2022年汉中市重点高考数学倒计时模拟卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.数列｛4,｝满足4,+4什2=2%+I(〃GN"),且4+4+。3=9,4=8,则牝=()

2117

A.—B.9C.—D.7

22

2.设质，分为非零向量，贝！1“存在正数/I,使得石=2[”是“正工＞0”的()

A.既不充分也不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.充分不必要条件

3.已知/为抛物线/=4)，的准线，抛物线上的点”到/的距离为d,点P的坐标为(4,1),贝!肉+d的最小值是

()

A.y/v7B.4C.2D.1+717

c1tnv

4.已知函数/(x)=—的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合

l+2sinx

的变换方式有()

①绕着x轴上一点旋转180°;

②沿x轴正方向平移；

③以x轴为轴作轴对称；

④以x轴的某一条垂线为轴作轴对称.

A.①③B.③④C.②®D.②④

5.设/。)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且/(x)+g(x)=(x+I)2-2T则;l(1)—(1)=()

A.-1CD.3

6.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所

示（单位：寸），若乃取3,当该量器口密闭时其表面积为42.2（平方寸），则图中x的值为（）

A.3B.3.4C.3.8D.4

7.已知一9—=a+2i(«eR),i为虚数单位，则。=()

l-2i

A.73B.3C.1D.5

TT7T

8.已知函数/（x）=sin2x+acos2x的图象的一条对称轴为x=—,将函数的图象向右平行移动二个单位长度

124

后得到函数g（x）图象，则函数g（x）的解析式为（）

A.g(x)=2sin(2x-—)B.g(%)=2sin(2%+—)

JIn

C.g(x)=2sin(2x---)D,g(x)=2sin(2xd——)

66

22

9.已知点4(26,3加)在双曲线三-当=1(6>0)上，则该双曲线的离心率为()

A.乎B.萼C.加D.2M

io.已知叱为非零向量，“为=52优，为，，同力=砸，，的（）

A,充分不必要条件B,充分必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

ln（x+l）,x>0

11.已知函数h,八，若"<〃，且/（，〃）=/（〃），则〃一〃?的取值范围为（）

—x+l,x<0

12

A.[3-21n2,2)B,[3-21n2,2]C.[e-1,2)D.[e-1,2]

12.设全集U=R,集合A={x，—3%—4>o},则①A=()

A.{x|-l<x<4}B.{x|-4<x<l}C.{x|-l<x<4}D.{x|-4<r<l}

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.不等式ax+\+lnx<xe'对于定义域内的任意"恒成立，则〃的取值范围为.

2

14.两光滑的曲线相切，那么它们在公共点处的切线方向相同.如图所示，一列圆Cn：x+（y-a,）=1（呢>0,r„>0,

n=l,2…）逐个外切，且均与曲线尸x2相切，若门=1,贝!I〃尸__，刀产

15.在二项式（-+2）6的展开式中，f的系数为.

16.已知随机变量X服从正态分布N（4,4）,P（X<6）=0.78,则P（XW2）=

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知在二二二二中，角二二二的对边分别为二二二且李+”==空.

（1）求二的值;

（2）若cos二+vlsmZ=二求二+二的取值范围.

18.（12分）在AABC中，=b=币,.求8c边上的高.

①sinA=叵，②sin4=3sinC,③。一。=2,这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.

7

x=fcosa,x=sin夕，

19.（12分）己知曲线C的参数方程为।.”为参数），曲线C,的参数方程为I----------（。为参

[y=l+£sina,y=，l+cos26,

数）.

（1）求G与的普通方程；

（2）若G与G相交于A,B两点,且=求Sina的值.

20.（12分）选修4-5：不等式选讲

已知函数“力=,一讨一卜+2〃?|的最大值为3,其中m>0.

(1)求用的值；

313

(2)若a,bwR,他>0,浮+>2=>，求证：^+£_>1

ba

7T

21.(12分)如图，四棱锥石一/WC。中，平面A8C。，平面BCE,若NBCE=一,四边形ABC。是平行四边形,

2

且

(I)求证：AB-ADi

(H)若点尸在线段A£上，且EC//平面/，ZBCD=60。,BC=CE,求二面角A—防一。的余弦值.

