材料力学公式最全总汇

里I矽血矩计算公式（P功率，n转速）尸财心）日其[对弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式N一一s=9549外力偶ttdx轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式 M（杆件横截面轴力FN,横截面面积A,拉应力为正）轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a从x轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正）弓二孔sincr=bcugwiiia二—sin2cr纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距1，拉伸后试样标距11；拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1）A/=Z|—1M=/]—a纵向线应变和横向线应变泊松比 E‘=-K胡克定律虹碧"Ee受多个力作用的杆件纵向变形计算公式4"瑞承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式

受多个力作用的杆件纵向变形计算公式4"瑞承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式cr=凸<[cr]轴向拉压杆的强度计算公式 皿 J许用应力,脆性材料四=，，塑性材料田,任许用应力,脆性材料四=，，塑性材料田,任延伸率<100%^-=^—Ax100%TOC\o"1-5"\h\z截面收缩率 A剪切胡克定律（切变模量g，切应变g）拉压弹性模量E、泊松比U和切变模量G之间关系式 2（1+V）圆截面对圆心的极惯性矩（3）实心圆 1 32矶二或ns（b）空心圆 32 32圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T，所求点到圆心距离r）3=琮=匕圆截面周边各点处最大切应力计算公式 八吼扭转截面系数5*扭转截面系数5*，（a）实心圆捋曜（b）空心圆吸=君5

薄壁圆管（壁厚6<R0/10,R0为圆管的平均半径）扭转切应力计算公式_T—2竣<577。= 圆轴扭转角甲与扭矩T、杆长I、扭转刚度GHp的关系式同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同（如阶梯轴）时等直圆轴强度条件S吼塑性材料[丁1=（口A口・G）【E；脆性材料[T1="-LQ）[b]=[tU-1w]= x——[^1扭转圆轴的刚度条件 k或G/川受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式 My=平面应力状态下斜截面应力的一般公式平面应力状态的三个主应力2y=平面应力状态下斜截面应力的一般公式平面应力状态的三个主应力2tan2%= TOC\o"1-5"\h\z主平面方位的计算公式 气/受扭圆轴表面某点的三个主应力巧=十，巧=口，,二三向应力状态最大与最小正应力曲二巧,%二巧=巧-巧三向应力状态最大切应力 2~°rl=°!压二旺—讽巧十气)压二巧一。3 *任4=£[(巧-巧尸+(Oi-O3)2+(CT3-巧尸]四种强度理论的相当应力 J2一种常见的应力状态的强度条件%=扣十如2制司，0=Jo24-Sr2<[cr]组合图形的形心坐标计算公式 ， 24任意截面图形对一点的极惯性矩与以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和的关系式截面图形对轴z和轴截面图形对轴z和轴y的惯性半径A、平行移轴公式（形心轴zc与平行轴Z1的距离为、平行移轴公式（形心轴zc与平行轴Z1的距离为a4=S以图形面积为A）Myb=——纯弯曲梁的正应力计算公式 心triLU:横力弯曲最大正应力计算公式挤,hh护T= /一= 矩形、圆形、空心圆形的弯曲截面系数122 6* 64 2 32* 64 2 32几种常见截面的最大弯曲切应力计算公式（』—为中性轴一侧的横截面对中有= 性轴Z的静矩，b为横截面在中性轴处的宽度） 虬3^3氏T= = 矩形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处 场1A工字形截面梁腹板上的弯曲切应力近似公式"芸

