苏教版高中数学必修1第3课《函数及其表示》提优讲义

《函数及其表示》提优讲义知识讲解一、函数的概念设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数．记作：，其中叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．注意（1）“”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“”；（2）函数符号“”中的表示与对应的函数值，一个数，而不是乘．二、函数的三要素1.定义域三种形式①自然型：指函数的解析式有意义的自变量的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数等等）；②限制型：指命题的条件或人为对自变量的限制，这是函数学习中的重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量的实际意义．2.求值域方法①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）；④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）．三、两个函数的相等函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则．当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定．因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数．四、区间1.区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；2.无穷区间；3.区间的数轴表示．五、映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则，使对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射．记作“”．函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射．注意：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思．六、函数的表示方法解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系．七、分段函数定义：若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数．1.分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式．2.分段函数的图像可以是光滑的曲线段，也可以是一些孤立的点或几段线段．3.分段函数的值域，也就是各部分上的函数值集合的并集．4.分段函数虽然有几部分组成，但它仍是一个函数．八、复合函数若，,，，那么称为复合函数，称为中间变量，它的取值范围是的值域．九、函数图像的作法1.描点法：列表、描点、用光滑的曲线连线．2.变化作图法=1\*GB3①平移：；=2\*GB3②对称：；；=3\*GB3③其他：经典例题一．填空题（共11小题）1．函数f（x）=x-x2的定义域为[0，1]【解答】解：要使函数有意义，则x﹣x2≥0，即x2﹣x≤0，解得0≤x≤1，即函数的定义域为[0，1]．故答案：[0，1]．2．若函数f（x+1）的定义域[﹣6，2]，则函数f（1﹣x）定义域是[﹣2，6]．【解答】解：∵函数f（x+1）的定义域为[﹣6，2]，即﹣6≤x≤2，得﹣5≤x+1≤3，∴函数f（x）的定义域为[﹣5，3]．由﹣5≤1﹣x≤3，解得﹣2≤x≤6，∴函数f（1﹣x）的定义域是[﹣2，6]．故答案为：[﹣2，6]．3．已知f（x2+1）定义域为[0，3]，则f（2x﹣1）的定义域为[1，112]【解答】解：∵f（x2+1）定义域为[0，3]，即0≤x≤3，∴1≤x2+1≤10，即函数f（x）的定义域为[1，10]，由1≤2x﹣1≤10，得1≤x≤112∴f（2x﹣1）的定义域为[1，112]故答案为：[1，112]4．已知函数f（2x﹣1）的定义域为（﹣1，2]，则f（2﹣3x）的定义域为[﹣13，53【解答】解：由函数f（2x﹣1）的定义域为（﹣1，2]，即﹣1＜x≤2，得﹣3＜2x﹣1≤3，∴f（x）的定义域为（﹣3，3]．由﹣3＜2﹣3x≤3，得-13≤x∴f（2﹣3x）的定义域为[﹣13，5故答案为：[﹣13，55．设f（x）=3+x3-x，则f（12x-1）+f（2x﹣1）的定义域为[﹣1，13]∪（23【解答】解法一：∵f（x）=3+x3-x∴f（12x-1）+f（2x﹣1=3+12x-1=6x-2=3x-13x-2∴&3x-2＞解得&x＞∴f（12x-1）+f（2x﹣1）的定义域为[﹣1，13]∪（23解法二：∵f（x）=3+x3-x的定义域是{x|&3+x解得{x|﹣3≤x＜3}．∴f（12x-1）+f（2x﹣1）的定义域是{x|&-3≤解得﹣1≤x≤13，或2∴f（12x-1）+f（2x﹣1）的定义域为[﹣1，13]∪（236．若函数f（x）=x-4mx2+4mx+3的定义域为R，则实数m的取值范围是【解答】解：由题意知mx2+4mx+3≠0对任意x∈R恒成立，（1）若m=0，则mx2+4mx+3=3≠0，符合题意．