高中数学公式汇总

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高中数学公式汇总一、集合与函数1.集合运算：交、并、补。利用韦恩图理解并交补。交：A∩B={x|x∈A,且x∈B}并：A∪B={x|x∈A或x∈B}补：C=A'={x∈U,且x∉A}2.集合的运算律：交换律：A∩B=B∩A；A∪B=B∪A结合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；(A∪B)∪C=A∪(B∪C)分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)3.函数定义域的三个关键：（1）分母≠0；（2）根号里面≥0；（3）对数里面＞0。4.函数奇偶性的判断：奇函数：f(-x)=-f(x)，如sinx、tanx等；偶函数：f(-x)=f(x)，如cosx、x²等。复合函数奇偶性：“内偶则偶，内奇同外”。5.函数单调性的判断：先定义域后求导，f'(x)≥0单调递增；f'(x)≤0单调递减。6.函数周期性的定义：对于任意x，f(x)=f(x+T)（T为常数），则f(x)的周期为T。若函数f(x)有两条对称轴x=a，x=b，则f(x)是周期为2b-a的周期函数。7.常见函数的求导公式：（1）(C)'=0；（2）(xn)'=nx^(n-1)；（3）(logₐx)'=1/(xlna)；（4）(a^x)'=a^x；（5）(lnx)'=1/x；（6）(e^x)'=e^x；（7）(sinx)'=cosx；（8）(cosx)'=-sinx；（9）(tanx)'=sec²x；（10）乘法求导法则：(f·g)'=f'·g+f·g'；（11）除法求导法则：(f/g)'=(f'·g-g'·f)/g²。二、三角函数1.正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为三角形外接圆半径）。2.余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA，cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)。3.三角形面积公式：S=1/2absinC（两边及夹角正弦的乘积）。4.同角关系：（1）商的关系：tanx=sinx/cosx，cotx=cosx/sinx；（2）倒数关系：tanx·cotx=1；（3）平方关系：sin²x+cos²x=1。⑷辅助角公式：$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\phi)$（其中辅助角$\phi$与点$(a,b)$在同一象限，且$\tan\phi=\frac{b}{a}$）。13.函数$y=Asin(\omegax+\phi)+k$的图象及性质：（$\omega>0,A>0$）振幅$A$，周期$T=\frac{2\pi}{\omega}$，频率$f=\frac{1}{T}$，相位$\phi$，初相$k$，对称轴$\omegax+\phi=+\frac{k\pi}{2}$。9宫格：增减$\pi$时，函数名不变，两个变号，一个不变号，且每个函数名不变号的位置两两不同。增减$\frac{\pi}{2}$时，函数名改变，即：函数名改变，符号看象限。15.和差角公式：$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$，$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$，$\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$。16.二倍角公式：$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$，$\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1=1-2\sin^2\theta$，$\cos\theta=\frac{1-\cos2\theta}{2}$，$\sin\theta=\pm\sqrt{\frac{1-\cos^2\theta}{2}}$，$\tan2\theta=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$。17.积化和差公式：$\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]$，$\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]$，$\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]$，$\sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)]$。18.特殊角的三角函数值：$\sin0^\circ=0$，$\cos0^\circ=1$，$\tan0^\circ=0$；$\sin30^\circ=\frac{1}{2}$，$\cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}$；$\sin45^\circ=\cos45^\circ=\frac{1}{\sqrt{2}}$，$\tan45^\circ=1$；$\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60^\circ=\frac{1}{2}$，$\tan60^\circ=\sqrt{3}$；$\sin90^\circ=1$，$\cos90^\circ=0$，$\tan90^\circ$不存在。18.