轧制工字钢梁最大弯曲切应力计算公式 ”E1J）孔_4孔_4片圆形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处 $网七《队〜=2,圆环形薄壁截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处 f弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件Truax、rrrruax——lJ几种常见截面梁的弯曲切应力强度条件压二如十村w[E或弯曲梁危险点上既有正应力。又有切应力压二如十村w[E或，梁的挠曲线近似微分方程dx梁的挠曲线近似微分方程dx梁的转角方程冬艾T警&+G仲__[财⑴d.xdx4-C.x+梁的挠曲线方程轴向荷载与横向均布荷载联合作用时杆件截面底部边缘和顶部边缘处的正应力计算公式~A~W,力计算公式偏心拉伸（压缩）醯-弯扭组合变形时圆截面杆按第三和第四强度理论建立的强度条件表达式压二£加项W四二'成仁而矛圆截面杆横截面上有两个弯矩虬和秘，同时作用时，合成弯矩为圆截面杆横截面上有两个弯矩虬和同时作用时强度计算公式£^M2+0.75^=+M：+.75产<[g]弯拉扭或弯压扭组合作用时强度计算公式&=7?+4?=J（乐十％）2十4廿<[司匹」二4"十3亍=7（°m+on）1+3ttWIET=^-<[Tl剪切实用计算的强度条件 A%=#毛w挤压实用计算的强度条件等截面细长压杆在四种杆端约束情况下的临界力计算公式虹同压杆的约束条件：（a）两端铰支肝1（b） 一端固定、一端自由日=2（c） 一端固定、一端铰支|1=（d） 两端固定|1=鼻=丝i=K压杆的长细比或柔度计算公式一'，丫新细长压杆临界应力的欧拉公式%_了又乏=w——欧拉公式的适用范围 四~压杆稳定性计算的安全系数法 吗一"cr=—压杆稳定性计算的折减系数法卜甲关系需查表求得

3截面的几何参数序号公式名称公式符号说明;()截面形心位置fzdA jydAz=—，y= c A c AZ为水平方向Y为竖直方向(()截面形心位置XzA &z=T：i，y V1c乙Ac乙AiA()~面积矩 r- r-—Sz=JydA，S=JzdA A A ()面积矩—S=XAy，S=XAzz ii y ii()截面形心位置z工，y工cAcA，()面积矩S=Az，S=Ay|()轴惯性矩/=Jy2dA，/=Jz2dA A A ()！极惯必矩Ip=jp2dA A ()极惯必矩.1p=Iz+Iy()惯性积-~~f—. I=jzydAz：y A }()轴惯性矩I=i2A，I=i2Az z y y~()惯性半径（回转半径）IT ：T♦7L，—:A"()面积矩轴惯性矩极惯性矩）惯性积S=£S，S=£SI=XI.，I广XIy,I=Xi，I=Xip pi zy zyi|

()平行移机公式I=I+a2AI=I+b2A、=、+血4应力和应变序号《公式名称公式符号说明()轴心拉压杆横~截面上的应力N。=—A()危险截面上危！险点上的应力Nb=—maxA()轴心拉压杆的》纵向线应变M&=——l()轴心拉压杆的(纵向绝对应变Ml=l-1、=£.1()"(虎克定理b=E£b£=—E'()虎克定理A7N.1M=——EA。()虎克定理M工1=E詈i())横向线应变_Mb_b-b£=b—1b()泊松比(横向》变形系数)£,V=—£

8'=-V8()…剪力双生互等定理T=T()¥剪切虎克定理t=Gy()实心圆截面扭*转轴横截面上的应力T=企pIP()@实心圆截面扭转轴横截面的圆周上的应力TRT— max IP()抗扭截面模量（扭转抵抗矩）IW=7TR…()实心圆截面扭转轴横截面的圆周上的应力;TT—max W^T()圆截面扭转轴的变形、T.l平—GIp()圆截面扭转轴的变形〜yyti平—乙甲—乙—ii—p()单位长度的扭转角【o=l,e=GLp()矩形截面扭转轴长边中点上的剪应力T TT= =maxW 。如W是矩形截面W的扭转抵

抗矩()&矩形截面扭转轴短边中点上的剪应力T1=YTmax—()矩形截面扭转轴单位长度的扭转角T T0=-^= —GI Gab4T《IT是矩形截面的IT相当极惯性矩()矩形截面扭转轴全轴的扭转/角Tl中=0.1=-^-Gab4a,P，丫与截面高宽比九/b有关的参数()平面弯曲梁上任一点上的线应变s=yop()平面弯曲梁上任一点上的线应力b-竺p()"平面弯曲梁的曲率1_Mp=EIz()—纯弯曲梁横截面上任一点的正应力Myb— Iz…()离中性轴最远的截面边缘各点上的最大正应力_M.yb — maxmax Iz/()抗弯截面模量（截面对弯曲的抵抗矩）W=-^~zymax

