2023届湖南省长沙市高三年级二模数学试题【含答案】

一、单选题1．已知全集，集合，，则（

）A． B． C． D．B【分析】解不等式可求得集合，结合补集定义可得，根据交集定义可得结果.【详解】由得：或，即或，；，.故选：B.2．设函数，将函数的图象先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得的图象与图象重合，则（

）A．， B．，C．， D．，C【分析】根据三角函数图象的平移和伸缩变换可得到变化后的函数解析式，结合所得的图象与图象重合，求得参数，，即得答案.【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度后，得到的图象，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，由于得到的函数的图象与图象重合，故，，所以，又，所以，故选：C．3．点P在单位圆上运动，则P点到直线l：（λ为任意实数）的距离的最大值为（

）A． B．6 C． D．5B【分析】先求出直线的定点，再根据两点间距离公式求圆心到定点距离，最后可求圆上点到直线的最大距离.【详解】将直线方程变形为l：，由,解得直线过定点，P在单位圆上运动,圆,圆的半径故原点到直线l距离的最大值为，则P点到直线l的距离的最大值为.故选:B．4．已知，下列选项中不是方程的根的是（

）A．1 B． C． D．B【分析】利用因式分解与复数的性质求根即可.【详解】因为，，所以，即，解得或，故选项ACD中是方程的根，B中不是.故选：B5．已知向量与的夹角为，且，，设，，则向量在方向上的投影向量为（

）A．2 B． C． D．A【分析】根据投影向量公式求解即可.【详解】因为知向量与的夹角为，且，，在方向上的投影向量为．故选：A．6．年詹希元创制了“五轮沙漏”，流沙从漏斗形的沙池流到初轮边上的沙斗里，驱动初轮，从而带动各级机械齿轮旋转．最后一级齿轮带动在水平面上旋转的中轮，中轮的轴心上有一根指针，指针则在一个有刻线的仪器圆盘上转动，以此显示时刻，这种显示方法几乎与现代时钟的表面结构完全相同．已知一个沙漏的沙池形状为圆锥形，满沙池的沙漏完正好一小时（假设沙匀速漏下），当沙池中沙的高度漏至一半时，记时时间为（

）A．小时 B．小时 C．小时 D．小时D【分析】设沙漏的底面半径为，高为，然后根据题求出当沙池中沙的高度漏至一半时，所剩余的沙的体积，从而可求出漏下的沙子体积与总体积的关系，进而求得结果.【详解】设沙漏的底面半径为，高为，则沙的体积为，当沙池中沙的高度漏至一半时，所剩余的沙形成的圆锥的高为，底面半径为，所以所剩余的沙的体积为所以漏下的沙子体积为总体积的，故记时时间为小时．故选：D7．等比数列的历史由来已久，我国古代数学文献《孙子算经》、《九章算术》、《算法统宗》中都有相关问题的记载．现在我们不仅可以通过代数计算来研究等比数列，还可以构造出等比数列的图象，从图形的角度更为直观的认识它．以前n项和为，且，的等比数列为例，先画出直线OQ：，并确定x轴上一点，过点作y轴的平行线，交直线OQ于点，则．再过点作平行于x轴，长度等于的线段，……，不断重复上述步骤，可以得到点列，和．下列说法错误的是（

）

A． B．C．点的坐标为 D．D【分析】根据题设描述，确定题图中相关线段的数量关系，结合直线斜率定义、等比数列前n项和判断各项的正误即可.【详解】选项A，由题设及图象知：，故正确；选项B，因为表示直线OQ:斜率，即为q，故正确；选项C，点的横坐标为，故正确；选项D，由，而，，则，又△为等腰直角三角形，即，综上，，故错误．故选：D8．已知A，B，C，D是体积为的球体表面上四点，若，，，且三棱锥A－BCD的体积为，则线段CD长度的最大值为（

）A． B． C． D．B【分析】先求出外接球半径，根据勾股定理逆定理得到，且，求出点D到平面ABC的距离，求出点D所在球的截面的半径及三角形ABC的外接圆半径，设点D在平面ABC上的投影为E，当CE最长时CD最长，结合，求出CD长度的最大值.【详解】因为球的体积为，故球的半径R满足，故，而，，，故，故，故，设点D到平面ABC的距离为h，则，故，点D在球的截面圆上，设截面圆所在的平面为α，因为，所以平面α与平面ABC在球心的异侧，

设球心到平面ABC的距离为d，而△ACB外接圆的半径为，则，故球心到平面α的距离为，故截面圆的半径为，设点D在平面ABC上的投影为E，则E的轨迹为圆，圆心为△ABC的外心即AB的中点，当CE最长时CD最长，此时，故CD长度的最大值为.故选：B．关键点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.二、多选题9．定义在R上的偶函数满足，且在上是增函数，则（