22.(10分)已知/(x)=V+G?+反,”,6R

(1)若匕=1,且函数f(x)在区间［-1,；)上单调递增，求实数”的范围；

(2)若函数/(x)有两个极值点石,%，，玉<2且存在玉,满足玉+2%=3々，令函数g(x)=/(x)-,试

判断g(x)零点的个数并证明.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

先由题意可得数列｛4｝为等差数列，再根据4+4+/=9,4=8,可求出公差，即可求出生•

【详解】

数列｛%｝满足a„+a„+2=2a„+l（〃eN*）,则数列｛%｝为等差数列,

;4+%+/=9,a4=8,

34+3d=9,q+3d=8,

5

2

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了等差数列的性质和通项公式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

【解析】

充分性中，由向量数乘的几何意义得（加3）=0,再由数量积运算即可说明成立；必要性中，由数量积运算可得

（加力式0,90）,不一定有正数X,使得而=茄，所以不成立，即可得答案.

【详解】

充分性：若存在正数使得而=焉,则（碗,刀=0。,=|m||«|cos0=|w||rt|>0,得证；

必要性：若再不>0,贝!|（加De[0',90。），不一定有正数X,使得送故不成立；

所以是充分不必要条件

故选：D

【点睛】

本题考查平面向量数量积的运算，向量数乘的几何意义，还考查了充分必要条件的判定，属于简单题.

3.B

【解析】

设抛物线焦点为尸，由题意利用抛物线的定义可得，当AM,尸共线时，|网+"取得最小值，由此求得答案.

【详解】

解：抛物线焦点厂（0,1）,准线y=-l,

过"作MN，/交/于点N,连接AM

由抛物线定义=月=d,

:.\MP\+d=\MP\+\MF\习="=4,

当且仅当P，/，F三点共线时，取“=”号，

.•.|W+d的最小值为4.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.

4.D

【解析】

计算得到“x+2版"b/a),故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像

知①③错误，得到答案.

【详解】

sinxsin(x+2Z;r)_sinx_(八

..\1c♦J1八/，/tu乙,

八八l+2siirt'八…)l+2sin(x+2\k7T)l+2sirir

当沿x轴正方向平移2&万#eZ个单位时，重合，故②正确；

(£_工SmJx)_cosx(.(71\

f、sin—+x

4+x)_12)_cosx

(万)1+2COSX＞，1

2J.7i)l+2cosx

'l+2sin—+x

(2)(2J

故—+,函数关于X=1对称,故④正确；

根据图像知：①③不正确；

故选：D.

【点睛】

本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.

5.C

【解析】

先根据奇偶性，求出f(x)-g(x)的解析式，令x=l,即可求出。

【详解】

因为/(X)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，/(x)+g(x)=(x+l)2-2田，用-X替换X,得

/(-x)+g(-X)=(-X+1)2-2TM,

化简得一/(x)+g(x)=(x—1)2-2rM,即/(力_g(x)=2-A+I-(X-1)2

令x=l,所以/(I)一g(l)=2°—0=1,故选C。

【点睛】

本题主要考查函数性质奇偶性的应用。

6.D

【解析】

根据三视图即可求得几何体表面积，即可解得未知数.

【详解】

由图可知，该几何体是由一个长宽高分别为x,3,1和

一个底面半径为!，高为5.4-x的圆柱组合而成.

2

该几何体的表面积为

2(x+3x+3)+%,(5.4—x)=42.2,

解得x=4,

故选：D.

【点睛】

本题考查由三视图还原几何体，以及圆柱和长方体表面积的求解，属综合基础题.

7.C

【解析】

利用复数代数形式的乘法运算化简得答案.

【详解】

由一--=a+2i,得l+2i=a+2i,解得a=l.

l-2i

故选:c.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘法运算，是基础题.

8.C

【解析】

TT

根据辅助角公式化简三角函数式，结合尤=不为函数/(X)的一条对称轴可求得。，代入辅助角公式得/(x)的解析式.

根据三角函数图像平移变换，即可求得函数g(x)的解析式.

【详解】

函数/(x)=sin2x+acos2x,

由辅助角公式化简可得f(x)=J1+助sin(2x+8),tan0=a>

兀

因为X=—为函数/(X)=sin2x+acos2x图象的一条对称轴，

12

代人可得sin2x+<zcos^2x=+^\+cr,

即;+与=±6工厂，化简可解得(〃-6)2=0,

即CI=5/39

所以f(x)=sin2x+cos2x

=2sinf2x+yj

ir

将函数AX)的图象向右平行移动了个单位长度可得g(x),

贝11g(x)=2sin[2(尤一：[+]=2sin(2x_?),

故选：C.

【点睛】

本题考查了辅助角化简三角函数式的应用，三角函数对称轴的应用，三角函数图像平移变换的应用，属于中档题.

9.C

【解析】

将点A坐标代入双曲线方程即可求出双曲线的实轴长和虚轴长，进而求得离心率.

