新北师大版高中数学必修第一册课件配套讲义及试题师说

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基本不等式的应用成套的课件成套的教案成套的试题尽在高中数学同步资源大全QQ群483122854s2最大值4最小值

2

p状元随笔利用基本不等式求最值要牢记三个关键词：一正、二定、三相等．①一正：各项必须为正．②二定：各项之和或各项之积为定值．③三相等：必须验证取等号时条件是否具备．[教材答疑][教材P29

思考交流]设矩形的长为x

cm，宽为y

cm，则xy＝16

cm2，所以周长2(x＋y)≥4

xy＝16.当且仅当x＝y＝4

cm

时，周长最小，即边长为4

cm的正方形的周长最小．[基础自测]1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)1(1)函数

y＝x＋x的最小值为

2.(

×

)(2)若ab＝2，则a＋b

的最小值为21x－1(3)当

x>1

时，函数

f(x)＝x＋

≥2xx－1，所以函数f(x)的2.(

×

)最小值为2xx－1(4)y＝x1.(

×

)＋x的值域为[2，＋∞)．(

×

)2．若a>1，则a＋1a－1的最小值是()A．2

B．a

C.

2aa－1D．3解析：a>1，所以a－1>0，所以a＋a－11

1a－1＝a－1＋

＋1≥2(a－1)·1a－1＋1＝3.当且仅当a－1＝1a－1即a＝2

时取等号．答案：D3．若

a>0，b>0，a＋2b＝5，则

ab

的最大值为(

)A．25 B.

225

C.25

D.254

8解析：∵a>0，b>0，a＋2b＝5，∴a＋2b＝5≥2252ab，∴ab≤

8

，5当且仅当a＝2b＝2时取等号，故选D.答案：D4．已知x，y

都是正数．(1)如果

xy＝15，则

x＋y

的最小值是

．(2)如果

x＋y＝15，则

xy

的最大值是

．解析：(1)x＋y≥2

xy＝2

15，即

x＋y

的最小值是

215；当且仅当x＝y＝

15时取最小值．(2)xy≤x＋y22＝

2152＝225

2254

4，即

xy

的最大值是

.15当且仅当x＝y＝

2

时xy

取最大值．答案：(1)2

15(2)22541解析：(1)∵0<x<2，∴1－2x>0，∴y＝x(1－2x)≤212x＋(1－2x)221

1＝8，当且仅当2x＝1－2x，即x＝4时取等号．(也可用二次函数配方法求解．)答案：(1)B(2)已知x>1，求y＝4x2－8x＋5x－1的最小值．换元法：令

t

＝x－1>0.解析：(2)∵x>1，令t＝x－1(t>0)，则x＝t＋1，x－14x2－8x＋5

4(t＋1)2－8(t＋1)＋5

4t2＋1t

t1所以

y＝

＝

＝

＝4t＋

t

≥24t

1

1

1

3·

t

＝4.

当且仅当4t＝

t

，即t＝2，x＝2时取等号．所以y＝4x2－8x＋5x－1的最小值为4.答案：(2)41

1

(1)若

a>0，b>0，a＋3b＝1，则a＋3b的最小值为(

)微点

2

有条件求最值例2A．2C．4B．2

2D．3

2解析：(1)∵a>0，b>0，a＋3b＝1，∴＋1

1

1

1

a

3b

a

3b＝

＋

·(a＋3b)3b

a

＝2

3b

a≥2＋2 ×

＝2＋2＝4.当且仅当a＝3b

时等号成＋

a

＋3b

a

3b1

1

立，所以a＋3b的最小值为4.答案：(1)C(2)若正数

x，y

满足

x＋3y＝5xy，则

3x＋4y

的最小值是

．1

3解析：(2)∵x＋3y＝5xy，x>0，y>0，∴5y＋5x＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)·＋

1

3

5y

5x＝13

3x

12y

135

5y

5x

5＋

＋

≥

＋2·3x

12y5y

5x＝53x

12y当且仅当5y＝

5x

，即x＝2y＝1时取等号．答案：(2)5状元随笔应用基本不等式解题的关键是凑出“定和”或“定积”及保证能取到等号，此时往往需要采用拆项、补项、平方、平衡系数、“1”的整体代入等变形技巧，选择合理的变形技巧可以使复杂问题简单化，达到事半功倍的效果．跟踪训练1(1)已知正实数a，b