）A．关于对称 B．C． D．BC【分析】根据对称中心和对称轴定义结合得出周期判断A,B,D选项，结合单调性得出C选项.【详解】为偶函数，所以，所以，所以关于点对称，A错误；又，所以，B正确；因为在上是增函数，所以，故C正确；因为，所以，而的值不确定，故D错误.故选:BC．10．如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有边长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular

solid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设，则下列说法正确的是（

）

A．该多面体的表面积为B．该多面体的体积为C．该多面体的平行平面间的距离均为D．过A、Q、G三点的平面截该多面体所得的截面面积为ABD【分析】根据该多面体结构特征即可求出表面积判断A，利用割补法求体积判断B，分别求解两平行平面的距离即可判断C，利用平面性质找到截面图形，利用正六边形由六个正三角形组成求面积判断D.【详解】由题意，该多面体的面由6个边长为1的正方形和8个边长为1的正三角形构成，故该多面体的表面积为，故A正确；该多面体的体积为原正方体的体积去掉8个相同的三棱锥的体积，注意到该多面体的原正方体边长为，所以，故B正确；对于选项C，若该多面体平行平面为上下两个正方形所在的平面，则平行平面间的距离为；若该多面体平行平面为两个正三角形所在的平行平面，如图，

不妨记正方体为，，，故是平行四边形，所以，又E，Q分别为，的中点，所以，同理，所以，平面，平面，所以平面，同理平面，又，平面，所以平面平面，设对角线分别交平面和平面于点，因为，，平面，所以平面，又平面，所以，同理，又，平面，所以平面，又平面平面，所以平面，即为平面与平面的距离，则,由正方体边长为得，根据，则，解得，根据对称性知，所以，此时平面EMQ与平面BCG的距离为，即两个正三角形所在的平行平面间的距离为，故C错误；根据平面性质知，过A、Q、G三点的平面截得的截面图形是一个边长为1的正六边形ABGPQE，故截面面积为，故D正确.故选：ABD11．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，在箱子打开之前，主持人先打开了3号箱．用表示i号箱有奖品（i＝1，2，3，4），用表示主持人打开j号箱子j＝2，3，4），下列结论正确的是（

）A．B．C．要使获奖概率更大，甲应该坚持选择1号箱D．要使获奖概率更大，用应该改选2号或者4号箱ABD【分析】根据古典概型判断A选项，结合条件概率和全概率公式及贝叶斯公式分别判断B,C,D选项.【详解】对于A选项，抽奖人在不知道奖品在哪个箱子的情况下选择了1号箱，他的选择不影响奖品在四个箱子中的概率分配，因此，，，的概率均为，即A正确；对于B选项，奖品在2号箱里，主持人只能打开3、4号箱，故，故B正确；对于C、D选项，方法一：奖品在1号箱里，主持人可打开2、3、4号箱，故，奖品在2号箱里，主持人只能打开3、4号箱，故，奖品在3号箱里，主持人打开3号箱的概率为0，故，奖品在4号箱里，主持人只能打开2、3号箱，故，由全概率公式可得：，，，故C错误，D正确.方法二：若继续选择1号箱，有奖品的概率为，无奖品的概率为，主持人打开了无奖品的3号箱，若不换号，则甲在1号箱获得奖品的概率依然为，而在排除了3号箱有奖的情况下，2号或者4号箱获奖的概率会提高，因此为了增加中奖的概率，甲应该改选2号或者4号箱．故选：ABD．12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（

）A．B．点关于x轴的对称点在直线上C．直线与直线相交于点D，则A，O，D三点共线D．直线与间的距离最小值为4ACD【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，然后利用韦达定理即可求出和直线与间的距离，从而可确定AD两项；表示出直线和的斜率即可确定C项；假设B项正确反推条件，从而可确定B项.【详解】由抛物线的光学性质可知，直线AB过抛物线的焦点，

设直线AB的方程为，将直线AB的方程代入中，得，所以由韦达定理得，，所以，故选项A正确；若点关于x轴的对称点在直线上，则，所以，即，不一定成立，故不合题意，选项B错误；直线与相交于点，所以直线OD的斜率为，又直线OA的斜率为，所以，所以A，O，D三点共线，故选项C正确；直线与间的距离，当时，d取最小值4，故选项D正确；故选：ACD.三、填空题13．已知，则___________．【分析】根据题意，结合根据组合数的计算公式及性质，即可求解.【详解】由题意知，根据组合数的计算公式及性质，要得到展开式中的系数，则只有一个括号内取常数，其余的四个括号都取，所以．故答案为14．设P是双曲线右支上的一个动点，、为左、右两个焦点，在中，令，，则的值为_________．【分析】三角形的内角角平分线的交点为内切圆的圆心，根据双曲线的定义，结合三角形的内切圆的切线长的性质可得内切圆的其中一个切点必与双曲线的右顶点重合，最后再根据三角函数的定义表示出即可求解．【详解】由双曲线的方程，可得，，设的内切圆在，，上的切点分别为，，，设切点的坐标为，因为，即，切点与双曲线的右顶点重合，，，根据题意可得，，则两角的角平分线的交点一定为的内心．如图所示，因此，，所以．故答案为