【详解】

将x=2有,y=3加代入方程*-，=1(匕>0)得人=3加，而双曲线的半实轴。=加，所以0=后万"=10,

得离心率6=£=加,故选C.

a

【点睛】

此题考查双曲线的标准方程和离心率的概念，属于基础题.

10.B

【解析】

由数量积的定义可得讲=同2>o,为实数，则由求另=0可得同之b=a，根据共线的性质，可判断a=bi再根据

\a\a=MB判断日=和由等价法即可判断两命题的关系.

【详解】

rr

若/B=ba成立，则同2b=.万，则向量汗与石的方向相同，且同之忖=.同，从而什=恸,所以不=加；

若雨雨瓦则向量日与否的方向相同，且q=札从而口=忖,所以万="

所以“a2b=ba”为“同a=\b\b”的充分必要条件.

故选:B

【点睛】

本题考查充分条件和必要条件的判定,考查相等向量的判定，考查向量的模、数量积的应用.

11.A

【解析】

分析：作出函数/(X)的图象，利用消元法转化为关于〃的函数，构造函数求得函数的导数，利用导数研究函数的单

调性与最值，即可得到结论.

详解：作出函数“X)的图象，如图所示，若〃?<〃，且/(〃，)=/(〃)，

则当ln(x+I)=l时，得x+l=e,即x=e—l,

则满足0<£-1,一2〈根40,

贝!1111(〃+1)=,/篦+1,即〃z=In(〃+l)-2,则"-m=〃+2-21n(〃+l),

2

。1

设/2(〃)=〃+2-2111(〃+1),0<〃46—1,则力'(〃)=1+——-=――

当解得当/(〃)<0,解得Ov/ivl,

当〃=1时，函数〃(〃)取得最小值〃(l)=l+2-21n(l+l)=3-2In2,

当〃=0时，〃⑼=2-21nl=2；

当〃=e—1时，1)=e—1+2-21n(e—1+1)-e—1<2,

所以3—21n2</?(")<2,即〃一团的取值范围是［3—21n2,2),故选A.

点睛：本题主要考查了分段函数的应用，构造新函数，求解新函数的导数，利用导数研究新函数的单调性和最值是解

答本题的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于

中档试题.

12.C

【解析】

解一元二次不等式求得集合A,由此求得a/

【详解】

由％2-3x-4=(x-4)(x+l)>0,解得或x>4.

因为A={x[x<-[或x>4),所以q,A={x|-lWx<4}.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合补集的概念和运算，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.

【解析】

根据题意，分离参数，转化为aWxe'ivcT只对于(0,十纥)内的任意》恒成立,令

X

XPX-Inx-]^v+ln.v_i|

.g(x)=xeg]=g--------四口，则只需在定义域内a<g(xL即可，利用放缩法+得出

x+,n

'>x+lnx+l»化简后得出g（x）n,m，即可得出。的取值范围.

【详解】

解：已知ax+1+/“X<xe'对于定义域（0,+力）内的任意x恒成立,

即a4为"一版-1对于（0,+纺）内的任意％恒成立，

X

令g（X）=一欣7,则只需在定义域内aW即可，

X

（、xex-lnx-\—1ex+lnx-\nx-l

...g（x）=--------------=--------------------=------------------，

XXX

•.-ev>x+b当x=0时取等号，

由e*2x+l可知，炉+42x+lnx+l,当x+lnx=0时取等号,

/、e**"'—Inx—1、x+Inx+1—Inx—1

•••g（x）=----------------->------------------------=1，

XX

当x+lnx=0有解时，

令7z（x）=x+lnx（x>0）,则/?'（尤）=1+，>0,

・・・〃（力在（0,+力）上单调递增，

又.../『）=1一］<0,〃⑴=1>0,

•■•3JQ）G（0,+8）使得〃（七）=0,

・••gGLnT，

则〃01,

所以"的取值范围为（—00,1］.

故答案为：（，》』］.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数单调性和最值，解决恒成立问题求参数值，涉及分离参数法和放缩法，考查转化能力和计

算能力.

n

【解析】

第一空：将圆0：/+（^-4）2=1与丁=/联立，利用△=（）计算即可；

第二空：找到两外切的圆的圆心与半径的关系4=4,1+小1+〃，再将C“：x2+（y—〃，）二二与y=V联立，得到

,1

G1，与4=4T+*1+4结合可得/；,为等差数列，进而可得心

【详解】

当n=1时，圆G:%2+（y-aj=1,

与y=V联立消去>'得J?一（24-1）y+q2_1=0,

则△=（24_l『_4（q2_i）=0,解得4=（；

由图可知当“22时，4=%.1+*1+/①,

将C,：丁+（y—可?£与y=/联立消去）'得

9-（24-1）丁+4：-£=0'

贝！）△=3-1）2-4（a—）=0,

整理得a“=T+；，代入①得A：+卜小；+%》+7

整理得，；,—*=1,

贝（1/=A；+（n-l）=H.

