极限计算方法总结

极限计算方法总结(简洁版)一、极限定义、运算法则和一些结果定义(各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述)。b 1b 10，当Iq1<1时lim—=0(a,b为常数且a黄0)；lim(3x-1)=5；hmqn=inFan x^2 n*I不存在，当IqI>1时等等(2)在后面求极限时，(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。极限运算法则定理1已知limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，3,则下面极限都存在，且有(1)lim[f(x)土g(x)]=A土B(2)limf(x)-g(x)=A-B(3)lim丑邑=A,(此时需B。0成立)g(x) B说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。两个重要极限(1)limsnx=1x—0x(2)lim(1+x)x=e lim(1+L)x=e、 / ； xx—0 x—8说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，作者简介：靳一东，男，(1964—)，副教授。例如：limSin3x=1，lim(1-2x)-2x=e，lim(1+|)3=e；等等。xr03x x^0 x—84.等价无穷小定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。定理3当xT0时，下列函数都是无穷小(即极限是0)，且相互等价，即有：x〜sinx〜tanx〜arcsinx〜arctanx〜ln(1+x)〜ex—1说明：当上面每个函数中的自变量X换成g(x)时(g(x)—0)，仍有上面的等价关系成立，例如：当xT0时，e3x―1〜3x；ln(1—x2)〜―x2。定理4如果函数f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是x—x0时的无穷小，且f(x)〜f1(x)，g(x)〜

则当lim」(=存在时xrxQ§1(x则当lim」(=存在时xrxQ§1(x)hm和也存在且等于f(x)hm布)

x—%o§(x) x—%0§1(x)limE=lim*。xrx0§(x)xrx0§1(x)洛比达法则定理5假设当自变量X趋近于某一定值(或无穷大)时，函数f(x)和§(x)满足：(1)f(x)和§(x)的极限都是0或都是无穷大;f(x)和§(x)都可导，且§(x)的导数不为0；f(x)lim§商存在(或是无穷大)；f(x) f'(x) f(x) f'(x)则极限lim和也一定存在，且等于lim齐),即lim和=limE。说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件(1)是否满足，即验证所求极限是否为“0”型或“-”型；条件0 8(2)一般都满足，而条件(3)则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。连续性定理6一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果x0是函数f(x)的定义去间内的一点，则有limf(x)=f(x0)。xrx0极限存在准则定理7(准则1)单调有界数列必有极限。定理8(准则2)已知｛x｝，｛J｝，｛Z｝为三个数列，且满足：n n n(1)七<xn<Zn,(n=1,2,3,)(2)limj=a，limz=anr8 nr8则极限limxn一定存在，且极限值也是a，即limxn=a。nr8 nr8二、求极限方法举例1.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限3x+1—2例1lim一TOC\o"1-5"\h\zxr1 x―1\o"CurrentDocument"「 G-；3x+T)2—22 「 3x—3 3\o"CurrentDocument"解.原式lim = =lim . =—\o"CurrentDocument"xr1(x—1)(j3x+1+2)xr1(x—1)(气.：3x+1+2) 4注：本题也可以用洛比达法则。例2lim沱nJn+2一<n一1)nT8n例2lim沱nJn+2一<n一1)nT8n[(n+2)-(n-1)]分子分母同除以•、n解：原式=EE+E=lim：i+2+：i一1■n\n(—1)n+3n例3nYir(-^)n+1

解原式上下同除以3niim 3 _1' E(2)n+132.利用函数的连续性(定理6)求极限1例4Hmx2exx-21解：因为x0_2是函数f(x)_x2ex的一个连续点，所以原式=22e2_顼。3.利用两个重要极限求极限1一cosx例5lim——xr0 3x2解：2sin2x 2sin2—原式=lim—_lim―日xt03x2 xTO12.(x)2注：本题也可以用洛比达法则。2例6lim(1一3sinx)xxt0解：原式=lim(1—3sinx)-3而xxT0」.一6?"_lim[(1—3sinx)一i；]叶xT0例7lim(^—2)nnFn+1—3n+1一3n解：原式=lim(1+f)-3.n+1nT8 n+1一3n±1—3n_lim[(1+——)一3]n+1_e-3nF n+1利用定理2求极限例8limx2sin—XT0 X解：原式=0(定理2的结果)。利用等价无穷小代换(定理4)求极限xln(1+3x)例9imXT0arctan(x2)解：,/xT0时，ln(1+3x)〜3x,arctan(x2)〜x2,一 x-3x-TOC\o"1-5"\h\z原式=lim =3。xt0x2ex—esinx例10lim :一xT0x—Sinx「 esinx(ex—sinx—1^ esinx(x—sinx) T解：原式=lim : =lim : =1。xT0 x—sinx xT0 x—sinx注：下面的解法是错误的：(ex—1)—(esinx—1) x—sinx,原式=lim : =lim =1。xT0 x—sinx xT0x—sinx正如下面例题解法错误一样：「tanx—sinx「x—x八lim =lim =0oxT0 x3 xT0x3tan(x2sin—)例11xT0 sinx解：,/当xT0时，x2sin上是无穷小，二tan(x2sin纣与x2sin1等价，x x x—1x2sin 1所以，原式=lim x=limxsin=0。(最后一步用到定理2)xT0 x xT0 x利用洛比达法则求极限说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。例12lim'：°sx(例4)xT0 3x2一.sinx1解：原式=lim =o(最后一步用到了重要极限)xT06x6兀xcos——例13lim——2xt1x—1

兀•KXTOC\o"1-5"\h\z—一sin——兀解：原式=lim2 2-XT1 1X—sinx例14lim XT0 X31—cosXsinx1解：原式=lim ——=lim = 。(连续用洛比达法则，最后用重要极限)XT03X2 XT06X6sinx—xcosx例15lim —7-——X顼 X2sinXsinx—xcosxcosX—(cosx—xsinx)原式=lim =lim解:X—0 X2•X X—0解:xsinx1\o"CurrentDocument"=lim =—XT0 3X2 3「「1 1 .例18iim匕-](1 )]xC0Xln(1十X)解：错误解法：原式=lim[—_;]=0XC0人人正确解法：原式=limln(1+X)—X=limln(1+X)—X》项xln(1+x) J。 x-x—1=lim!±^—=lim—XXT0 2X XT02X(1+X)2应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。x-2sinx例19X™林o忐解：易见：该极限是“0”型，但用洛比达法则后得到:不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下:2sinx1— X 1(利用定理1和定理2)原式=lim一床F(分子、分母同时除以x)=-XF3+cosX 3(利用定理1和定理2)X7.利用极限存在准则求极限例20已知气=J2,Xn+1=J2+Xn,(n=1,2,),求limXnns解：易证：数列｛Xn｝单调递增，且有界(0<Xn<2)，由准则1极限limXn存在，设,Xn+1nT8limxnns对已知的递推公式七+1=J2吒两边求极限，得:aa=2或a=一1（不合题意，舍去）。所以limx=2nsn/ 1 1 1 、ns例21lim（k +…+^:）nsn 1 1 1 n解•易兀：％n2+n..n2+1、qn2+2 *n2+n\n2+1因为limms因为limms\n2