高考数学第一轮总复习球课件-A3演示文稿设计与制作【继续教育专业】

高考数学第一轮总复习球课件-A3演示文稿设计与制作【继续教育专业】高考数学第一轮总复习.11球课件-A3演示文稿设计与制作第九章直线、平面、简单几何体39.9球考点搜索●球面、球体的概念，球的截面性质●地球的经纬度，球面距离●球的表面积和体积高考高考猜想1.考查有关球的表面积、体积和球面距离等的计算.2.考查球的截面问题的分析与计算.41.与定点的距离①_______________的点的集合,叫做球体,简称球,定点叫做球心,定长叫做球的半径,与定点距离②__________的点的集合叫做球面.2.用一个平面截一个球,所得的截面是③________,且球心与截面圆心的连线④________截面.3.设球心到截面的距离为d,球半径为R,截面圆半径为r,则三者的关系是⑤____________.等于或小于定长等于定长一个圆垂直于R2=r2+d25

4.球面被⑥__________的平面截得的圆叫做大圆，被⑦____________的平面截得的圆叫做小圆.

5.经过球面上两点的大圆在这两点间的⑧_________的长度,叫做这两个点的球面距离.

6.过球面上一点从北极到南极的半个大圆,与子午面所成的⑨________的度数就是这个点的经度;过球面上一点的球半径与⑩_______所成的角的度数就是这个点的纬度.经过球心不经过球心一段劣弧二面角赤道面6感谢观看谢谢大家A3演示文稿设计与制作信息技术2.0微能力认证作业中小学教师继续教育参考资料

7.半径为R的球的体积是V=_____，表面积是S=_____.

盘点指南：①等于或小于定长；②等于定长；③一个圆；④垂直于；⑤R2=r2+d2;⑥经过球心；⑦不经过球心；⑧一段劣弧；⑨二面角；⑩赤道面；;1112111210

长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是(

)

A.

B.

C.

D.

解：设球的半径为R，则(2R)2=32+42+52=50，所以R=

.所以S球=4πR2=50π.C11

已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是()A.B.C.D.

解：因为AB=BC=CA=2，所以△ABC的外接圆半径为r=.设球的半径为R，则

所以

，所以

D12

球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的16，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为(

)

A.

B.

C.2

D.

解法1：设球面上的3个点分别为A，B，C，球心为O.过O作OO′⊥平面ABC，O′是垂足，则O′是△ABC的中心，则O′A=r=2.又因为∠AOC=θ=

，OA=OC知OA

=

AC

<

2

O′A.其次，OA是Rt△OO′A的斜边，B13

故OA>O′A,所以O′A<OA<2O′A.

因为OA=R，所以2<R<4.因此，排除A、C、D，故选B.

解法2：设球面上的3个点分别为A，B，C，球心为O.

在正三角形ABC中，△ABC的外接圆半径r=2.

应用正弦定理，得AB=2rsin60°=

.

因为∠AOB=θ=

，所以侧面AOB是正三角形，得球半径R=OA=AB=

.14

解法3：设球面上的3个点分别为A，B，C，球心为O.因为正三角形ABC的外接圆半径r=2，故高AD=r=3，D是BC的中点.在△OBC中，BO=CO=R，∠BOC=，所以BC=BO=R，BD=BC=R.在Rt△ABD中，AB=BC=R，所以由AB2=BD2+AD2，得

，解得R=.15

1.球面上有三点A、B、C，其中任意两点间的球面距离都等于大圆周长的

，经过这三个点的小圆的周长为4π，求这个球的表面积.

解：设O为球心，球半径为R，经过A、B、C三点的小圆半径为r.题型1

球的表面积的计算16由已知，2πr=4π，所以r=2.又因为A、B、C中任意两点的球面距离都是大圆周长的

，即

，所以∠AOB=∠AOC=∠BOC=.又OA=OB=OC=R，所以AB=BC=AC=R.在△ABC中，由正弦定理，得AB=2rsin60°=，所以R=，所以S球=4πR2=48π.17

点评：求球的表面积的关键是求球的半径.求半径时，一般是根据截面圆的圆心与球的圆心的连线段、截面圆的弦长、球的半径三者之间的关系，通过解三角形来求得.18

如图，A、B、C是表面积为48π的球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC

=60°，O为球心.求直线OA与截面ABC所成的角的大小.