故答案为：—；〃.

4

【点睛】

本题是抛物线与圆的关系背景下的数列题，关键是找到圆心和半径的关系，建立递推式，由递推式求通项公式，综合

性较强，是一道难度较大的题目.

15.60

【解析】

直接利用二项式定理计算得到答案.

【详解】

62r

二项式（K+2）的展开式通项为：Tr+i=Q-（x）612=C"i2-2r.2「,

取r=2,则r的系数为C：-22=6（）.

故答案为：60.

【点睛】

本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.

16.0.22.

【解析】

正态曲线关于x=n对称，根据对称性以及概率和为1求解即可。

【详解】

P[X<2）=1-P[X<6）=0.22

【点睛】

本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（1）二=三（2）二+二eg,同

【解析】试题分析：（1）本问考查解三角形中的的“边角互化”.由于求二的值，所以可以考虑到根据余弦定理将cos二,cos二

分别用边表示，再根据正弦定理可以将毛转化为二,于是可以求出二的值；（2）首先根据sm二+、3cos二=二求出角二的

值，根据第（1）问得到的二值，可以运用正弦定理求出二二二二外接圆半径二，于是可以将二+二转化为二二sm二+2：：sm二

又因为角二的值已经得到，所以将「Hsin二+2二sm二转化为关于二的正弦型函数表达式，这样就可求出取值范围；另外

本问也可以在求出角二的值后，应用余弦定理及重要不等式二；+二：22二二，求出二+二的最大值，当然，此时还要注

意到三角形两边之和大于第三边这一条件.

试题解析：（1）由手+苧=泛当，

U□一

应用余弦定理，可得

化简得二二=贝ij二=-

(2)vcosZ+\7sinZ=2

・•・；cosZ+-rsmZ=J即sin（1+Z）=7

v二二）=+1=|所以二=1

法一・•・・2二=三二，，

Sl&u.

则二+二=sm二+sm二

=sinZ+sin（亍一二）

?.一，仃_

二二sm一+—cos.

=v'Isin（L+§

又「O＜二＜今,二三〈二+二八3

法二

因为二=2由余弦定理二：=二；+二：一？二二cos二

得：=（匚+二）;-3二，

又因为二二M（甘可；，当且仅当二=二时“=”成立.

所以：=（二+二）;-3二二2（二+二）；-3（争；=三三

二二+二W又由三边关系定理可知二+二＞二=二

综上二+二e（-7.v?]

考点：1.正、余弦定理；2.正弦型函数求值域；3.重要不等式的应用.

18.详见解析

【解析】

选择①，利用正弦定理求得。，利用余弦定理求得C,再计算边上的高.

选择②，利用正弦定理得出a=3c,由余弦定理求出再求8c边上的高.

选择③，利用余弦定理列方程求出c,再计算8C边上的高.

【详解】

选择①，在AABC中，由正弦定理得，一=」一，

sinAsinB

aa

即721_6，解得a=2；

~T~~~

22

由余弦定理得A?=a+c-2accosB9

即（近）2=22+C2-2X2XCX1,

化简得。2—2c—3=0,解得c=3或c、=-l（舍去）；

所以8c边上的高为h=csinB=3x1巨=22g.

22

选择②，在AABC中，由正弦定理得」一=一J，

smAsmC

又因为sinA=3sinC,所以一--二--—,即a=3c；

3sinCsinC

由余弦定理得IT=a2+c2-2accosB,

即（"J=（3C）2+C2-2X3CXCX1,

化简得7c、2=7,解得c=l或c=—l（舍去）；

所以8C边上的高为/z=csin6=lx3=3.

22

选择③，在中，由。一。=2,得。=。+2；

由余弦定理得〃=/+c2-2accosB，

即（⑺-=（c+2）2+/-2x（c+2）xcx；,

化简得J+2c-3=（），解得。=1或。=一3（舍去）;

所以8C边上的高为h=csinB=lxB=昱.

