初中升高中暑假预习讲义《15.三角函数求最值》教学案_第1页
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15.三角函数求最值的六种类型本节介绍三角函数求最值的几种常见类型，1.辅助角公式，在人教A版必修一230页16题，17题以及苏教版75页等都有所涉及，它也是计算三角函数值域的重要方法之一.除此之外，还有：2.利用平方关系化成二次函数求值域，3.利用辅助角公式化成二次函数，4.利用导数求解.这些都是高考中常见的考点，需要注意.一．典例分析1.辅助角公式:形如的式子可做如下变换:--------(1)令(1)式=,其中.例1．已知.求的单调递增区间.解析：化简得，令，，解得，所以单调递增区间为，.2.下面再看化成二次函数的几种常见手法（1）把形如或的三角函数最值问题看成与或有关的二次函数解析式，再将其解析式变形转化为或，最后根据已知变量的范围求最值.（2）对于和的形式，也可转化为二次函数来求解.例3．函数的定义域为，值域为，则α的取值范围是（）A． B．C． D．解析：由，令，得：，二次函数开口向下，对称轴为，因为，所以函数为递增函数，因为当时，，当时，，所以，即时，，使函数的值域为，所以由余弦函数图象与性质可知，，所以的取值范围是：．故选：A3.如求三角函数的最值，可将看作，则原函数可变形为，该函数是我们熟悉的二次函数，可求它的最值.例4．已知函数，则的最大值为（

）．A． B． C． D．解析：，令，即，由，则.故选：A.3.（1）形如：等均为三次函数.（2）三倍角结构这类函数虽然最后是借助导数来实现，但它的转化方向是一致的，结果就是三次函数！这些都可以利用导数解决.例5．已知函数，则函数的最大值为_____.解析：因为，令，则，，令，解得，当时，在上是减函数；当时，在上是增函数；当时，在上是减函数，又，，由此，得在时取得最大值，最大值为，故的最大值为.故答案为：例6．函数的值域为____________．解析：，设，，则，，令，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，又，，，，所以值域为.例7．函数在上的最大值为______.解析：.又，故令，.，，当时，；当时，，在单调递增，在单调递减..故答案为：.例8．（2018全国1卷）已知函数，则的最小值是__________．解析：，所以当时函数单调减，当时函数单调增，从而得到函数的减区间为，函数的增区间为，所以当时，函数取得最小值，此时，所以，故答案是.三．习题演练习题1．已知函数，则的最小值是（

）A． B． C． D．解析：函数；显然，，函数值才取最小；由．令，可得：或．当，可得；当，，，时，函数取得最小值为．故选：A．习题2．已知函数，则下列结论正确的是（

）A．的周期为 B．的图象关于对称C．的最大值为 D．在区间在上单调递减解析：由于，故A正确；由于，即的图象不关于对称，故B错

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