解：连结AC，设O在截面ABC上的射影是O′，则O′为截面三角形ABC外接圆的圆心，19

连结AO′，则∠OAO′为直线OA与截面ABC所成的角.设球的半径为R，小圆的半径为r.因为球的表面积为48π，所以R=.在△ABC中，由余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=4+16-16cos60°=12由正弦定理，得，即

，所以r=2.所以.故所求角的大小为arccos.20

2.设A、B、C为球面上三点，AC=BC=6，AB=4，球心O到平面ABC的距离等于球半径的一半，求这个球的体积.解：过球心O作OO1⊥平面ABC，则点O1为过点A、B、C的截面圆的圆心，即O1是△ABC的外心.连结CO1，延长交AB于M点.题型2

球的体积的计算21因为AC=BC，所以M是AB的中点，且CM⊥AB.设O1M=x.因为O1A=O1C，而，O1C=CM-O1M=所以，解得x=.所以O1A=设球O的半径为R.由已知OO1=R2，OA=R.在Rt△AO1O中，因为AO2=OO21+AO21，所以

解得R=.22所以

点评：球的体积是关于半径的函数，故求体积必须先求半径.涉及到截面问题时，一般是化球为圆，再解直角三角形可求得半径.23

球面上有三点A、B、C，A和B及A和C之间的球面距离是大圆周长的

，B和C之间的球面距离是大圆周长的

，且球心到截面ABC的距离是

，求球的体积.

解：设球心为O，由已知，易得∠AOB

=

∠AOC=

，∠BOC=

.过O作OD⊥BC于D，连结AD，再过O作OE⊥AD于E，则OE⊥平面ABC于E，所以OE=.24因为OA⊥OB，OA⊥OC，所以OA⊥平面BOC，所以OA⊥OD.设OA=R,则AB=AC=2R,BC=R，AD=R,OD=R.在Rt△AOD中，由AD·OE=OA·OD,得OA=R=1.所以.25

3.在地球北纬30°圈上有A、B两点，点A在西经10°，点B在东经110°，设地球半径为R，求A、B两点的球面距离.

解：如图，设O为球心，C为北纬30°圈所在小圆的圆心.由已知，∠ACB=120°，∠AOC=∠BOC=60°，OA=OB=R，OC⊥平面ABC，所以AC=BC=Rsin60°=

.题型3

球面距离的分析与计算26在△ACB中，所以AB=R.在△AOB中，所以∠AOB=arccos().故A、B两点的球面距离是Rarccos().27

点评：一般地，求球面上两点A、B间的球面距离的具体步骤是：①计算线段AB(公共弦)的长；②计算A、B到球心O的张角；③计算球的大圆上A、B间的劣弧长.28正三棱锥P-ABC内接于半径为R的球，其底面三顶点在同一个大圆上.某质点从点P出发沿球面运动，经过A、B、C三点后返回P点，求所经路程的最小值.

解：设球心为O，据题意，O为正三角形ABC的中心，且PO⊥平面ABC，所以∠POA=∠POC=，∠AOB=∠BOC=.因为球面上任意两点的球面距离是经过这两点的最短路程，其中P与A、P与C的球面距离是

，A与B、B与C的球面距离是

，所以所求路程的最小值是291.正三棱锥P-ABC的外接球半径为R，两侧棱的夹角为α，求这个正三棱锥的侧棱长.

解：如图，过点P作PD⊥平面ABC，垂足为D，则D为△ABC的中心.延长PD交球面于E，则PE为球的直径.连结AD、AE，则PA⊥AE，AD⊥PE.30设∠PAD=θ，则∠AED=θ.设正三棱锥P-ABC的侧棱长为a，由已知，从而

又AD=PAcosθ=acosθ，所以所以在Rt△PAE中，PA=PEsinθ=.故这个正三棱锥的侧棱长为.31

2.如图，AC是四面体ABCD的外接球直径，BC是经过B、C、D三点的截面圆直径，球心O到截面BCD的距离等于球半径的.(1)若∠CBD=60°，求异面直线AC和BD的夹角;(2)若BD∶DC=∶2，求二面角B-AC-D的大小.32

解：(1)过点C作CE∥DB交球面于E，连结AE，则∠ACE为所求的角.因为∠CBD=60°，所以∠BCE=60°.取BC的中点O′，则O′为截面圆圆心.设球O的半径为R，由已知OO′=.在Rt△CO′O中所以BC=R.因为BE⊥CE，所以CE=BCcos60°=.33

因为AC是球的直径，所以AE⊥EC.在Rt△AEC中，.故异面直线AC和BD的夹角为arccos.(2)过点D作DF⊥BC，垂足为F.因为OO′⊥DF，所以DF⊥平面ABC.过点F作FH⊥AC，垂足为H，连结DH.依据三垂线定理，有DH⊥AC.所以∠DHF为二面角B-AC-D的平面角.34因为BD∶DC=∶2，BC=R，BD2+DC2=BC2，所以则DC=R，所以BD=DC=R.因为DF·BC=BD·CD,所以因为AD⊥CD，DH⊥AC，所以DH·AC=AD·CD.35而所以在Rt△DFH中,sin∠DHF=，所以∠DHF=60°.故二面角B-AC-D的大小为60°.36