15．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，，且，已知他投篮一次得分的数学期望为2，则的最小值为______．/【分析】先根据题意得出，再结合基本不等式即可求得的最小值．【详解】因为一位篮球运动员投篮一次得3分概率为，得2分概率为，不得分的概率为c，，且，已知他投篮一次得分的数学期望为2，则，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为．故．16．已知，函数，，若存在一条直线与曲线和均相切，则使不等式恒成立的最小整数的值是__________．3【详解】分析：求导，表述出公切线，从而会得到的一个表达式，构造函数，求导分析整理即可.详解：，设公切线在上的切点为，在上的切点为，，，在上的切点为，切线方程为，把点代入切线方程：，化简可得，构造函数，则，令即，则在上单调递增，在上单调递减，又，，，故，即，又则使不等式恒成立的最小整数的值是3.故答案为3.点睛：不等式恒成立问题若f(x)≥a或g(x)≤a恒成立，只需满足f(x)min≥a或g(x)max≤a即可，利用导数方法求出f(x)的最小值或g(x)的最大值，从而问题得解．四、解答题17．已知在中，，且．(1)若，求；(2)若，且，求，．(1)或(2)，【分析】（1）利用三角形面积公式可构造方程求得，根据同角三角函数关系可得，结合诱导公式可得结果；（2）利用三角形面积公式可构造方程求得，由余弦定理可求得，代入正弦定理中可求得结果.【详解】（1）当时，，，解得：；当为锐角时，，，；当为钝角时，，，；综上所述：或.（2），，，，，由余弦定理得：，解得：，由正弦定理得：，.18．如图所示的在多面体中，，平面平面，平面平面，点分别是中点.(1)证明：平面平面；(2)若，求平面和平面夹角的余弦值.(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用面面垂直的性质定理和线面平行及面面平行的判定定理即可完成证明,（2）方法一先建系求法向量，再利用向量法求两平面的夹角，方法二利用几何法找到面面角，利用三角形知识求两平面的夹角.【详解】（1）如图，取中点，连接，因为，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，所以，又因为平面平面，所以平面，因为点分别是中点，所以，又因为平面平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）方法一：因为，所以，由（1）知平面平面，所以，所以两两相互垂直，如图，以点为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，因为，所以，则，平面的一个法向量为，设平面的法向量为，由，得，即，解得，取，得，设平面和平面的夹角为，则，所以平面和平面的夹角的余弦值为.方法二：因为平面平面，所以平面和平面的夹角即二面角.如图，过点作，垂足为点，过点作交于点，则为二面角所成平面角.在中，，在中，，在直角梯形中，因为，,所以，所以在中，，所以，利用三角形等面积可得，所以，因为，所以，过点作于，则，所以，在中，，所以，所以平面和平面夹角的余弦值为.19．已知数列的前n项和为，数列的前n项积为，且满足．(1)求证：为等差数列；(2)记，求数列的前2023项的和M．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据所给递推公式及前项和、积的定义化简，由等差数列定义可得证；（2）求出，利用裂项相消法求和.【详解】（1）因为，当时，，解得或，又，所以，故，由，可得，所以，当时，．所以，即，所以，所以所以是以为首项，1为公差的等差数列.（2）所以，则，因为，故．20．某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高y（单位：）与父亲身高x（单位：）之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如下表：父亲身高160170175185190儿子身高170174175180186(1)根据表中数据，求出关于的线性回归方程，并利用回归直线方程分别确定儿子比父亲高和儿子比父亲矮的条件，由此可得到怎样的遗传规律？(2)记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差.求（1）中儿子身高的残差的和､并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立加以证明；若不成立说明理由.参考数据及公式：.(1)，时，儿子比父亲高；时，儿子比父亲矮，儿子身高有一个回归，回归到全种群平均高度的趋势.(2)0；任意具有线性相关关系的变量，证明见解析【分析】（1）根据已知求得回归方程的系数，即可得回归方程，解不等式可得到结论；（2）结合题中数据进行计算，可求得儿子身高的残差的和，从而可得结论，结合回归方程系数的计算公式即可证明.【详解】（1）由题意得，，，所以回归直线方程为，令得，即时，儿子比父亲高；令得，即时，儿子比父亲矮，可得当父亲身高较高时，儿子平均身高要矮于父亲，即儿子身高有一个回归，回归到全种群平均高度的趋势.（2）由可得，所以，又，所以，结论：对任意具有线性相关关系的变量，证明21．已知椭圆：过点，且有两个顶点所在直线的斜率为，过椭圆左顶点的直线与椭圆交于点，与轴交于点．(1)若的面积为，求直线的方程；(2)设过原点且与直线平行的直线交椭圆于点，求证：为定值．(1)或(2)证明见解析【分析】（1）先根据题中条件求出椭圆方程，设直线方程后联立椭圆方程得到弦长，再求出点到直线的距离，根据的面积为可得，即可.（2）先表示出，，，后可证其为定值.【详解】（1）

因为椭圆：过点，所以，又椭圆有两个顶点所在直线的斜率为，则，所以，故椭圆方程为．由题意过椭圆左