()离中性轴最远的截面边缘各点上%的最大正应力Mb=—max ^Wz()横力弯曲梁横截/面上的剪应力VS*T=——zIbzS*被切割面积z对中性轴的面积矩。()—中性轴各点的剪应力_VS*T zmvaXmax Ibz()）矩形截面中性轴各点的剪应力3VT— max2bh()|工字形和T形截面的面积矩S*=ZA*y*z ici()¥平面弯曲梁的挠曲线近似微分方程EIv"=-M3)V向下为正（X|向右为正()平面弯曲梁的挠曲线上任一截面的转角方程*EIv'—EI9=-jM(x)dx+C()平面弯曲梁的挠曲线上任一点挠度方程EIv—-jjM(x)dxdx+Cx+D-()双向弯曲梁的合成弯矩M=JM2+M2'z y¥()拉（压）弯组合矩形截面的中性轴在Z轴上的截距i2a—z—ypzp,yp是集中力作用点的标()!拉（压）弯组合矩形截面的中性轴在Y轴上的截距i2a=y———丁>p@

5应力状态分析序号公式名称A公式符号说明()单元体上任意截面上的正应力&b= 丹+ 丹cos2a-tsin2以a 2 2 x()单元体上任意截面上的剪应力@t=—x ^sin2a+tcos2aa 2 x()主平面方位角-2ttan2a0= — (a。与匚反号)X y*()大主应力的计算公式b=r+;max 2 \V2/\2+T2X]()主应力的计算公式1b=A-1max 2 \[亨'V2/2+T2x())单元体中的最大剪应力b-bTmax 123()主单元体的八面体面上的剪应力！T=：JG-b1+(b-b1+G-bY

()a面上的线应变8+8 8-8 丫8—-2子+-2日cos2a+~2^sin2a〜()a面与a+90。面之间的角应变y=-(8-8)sin2a+ycos2a.()主应变方向公式Ytan2a— xy—0 8-8()大主应变8 -1y+Jmax 2k2/2y2+~T()小主应变[8 —：-Imax 2 七]k2 72y2+—*^4()Y.的替代公式Y疽28450-8广。y!()主应变方向公式tan2a-气0一8广七0 8-8,()大主应变8—^+Jmax 2 Vf8x~£45012k匕72+f8y~£450:2k匕72()。小主应变8 -工-,''max 2 七x2450k2 72+f^:k272()简单应力状态下的虎克定理~8———,8—-V——,8—-V―xE y E z E()空间应和状态下的虎克定理ir ( 』8 =—切—V程 +b〃8——t—vG+b，iL ( 』8 =—K -Vt +b 兀()平面应力状态下的虎克定理（应变#

形式）1, 、8=—(b—Vb)x Ex y1, 、8=E(b-Vb)V8=-^(b+b)()[平面应力状态下的虎克定理（应力形式）E / 、…1—V2(8x+V8y)E / 、b = (8 +V8 )b=0~()按主应力、主应变形式写出广义虎克定理8=E|b—V(b+b》8=E|b—V(b+bU8=Elb—V(b+b1—()二向应力状态的广义虎克定理1, 、8=—(b—Vb)1, 、8=—(b—Vb).8=——(b+b)3 E1 2()二向应力状态的广义虎克定理E, 、七= (8]+V82)E, 、七=1 (8]+V82)Eb2=1 (82+V8])b3=0

2内力和内力图序号*公式名称公式符号说明().()外力偶的换算公式NT=9.55—e nNT=7.02—e n}()分布何载集度剪力、弯矩之间的关系>dV(x),=q(x)dxq(x)向上为正}()dM(x)=V(x)dx()】d2M(x) .., =q(x)dx26强度计算序号~公式名称公式符号说明()第一*

