求k练习2

随机向量的概率密度(1)求k(2）P{X<1,Y<3}(3)P{X<1.5}(4）P{X+Y<4}

解yx2024(2）P{X<1,Y<3}13练习2

随机向量的概率密度(1)求k(2）P{X<1,Y<3}(3)P{X<1.5}(4）P{X+Y<4}

解yx2024(3)P{X<1.5}1.5练习2

随机向量的概率密度(1)求k(2）P{X<1,Y<3}(3)P{X<1.5}(4）P{X+Y<4}

解yx2024(4）P{X+Y<4}1.5Dxy1二维均匀分布P72（1）定义设D为平面上的区域如果（X，Y）的密度函数为称（X，Y）服从D上的均匀分布(2)二维均匀分布几何意义

随机点（X，Y）落在D1内的概率：二常见的二维随机变量2二维正态分布P65如果（X，Y）的密度函数为则称（X，Y）服从参数为的正态分布记为：其中：1随机变量(X，Y)中，分量X(或Y)的概率分布称为(X，Y)的关于X(或Y)的边缘分布三连续随机向量的边缘分布P63，642随机变量(X，Y)

的分布函数F(x,y)与分量X(或Y)的分布函数FX(x),FY(y)的关系同理例1(X，Y)分布函数为求（1）边缘分布函数（2）边缘密度函数解其余01xy3已知联合密度函数求边缘密度函数P64(X,Y)联合概率密度为f(x,y)xxyxyyyoy=xy=x21D例1如图，区域D为y=x2与y=x围成，如果（X，Y）为D上的均匀分布，求（1）联合密度函数，（2）边缘分布函数解P65yoy=xy=x21D例2如图，区域D为y=x2与y=x围成，如果（X，Y）为D上的均匀分布，求（1）联合密度函数，（2）边缘分布函数解P65练习

设(X,Y)服从如图区域D上的均匀分布，求关于X和关于Y的边缘概率密度.

x=yx=-y例3（X，Y）的联合密度函数为解(1)求cx求（1）常数c(2）边缘分布函数例3（X，Y）的联合密度函数为解(2)边缘分布函数x求（1）常数c(2）边缘分布函数y定理则二维正态分布的边缘分布为正态分布注意与有相同的边缘分布边缘分布相同二维正态分布不一定相同P66四、条件分布函数P69设(X,Y)是二维连续型随机变量无意义但我们可以通过取极限的方式得到如下结论在Y=y的条件下X的密度函数为在X=y的条件下Y的密度函数为1定义y为常数x为常数2条件密度函数的性质性质1性质2条件密度函数是概率密度函数例4设(X,Y

)的概率密度为解求其余其余其余例4设(X,Y

)的概率密度为解求其余其余时其余y为常数例4设(X,Y

)的概率密度为解求其余其余时其余x为常数例4设(X,Y

)的概率密度为解求定理则y为常数例4设X~U(0,1),当0<x<1时,Y|(X=x)~U(x,1)求Y的密度函数解当0<x<1时当0<y<1时0<y<1其余1定义随机向量(X，Y)的联合分布函数F(x,y),

X的分布函数为FX(x),Y的的分布函数为FY(y)五随机变量的相互独立性P71如果随机变量X与Y相互独立2判断独立的充要条件：X连续型随机变量X与Y独立联合密度等于边缘密度的乘积1定义随机向量(X，Y)的联合分布函数F(x,y),

X的分布函数为FX(x),Y的的分布函数为FY(y)五随机变量的相互独立性P71，72，73如果随机变量X与Y相互独立2判断独立的充要条件：X连续型随机变量X与Y独立联合密度等于边缘密度的乘积3定理二维正态随机向量则X与Y独立

例1设(X,Y)的概率密度为问X和Y是否独立？xy解故X和Y相互独立

例1设(X,Y)的概率密度为问X和Y是否独立？xy解故X和Y相互独立y0xxx例2(X，Y)分布函数为证明X，Y相互独立解y01x01xy故X，Y相互独立

练习设(X,Y)的概率密度为问X和Y是否独立？xy解故X和Y相互独立六随机向量函数的分布P76定理且相互独立，则习题：357