（2）若m≠0，则mx2+4mx+3≠0对任意x∈R恒成立，等价于&m≠0&△=16解得：0＜综上所述，实数m的取值范围是[0，故答案为[0，7．已知函数f（x）=mx+7mx2+4mx-3的定义域为R，实数m的取值范围是【解答】解：∵函数f（x）=mx+7mx2∴mx2+4mx﹣3≠0对任意实数x都成立，当m=0时，符合题意；当m≠0时，需△=16m2+12m＜0，解得-3综上，实数m的取值范围是（﹣34，0]故答案为：（﹣34，0]8．函数y=kx2-4kx+k+6的定义域为R，则k的取值范围[0，2【解答】解：要使函数y=kx2-4kx+k+6则kx2﹣4kx+6≥0对任意x∈R恒成立．当k=0时，不等式化为6≥0恒成立；当k≠0时，则&k＞0&16k2-4k综上，k的取值范围是[0，2]．故答案为：[0，2]．9．函数f(x)=2x+1-x的值域为(-∞，【解答】解：令1-x=t（t≥0），得x=﹣t2+1∴原函数化为y=-2t∴数f(x)=2x+1-x的值域为：(-∞故答案为：(-∞，10．函数y=21-x1+x的值域是【解答】解：令t=1-x1+x=﹣1+21+x≠﹣∴y=21-x1+x故答案为(0，11．若函数f（x）=x2﹣2x+3﹣c的最小值为2017，则f（x+2017）的最小值是2017．【解答】解：函数f（x+2017）的图象由函数f（x）的向左平移2017个单位得到，函数的最值不变，由函数f（x）=x2﹣2x+3﹣c的最小值为2017得：函数f（x+2017）的最小值为2017，故答案为：2017二．解答题（共8小题）12．判断下列各组函数是否为相等函数：（1）f（x）=f（x）=(x+3)(x-5)x+3，g（x）=x﹣5（2）f（x）=2x+1（x∈Z），g（x）=2x+1（x∈R）；（3）f（x）=|x+1|，g（x）=&x+1，【解答】解：（1）（2）不是，（3）是．对于（1），f（x）的定义域为{x|x≠﹣3}，g（x）的定义域为R；对于（2），f（x）的定义域为Z，g（x）的定义域为R，所以（1）（2）中两组函数均不是相等函数；对于（3），两函数的定义域、对应关系均相同，故为相等函数．13．求解析式：（1）已知f（2x+1）=4x2+8x+3，求f（x）；（2）已知f（x+1x）=x2+1x2﹣3，求f（3）已知f（x）﹣2f（1x）=3x+2，求f（x（4）已知f（x+1）=x+2x，求f（x）．【解答】解：（1）∵f（2x+1）=4x2+8x+3=4x2+4x+1+4x+2=（2x+1）2+2（2x+1）∴f（x）=x2+2x；（2）∵f（x+1x）=x2+1x=（x+1x）2﹣∴f（x）=x2﹣5；（3）∵f（x）﹣2f（1x）=3x+2∴f（1x）﹣2f（x）=3x+两式联立消去f（1x）可得f（x）=﹣2x﹣x﹣（4）∵f（x+1）=x+2x=（x+1）2﹣1∴f（x）=x2﹣1，x≥114．根据下列条件分别求出函数f（x）的解析式观察法：（1）f(x+1x)=x2换元法：（2）f（x﹣2）=x2+3x+1求f（x）；待定系数法：（3）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17，求f（x）；复合函数的解析式：（4）已知f（x）=x2﹣1，g(x)=x+1，求f[g（x）]]和g[f（x）]【解答】解：（1）∵f(x+1x)=x2+1x2=(x+1x)2﹣2，∴f（x）=x（2）设t=x﹣2，则x=t+2，代入得：f（t）=（t+2）2+3（t+2）+1=t2+7t+11，∴f（x）=x2+7x+11；（3）由题意设f（x）=ax+b，∵3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17，∴3a（x+1）+3b﹣2a（x﹣1）﹣2b=2x+17，即ax+5a+b=2x+17，则a=2且5a+b=17，解得a=2，b=7；∴f（x）=2x+7．（4）∵f（x）=x2﹣1，g(x)=x+1（x≥﹣1∴f[g（x）]]=x+1﹣1=x（x≥﹣1），∵x2﹣1≥﹣1，∴g[f（x）]=x2-1+1=|x|，且定义域是[﹣1，15．已知函数y=f（x）的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数f（x）的解析式．【解答】解：如图（1）当x≤1时，设f（x）=k1x+b1，∵图象过点（0，2），（1，1），∴&b∴&kf（x）=﹣x+2；（2）当1≤x≤3时，设f（x）=a（x﹣2）2+2，（a＜0），∵图象过点（1，1），∴a=﹣1．∴f（x）=﹣x2+4x﹣2；（3）当x≥3时，设f（x）=k2x+b2，∵图象过点（3，1），（4，2），∴&3k∴&kf（x）=x﹣2．综上，f(x)=&-x+216．根据函数f（x）的图象（如图）写出它的解析式．【解答】解：当0≤x≤1时，f（x）=2x；当1＜x＜2时，f（x）=2；当x≥2时，f（x）=3．所以f（x）=&2x，17．画出下列函数的图象（1）y=2x+1（2）y=x2﹣2|x|（3）y=|2x﹣1|【解答】解：（1）y=2x+1x-1=2+3其图象由y=3x的图象向右平移一个单位，再向上平移2（2）y=x2﹣2|x|的图象由y=x2﹣2x的图象经过水平对折变换得到，如下图所示：（3）y=|2x﹣1|的图象由y=2x﹣1的图象经过垂直对折变换得到，如下图所示：18．作出下列函数图象（1）y=x+1（x∈{0，1}）；（2）y=|x|