强度理论：最大拉应力理论。当"广七（脆性材料）时，材料发生脆性断裂破坏。b=f*.（塑性材料）1 u()第二强度理论：最大伸长线应变理论。当bi-V（气+气）=fut（脆性材料）1时，材料发生脆性断b]—V（b2+气）=f*（塑性材料）裂破坏。，()第三强度理论：最大剪应力理论。当T气=fy（塑性材料）时，材料发生剪切破坏。bi—b3=fuc（脆性材料）,()第四强度理论：八面体面剪切理论。k—bi+(b—b\+(b—b\Lf(塑性材料)当七2 1 2 1 3 2 3 yk—bI+G—bI+G—b\Lf(脆性材料)*2 1 2 1 3 2 3 uc时，材料发生剪切破坏。]()第一强度理论的相当应力b*=b

()第二强度理论的相当应力b*=b—v(b+b)()第三强度理论的相当应力b*=b—b()第四强度理论的相当应力…(Tfll~~rlb*=方tb—b》+(b—b》+G—b》」()由强度理论建立的强度条件b*<[b](()由直接试验建立的强度条件bmax<"t]bmax<[b]Tmax<[T]~轴心拉压杆的强度条件:""=N 'bcmax=0-[b」()》(),()(()（）~()()由强度理论建立的扭转轴的强度条件由扭转试验建立的强度条件（平面弯曲梁的正应力强度条Tb;=b]=C=—-<[c](适用于脆性材料)Tb+b)=T—v(0—T )=(1+v)T <[b]T=—<如」(适用于脆性材料)maxW1+Vb/b1—b3max—(—TmaxLmax ]T球广%＜号（适用于塑性材料）T:1—b\+(b—b\+(b—b+(—T —Tmaxmax-0、+(0+TY2max=(3t <[b]maxmaxTmax=T＜号（适用于塑性材料）TTT=—

max J%T<[T]b=—<[b]

tmax J% tZb1=M<[b]cmax J% c件》平面弯曲梁的剪应力强度条件。—而* 一「■T ZmaxM[T]()平面弯曲梁的主应力强度条件b*=Jb2+4T2<[b]b*=Jb2+3T2<[b])()圆截面弯扭组合变形构件的相当弯矩Jm2+M2+T2 M*b*=b-b=——z巧， =w3b*=《2k-b》+(b-b〉+G-bJm2+M2+0.75T2 M*= Z ^ = 4W W()螺栓的抗剪强度条件d<[T]n兀d2()螺栓的抗挤压强度条件,Ngbb=』/ <[bb]()贴角焊缝的剪切强N 八】T= <[Tw]0.7h£l f(

度条7刚度校核序号公式名称公式《符号说明()构件的刚度条件^max<[-]l .1(()扭转轴的刚度条件6 =二<[6]maxGIP();平面弯曲梁的刚度条件^max<[-]1 1〜8压杆稳定性校核序号公式名称公式\符号说明（）两端铰支的、细长压杆的、临界力的欧拉公式n 兀2EIP= c 12。I取最小值（）细长压杆在不同支承情况下的临界力公式c 兀2EIP= c (|L1.1)2)10=H.110—计算长度。R一长度系数；一端固定，一端自由：H=2一端固定，一端铰支：日=0.7；两端固定：日=0.5

()压杆的柔度0 目.1人= ii=J-是截面的惯性，A半径—（回转半径）()压杆的临界应力.=PcuA兀2Eb= cu 入2，()欧拉公式的适用范围EXNX=兀|—(()抛物线公式一. 1E,当X-X=兀、1o5f时，Xb疽fy[1-a(X)2]c X…P-bA=f[1-a(x)2].Ac.fy—压杆材料的屈服极限；a一常数，一般取a=0.43()安全系数法校核压杆的稳定公式PP-*=[Pcr]w/()折减系数法校核压杆的稳定性P'…b=—<甲.[b]A中一折减系数/中=[^】，小于1[b]10动荷载序号公式名称公式—符号说明()动荷系数叱 P N b AK=d= &=d=&d P N b AP-何载（N-内力

