2021年中考数学压轴题含答案

2021年中考数学压轴题

I.如图，抛物线产一季2-僚+竽与x轴交于A,B两点（A点在B点的左侧），与y

轴交于点C,顶点为D,连接AC.

（1）求顶点。的坐标及直线AC的解析式；

（2）如图，P为直线AC上方抛物线上的一动点，连接PC、PA,当△B4C面积最大时，

过P作轴于点。，M为抛物线对称轴上的一动点，过〃作y轴的垂线，垂足为点

N.连接PM,NQ,求PM+A7N+NQ的最小值.

解：（1）y=—苧7—令y=一*/—=0,解得：1=-4或1,

4A/3

故点A、5的坐标分别为：（-4,1）、（L0）,点C（0,—）,

由抛物线的表达式知，顶点。（-1,—）;

212

'—4k+b=0（k=

将点A、C的坐标代入一次函数：y=H+6得：八4V3，解得《3

b=,4V3

3"=,

则直线AC的表达式为：y=冬什孽；

（2）设直线P。交4c于点H,设点尸（x,-装一竽），则点H（x,孚r+竽），

则△朋C面积=54咏+必户/*4=品尸，*04=2><[-岁2一信+警-（今+等）4

—（/+4x）,

6

•.•一亨<0,故△抬C面积存在最大值，此时x=-2,故点P（-2,2V3）,则点。（-

2,0）；

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将点P向右平移|个单位得到点P'(-1,2V3),作点尸'关于y轴的对称点P"(|,

2百)，

连接P"Q交y轴于点N,过点N作NM垂直于函数的对称轴于点M,则点M、N为所

求点，

•:PP'//MN,PP'=MN=当故四边形PPMW为平行四边形，故PM=P'C=P"C,

则PM+MN+NQ=P"C+MN+NQ=MN+P"Q为最小，

：.PM+MN+NQ最小值=MN+P"Q=1++2)2+(2V3)2=3+^.

2.如图，抛物线＞=/+-+2经过(2,3),(-2,-3)两点，交x轴于A,8两点，交y

轴于点C,与过点C且平行x轴的直线交于另一点。，点P是抛物线上一动点.

(1)求抛物线解析式；

(2)求点A,B,。的坐标；

(3)点E在x轴上，若以4,E,D,P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点尸的坐

标；

(4)过点P作直线CD的垂线，垂足为Q,若将△CP。沿CP翻折，点。的对应点为

Q.是否存在点P，使。'恰好落在x轴上？若存在，直接写出此时点P的坐标；若不存

在，说明理由.

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解：（1）将（2,3）,（-2,-3）代入抛物线表达式得2,解得｛：=；"，

故抛物线的表达式为），=-p+f.r+2；

⑵对于y=-#+|：什2,令x=0,贝i]y=2,令y=-32+$+2=0,解得x=4或-1,

故点A、B、C的坐标分别为（-1,0）、（4,0）、（0,2）,

故函数的对称轴为x=2（4-1）=|,故点。（3,2）,

即点A,B,。的坐标分别为（-1,0）、（4,0）、（3,2）；

（3）A,E两点都在x轴上，AE有两种可能：

当4E为一边时，AE//PD,

：.P（0,2）,

当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等,

可知尸点、。点到直线AE（即x轴）的距离相等，

•••P点的纵坐标为-2,

代入抛物线的解析式：一分，|x+2=-2,

解得：x=延尹,

3-V413+V41

・・・P点的坐标为（一T-，-2),(-2-，-2),

3—V413+V41

综上所述：PO）,2）或（丁’-2）或（丁,-2)；

（4）存在满足条件的点P,显然点P在直线C。下方，设直线P。交x轴于F,点P的

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当尸点在y轴右侧时(如图1),CQ=m,

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PQ=2-(―刁机’+刀"+2)=甲05机,

上2222

又•：NCQ'O+NFQ'P=90°,ZCOQr=ZQ,FP=90°,

AZFQfP=NOCQ',

123

,QfCQfPm/1一/1

：./\COQfS〉QFP,则=77-，即==~~—，

COFQr2QfF

・・・。'F=m-3,

：.OQ'=OF-Q'F=m-(m-3)=