极坐标系参数定义：$\rho$表示点到极点的距离（$\rho\geq0$）；$\theta$表示点与极点连线与极轴（x轴正向）的夹角。直角坐标系与极坐标系之间的转换公式：$x=\rho\cos\theta$，$y=\rho\sin\theta$，$\rho=\sqrt{x^2+y^2}$，$\tan\theta=\frac{y}{x}$。1.归纳-猜想-证明数列的递推公式可以通过写出数列的前几项，总结规律，猜想出数列的通项公式，最后用数学归纳法进行证明。2.“累加法”和“累乘法”当数列的递推公式可以化为$a_{n+1}-a_n=f(n)$时，可以取$n=1,2,3,\dots,n-1$得到$n-1$个式子，即$a_2-a_1=f(1),a_3-a_2=f(2),\dots,a_n-a_{n-1}=f(n-1)$。如果$f(1)+f(2)+\dots+f(n-1)$容易求得，则可以使用“逐差法”得到通项公式$a_n$。当数列的递推公式可以化为$a_n=\frac{f(1)f(2)\dotsf(n-1)}{a_1a_2\dotsa_{n-1}}$时，可以取$n=1,2,3,\dots,n-1$得到$n-1$个式子，即$\frac{a_2}{a_1}=f(1),\frac{a_3}{a_2}=f(2),\dots,\frac{a_n}{a_{n-1}}=f(n-1)$。如果$a_1,a_2,\dots,a_{n-1}$和$f(1),f(2),\dots,f(n-1)$都可以求得，则可以使用“积商法”得到通项公式$a_n$。3.构造法当递推式为$a_{n+1}=pa_n+q$（$p,q$是不为零的常数）时，可以使用待定系数法构造一个新的等比数列来求解。4.“对数法”和“倒数法”当递推式为$a_{n+1}=qa_n$（$q$为常数且不为零）时，可以对两边取自然对数得到$\lna_{n+1}=k\lna_n+\lnq$，令$\lna_n=b_n$，则有$b_{n+1}=kb_n+\lnq$。如果$k$已知，则可以用递推公式求解$b_n$，再用$b_n$求解$a_n$。这种方法称为“对数法”。当递推式为$a_{n+1}=\frac{pa_n+c}{qa_n+d}$（$p,q,c,d$均不为零）时，可以设$a_n=\frac{y_n}{x_n}$，则递推式可以化为$\frac{y_{n+1}}{x_{n+1}}=\frac{py_n+c}{qy_n+d}$。比较系数可得到$x_{n+1}=px_n+c$和$y_{n+1}=qy_n+d$。如果$c\neq0$，则可以解出$x_n$和$y_n$，从而得到$a_n$。这种方法称为“倒数法”。5.特征根法当递推式为$a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n$（$p,q$为常数）时，可以写出特征方程$x^2=px+q$，并设二根为$x_1$和$x_2$。如果$x_1\neqx_2$，则可以设$a_n=c_1x_1^n+c_2x_2^n$，从而得到通项公式$a_n$。这种方法称为“特征根法”。七、圆锥曲线35.圆（1）定义：圆是以定点O为圆心，定长r为半径的所有点的集合。（2）方程：①标准方程：圆心为（a，b），半径为r，方程为(x-a)²+(y-b)²=r²。②一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=D²+E²-4F，其中圆心为(-D/2,-E/2)，半径为√(D²+E²-4F)。（3）直线与圆的位置关系：设圆心为C(a,b)，半径为r，直线为Ax+By+C=0，圆心到直线的距离为d，则：d<r，直线与圆相交；d=r，直线与圆相切；d>r，直线与圆相离。36.圆锥曲线的定义与性质圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，它们都可以由一个圆锥和一个平面截得。1.曲线性质：椭圆：点M到准线的距离之和等于两焦点间的距离，即MF1+MF2=2a。双曲线：点M到准线的距离之差等于两焦点间的距离，即|MF1-MF2|=2a。抛物线：点M到准线的距离等于焦点到准线的距离，即MF=d。2.图形标准方程：椭圆：x²/a²+y²/b²=1，其中a>b>0。双曲线：x²/a²-y²/b²=1，其中a>0，b>0。抛物线：y²=2px，其中p>0。3.重要点：椭圆：顶点A1(-a,0)、A2(a,0)，对称轴为x轴，长轴为2a，短轴为2b。双曲线：顶点B1(0,b)、B2(0,-b)，对称轴为y轴，长轴为2a，短轴为2b。抛物线：焦点F(p,0)，顶点O(0,0)，准线为x=-p。4.其他性质：椭圆：焦点F1、F2在长轴上，离心率e=c/a，其中c为焦距。双曲线：焦点F1、F2在实轴上，离心率e=c/a，其中c为焦距。抛物线：焦点在无穷远处，离心率e=1。（圆锥曲线的弦长公式，同学们自行推导，先推过焦点的弦长公式，再推一般弦长公式。）八、概率统计37.排列组合的计算公式组合：从n个不同元素中取出m个元素的组合数为C(n,m)=n!/m!(n-m)!。排列：从n个不同元素中取出m个元素进行排列的方法数为A(n,m)=n!/(n-m)!。38.古典概型（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等。公式：P(A)=A包含的基本事件的个数/所有基本事件的个数。39.离散型随机变量的期望与方差的计算离散型随机变量的期望是指取每一个值xi(i=1,2,…)的概率为P(ξ=xi)=pi，则p1+p2+…=1；期望Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…。期望是反映随机变量“均值”的量，对于常数a和b，E(aξ+b)=aEξ+b。离散型随机变量的方差是指对于每一个值xi(i=1,2,…)的概率为P(ξ=xi)=pi，Dξ=(x1-Eξ)·p1+(x2-Eξ)·p2+…+(xn-Eξ)·