满足a4

1＋b＝1，则a＋b

的最小值为(

)A．4

B．6

C．9D．104b1aa

1

4b解析：(1)∵a>0，b>0，a＋

＝1，∴

＋b＝

＋b·a＋

＝5＋

4

ab＋ab≥5＋2

4

ab·ab＝9.当且仅当ab＝

4ab4ba＋

＝11时，即a＝3，b＝6时取“＝”．答案：(1)C1(2)已知x<2，则2x＋12x－1的最大值是．1解析：(2)∵x<2，∴1－2x>0，∵2x＋12x－1＝2x－1＋12x－1＋1＝－1－2x＋11－2x＋1∴1－2x＋∵1－2x>0，11－2x≥2

(1－2x)·11－2x＝2(当且仅当x＝0时，等号成立)．∴2x＋12x－1≤－2＋1＝－1.答案：(2)－1题型二 利用基本不等式求参数——师生共研＋1

1x

y＋

≥a

恒成立，则实数a

的最大)例

3

设

x，y∈R

，(x＋y)值为(A．2

B．4C．8

D．16解析：因为x，＋y∈R

，所以(x＋y)

1

1x

yx

y＋

＝2＋

＋

≥2＋2x

y＝4，当且仅当x＝y＝1

时等号成立，而x，＋y

xy∈R

，(x＋y)1

1x

yy·x＋

≥a恒成立，故a≤4，也即a

的最大值为4.答案：B状元随笔运用基本不等式求参数的取值范围问题在高考中经常出现，在解决此类问题时，要注意发掘各个变量之间的关系，探寻思路，解决问题．方法归纳恒成立问题常采用分离参数的方法求解，若

a≤y

恒成立，则a≤ymin；若

a≥y恒成立，则

a≥ymax.将问题转化为求

y的最值问题，可能会用到基本不等式．1跟踪训练

2

已知两个正数

x，y

满足

x＋y＝4，则使不等式x＋y4≥m

恒成立的实数

m

的范围是

．1

4

14

1

1解析：∵x>0，y>0，x＋y＝4，∴x

＋y

＝x＋y·4(x＋y)＝4

y

4x15＋x＋

y

≥45＋2y

4x1

9

y

4x

1x·

y

＝4(5＋4)＝4.当x＝

y

时取等号，∴x＋4

99y的最小值是4.∴m≤4.9答案：m≤4600解析：(1)设AD＝t

米，则由题意得xt＝600，且t>x，故t＝

x>x，可得

0<x<10

6，

600

400则

y＝800(3x＋2t)＝8003x＋2×

x

＝2

400x＋

x

，

400所以

y

关于

x

的函数解析式为

y＝2

400x＋

x

(0<x<106)．

(2)y＝2

400x＋

x

≥2

400×2400

400x·

x

＝96

000，400当且仅当

x＝

x

，即

x＝20

时等号成立．故当x

为20

米时，y

最小；y

的最小值为96

000

元．方法归纳利用基本不等式解决实际问题的步骤解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数．建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．在定义域内，求出函数的最大值或最小值．

(4)正确写出答案．跟踪训练

3 2016

年

11

月

3

日

20

点

43

分我国长征运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为我国已从航天大国向航天强国迈进的重要标志．长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新材料，甲工厂承担了某种材料的生产，并以

x千克/时的速度匀速生产(为保证质量要求

1≤x≤10)，每小时可消耗A

材料kx2＋9

千克，已知每小时生产

1

千克该产品时，消耗

A

材料

10

千克．设生产m

千克该产品，消耗A

材料y

千克，试把y

表示为x的函数．要使生产1000千克该产品消耗的A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A

材料最少为多少？消耗A

材料＝生产时间×每小时可消耗A

材料．解析：(1)由题意，得k＋9＝10，即k＝1.m生产m

千克该产品需要的时间是x

.m2

9所以y＝

x

(kx

＋9)＝mx＋x，x∈[1,10]．(2)由(1)知，生产1

000

千克该产品消耗的A

材料为：

9y＝1

000x＋x≥1

000×29＝6

0009(当且仅当x＝x，即x＝3∈[1,10]时等号成立)故工厂应选取3

千克/时的生产速度，消耗的A

材料最少，最少为6

000

千克．易错辨析

多次使用基本不等式求最值时忽略等号同时成立的条件1

8例