e-应力A-位移d-动j-静"构件匀加速上升或下降时的动荷系数a+7|a-加速度g-重力加速度()构件匀加速。上升或下降时的动应力_ a、b=Ke=(1+一)c.A动应力强度条件七max="max- ][e]-杆件在静何载作用下的容许应力()构件受竖直方向冲击时的动荷系数AK-1+v1+2HAjH-下落距离()构件受骤加荷载时的动荷系数K=1+J1+0=2dAH=0()构件受竖直方向冲击时的动荷系数1+工件jv-冲击时的速度)()疲劳强度条件ebmax^R]=节bp-疲劳极限[e]-疲劳应力容许值p|K-疲劳安全系数9能量法和简单超静定问题l=J9能量法和简单超静定问题l=JIM序号公式名称公式()外力虚功：w=PA+PA+M9+...=£PAe 11 22 e33 iI()内力虚功：w=—£jMd9—£jVdA—£jNdAl-SfTd^l l l l()虚功原理：变形体平衡的充要条件是：w+w=0()虚功方程：变形体平衡的充要条件是：w=-wg()莫尔定理：A=SfMdO+Ef--dAy+EfNdAl+SfTd甲l l l l()莫尔定理：AEl*MmEl*k",El*nn,El*T"A—J dx+^^J dx+^^J dx+^^J dx/EI /GA lEA lGIP()桁架的莫尔定理：ayNN】A=E 1EA()变形能：U=—w（内力功）()变形能：U=W（外力功）()外力功表示的变形能：U——PA+—PA+…1PA——EPA211 222 2ii2 iI()内力功表示的变形能：

vfM2(xky!KV2(xKy!N2(x) yft2(x)△=4J dx+4J dx+4J dx+4J dxi2EI i2GA i2EA /2GIP()卡氏第二定理：AdU△=——idPi()卡氏第二定理计算位移公式：Ayfmqm,yfkvqv,yfn加，yftst,△="J dx+"J dx+"J dx+"J dxi iEIQP iGAQP tEAQP iGIQPi i i pi()卡氏第二定理计算桁架位移公式：△=yN也i EAQP()卡氏第二定理计算超静定问题：AyfMQM-n△=y! dx=0By iEIQRB()莫尔定理计算超静定问题：AyfmmA八△=yJ dx=0By iEI()一次超静定结构的力法方程：511X1+常=0()X1方向有位移△时的力法方程：511X1+常=△()自由项公式：Ayfmm力△=—J—1——Pdx1P iEI()主系数公式：yl*m\5=yJ1dx11 iEI1、拉压b=N<[5]maxAmax2、剪切cmax挤压3、4、圆轴扭转平面弯曲②b =tmaxb =cmax①bM maxImax》tmaxM一<Wz<1b]max]tmaxzM maxyIycmax③cmax3max<C]5、5、6、斜弯曲b=max拉（压）弯组合TOC\o"1-5"\h\z、+ 〈口Wz W/=M也 qmaxAWzmaxN,M“LItmax=A*T^tmax袅tJzbcmaxM zIzcmax注意：“5”与“6”两式仅供参考 • 一、. 1'M2+M27、圆轴弯扭组合：①第三强度理论*3=曲2+4t2= 一-<LyJ: z ②第四强度理论b=\：‘b2+3t2=vMw+0-75Mn<b]r4*wn Wz、变形及刚度条件1、 拉压AL=NL=Ew=jN(x)dxEAEALEA2、 扭转o=兰=£TL=j丛 卜里=二.些 (/m)GIp GIp GIp LGIp兀3、弯曲(1)积分法3、弯曲(1)积分法:EIy"(x)=M(x)EIy'(x)=EI9(x)=jM(x)dx+CEIy(x)=j[jM(x)dx]dx+Cx+D（2） 叠加法:f（P,P）…=f（P）+f（P）+•••, 9（P,P）=0（P）+0（P）+…1，2 1 2 1,2 1 2（3） 基本变形表（注意：以下各公式均指绝对值，使用时要根据具体情况赋予正负号）0ML0PL0_qL3BEIB2EIB6EIfDMLfPLfqLB2EIB3EIB8EIdUdU6m(x), nxML=ML 0=0=些 0=0=虬B3EIA6EI BA16EI BA