22

【点睛】

本小题主要考查真闲的了、余弦定理解三角形，属于中档题.

v2

19.(1)y=xtana+l,x2+^-=1(>-..0)(2)0

【解析】

(1)分别把两曲线参数方程中的参数消去，即可得到普通方程；

(2)把直线的参数方程代入G的普通方程，化为关于，的一元二次方程，再由根与系数的关系及此时/的几何意义求

解.

【详解】

x-tcosa

(1)由曲线G的参数方程为..(/为参数)，消去参数7,可得y=xtanc+l；

y=l+tsma

x=sin,______、,2

由曲线G的参数方程为1---------(夕为参数)，消去参数。，可得y=也二/，即/+==1(%0).

y=+cos202

x=tcosa.v2

(2)把i(1为参数)代入/+匕=],

y=1+Zsin6z2

得(1+cos2a)t2+2/sina—1=0.

-2sina-1

.%+,2=;2-，/"2=■;2一,

・1+cosa1+cos^a

•••IA8H「f2b《+幻2-4伍=J(-2sinJ.)2+±=近.

'"v1+cosa1+cos'a

解得：cos2a=1»即cosa=±l,满足A>0.

.,.sin(z=0.

【点睛】

本题考查参数方程化普通方程，特别是直线参数方程中参数/的几何意义的应用，是中档题.

20.(1)m=\(2)见解析

【解析】

(1)分三种情况去绝对值，求出最大值与已知最大值相等列式可解得；(2)将所证不等式转化为4-2a桁1,再构造

ah

函数利用导数判断单调性求出最小值可证.

【详解】

(1)Vm>0>

-3m,x>m

:./(x)=|x-/n|-|x+2m|=*-2x-m,-2m<x<m.

3m,x<-2m

...当xW—2机时，/(x)取得最大值3m.

m=1.

(2)由(I),得4+力2=1,

a3//+/(a2+b2^-2a2b2i

—+—=--------=---------------------=------2ab•

baabahab

Va2+b2=l>2ab,当且仅当。二。时等号成立，

：•0<cih<一.

2

令〃«)=；—2f,0</<1.

则〃(f)在(o,g

上单调递减.••.〃(。之。1.

.•.当■时，---2ab>\.

2ab

—>1.

ba

【点睛】

本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题.本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及不等式的恒成立问题，其中

解答中根据绝对值的定义，合理去掉绝对值号，及合理转化恒成立问题是解答本题的关键，着重考查分析问题和解答

问题的能力，以及转化思想的应用.

21.(I)见解析(H)也

7

【解析】

(I)推导出BCLCE,从而EC_L平面ABC。,进而ECJ.BD,再由BDJ.AE,得5O_L平面

AEC,从而8O_LAC,进而四边形ABCD是菱形，由此能证明AB=AD.

(U)设AC与80的交点为G,推导出EC//fG,取8c的中点为0,连结。£>,则0Z)_L8C,以0为坐标原点，以过点0

且与CE平行的直线为x轴，以8c为y轴，。。为z轴，建立

空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BF-D的余弦值.

【详解】

n

(I)证明：ZBCE=~,即8CLCE,

2

因为平面ABCD±平面BCE,

所以EC,平面A8CD,

所以EC1.8。，

因为3Z）J_AE，

所以80,平面A£C,

所以3OLAC,

因为四边形ABC。是平行四边形，

所以四边形ABC。是菱形，

故AB=AP；

解法一：（U）设AC与8。的交点为G,

因为EC//平面8DE,

平面AECI平面BDF于FG，

所以EC//FG,

因为G是AC中点，

所以/是AE的中点，

因为NBC£>=60°,

取8C的中点为。，连接8,

则8八BC,

因为平面ABCD±平面BCE,

所以OOJ_面BEC,

以0为坐标原点，以过点。且与CE平行的直线为x轴，以8C所在直线为》轴，以8所在直线为二轴建立空间直角

坐标系.不妨设AB=2,则3（0,—1,0）,40,-2,6），D（0,0,aF,BF=1,；岑，

丽=（0,—1，司，丽=（0,1询,

设平面ABE的法向量）=（%，y,zJ,

则<1玉+21必,+®1-4一_n，取1二卜班,若,1）,

-y,+&、=0

同理可得平面DBF的法向量鼠=（0,73,-1）,

设平面ABF与平面DBF的夹角为。,

因为网领,动=徜=舟=当

解法二：（II）设AC与的交点为G,

因为EC//平面6。尸，平面AECI平面即产于EG,

所以EC//FG,

因为G是AC中点，

所以尸是4E的中点，

因为ACLBD,AC1FG,

所以ACJL平面8。/，

所以ACJ_3尸，

取BF中点H,连接G”、AH,

因为尸G=